《数学史》近代数学的兴起

第五章穿越黑暗——近代数学的兴起•教学目标：了解三、四次方程求解方法，理解对数产生背景及思想和映射产生的背景及符合代数的意义，掌握解析几何产生的原因，熟练掌握射影几何产生的问题及其意义。•教学重点：三、四次方程解法，对数的产生和射影几何的产生•教学难点：对数产生的思想方法近代数学的兴起5.1中世纪的欧洲•5.1.1黑暗时代(5-11世纪)从公元5世纪中叶，西罗马帝国灭亡开始到11世纪这个时期，称为欧洲的黑暗时代。这一时期,旧的社会秩序已破坏，封建主和基督教会成为欧洲社会的绝对势力。封建宗教的统治，使一般人笃信天国，追求来世，从而淡漠世俗生活，对自然不感兴趣。教会宣扬天启真理，并拥有解释这种真理的绝对权威，导致了理性的压抑，欧洲文明在整个中世纪处于凝滞状态。学校教育名存实亡，希腊学问几乎绝迹，连许多从古代世界流传下来的艺术和技艺也被忘记了。5.1.1黑暗时代(5-11世纪)•由于罗马人偏重于实用，而没有发展抽象数学，仅仅满足于数学在商业和民用工程上的应用。随着罗马帝国的衰亡以及由此导致的东西方贸易的中断、国家工程计划的撤销,就连在这方面应用的兴趣也减少了.毫不夸大地说,在整个500年的黑暗时代中,整个欧洲除制定教历外,在数学上没有什么成就.•在黑暗时代,在数学史上起到重要作用的人,可以勉强地提到的是：•博埃齐(A.M.S.Boethius,约480-524,罗马)他根据希腊材料用拉丁文编写的著作《几何学》和《算术》，在好几百年中一直作为教会学校的标准课本。《几何学》除了对欧几里得《原本》第一卷的命题和第三、第四卷的少数几个命题的陈述，以及一些简单的测量术外，就再没有什么东西。•比德(V.Bede,674-735,英国)，中世纪最大的教会学者之一。他的许多著作中有不少是讲数学的，其中主要的是关于历法和指算的论著。•热尔拜尔(Gerbert,约950-1003,法国)，第一个在西班牙穆斯林学校学习的基督教徒。有证据表明，他可能把没有包含零的印度-阿拉伯数字带入基督教的欧洲。据说，他做过算盘、地球仪和天球仪、钟，也许还有手风琴。他在教会中的地位逐步提升，并最后于公元999年被选为教皇。他被认为是一位知识渊博的学者，并且写了关于占星学、算术和几何学等著作。5.1.2翻译时代(12世纪)•直到12世纪,由于受翻译、传播阿拉伯著作和希腊著作的刺激,欧洲数学才开始出现复苏的迹象.•1100年左右，欧洲人通过贸易和旅游，同地中海地区和近东的阿拉伯人以及东罗马帝国的拜占庭人发生了接触。十字军为掠夺土地的东征，使欧洲人进入了阿拉伯世界。•从此欧洲人从阿拉伯人和拜占庭人那里了解到希腊以及东方古典学术。古典学术的发现激起了他们的极大兴趣，对这些学术著作的搜求、翻译和研究最终导致了文艺复兴时期欧洲数学的高涨.阿德拉特(Adelard,约1120)•阿德拉特，翻译了欧几里得的《原本》和花拉子米的天文表。•阿德拉特是基督教徒，他为获得阿拉伯学问而冒生命危险的故事是很感人的。据说他为了得到被保守得很严密的知识，不惜假装成伊斯兰教的学生。普拉托(Plato,约1120)•普拉托(Plato,约1120)，意大利人。他翻译了巴塔尼的《天文论著》和狄奥多修斯的《球面几何》以及其他著作。古代学术传播西欧的路线伟大的翻译家杰拉德•这个时期最辛苦的翻译者是伟大的翻译家杰拉德(Gherardo,约1114-1187)，他把90多部阿拉伯文著作译成拉丁文，其中包括托勒玫的《大汇编》、欧几里得的《原本》、阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》和阿基米德的《圆的度量》等。•可以说，12世纪是欧洲数学的翻译时代.翻译时代(12世纪)•大学：波隆尼亚大学（1088）、巴黎大学（1160）、牛津大学（1167）——摇篮•文艺复兴运动——资产阶级文化的兴起•斐波那契（1170-1250），著作《算经》（《算盘书》）•内容：前七章为十进制整数及分数的计算问题；8—11章涉及商业计算的比例、利息、等差级数及等比级数，还有赚赔、合股、折扣、复利等应用问题；•12、13章为求一次方程的整数解问题；•14章是求平方根、立方根的法则；•15章是几何度量及代数问题。斐波那契，是欧洲黑暗时期过后，第一位有影响的数学家。斐波那契(L.Fibonacci,1170-1250):《算经》(1202)斐波那契(L.Fibonacci,1170-1250,意大利).•由于父亲经商的缘故，还在斐波那契的孩童时代就已经唤起了这个孩子对算术的兴趣。后来，他们旅行到埃及、西西里、希腊和叙利亚，他又接触到东方和阿拉伯的数学实践。斐波那契完全确信印度—阿拉伯计算方法在使用上的优越性。1202年，在他回到家里不久，便发表了他的著名著作《算经》。裴波那契数列•某人在一处有围墙的地方养了一对兔子,假定每对兔子每月生一对小兔,而小兔出生后两个月就能生育.问从这对兔子开始,一年内能繁殖出多少对兔子?裴波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，……Un=Un-1+Un-2(n≥3)6180339887.0)15(211nnUUn黄金分割自然现象中的裴波那契数：•向日葵花瓣依两个相反的螺旋形排列，朝一个螺旋方向生长的花瓣数同朝相反螺旋方向生长的花瓣数，几乎总等于裴波那契序列中两个相邻的数。•菠萝、冬表、球花、牛眼菊和许多植物的花也有类似的情形。•一些花的花瓣数构成裴波那契序列中的一串数字。•电子学专门设计的电路也能产生裴波那契序列。植物主茎的侧面的叶子（或芽体、枝叉）。在主茎底部附近选定一片叶子，然后沿主茎向上计数叶子，一直数到恰好在选定叶子正上方的一片为止，这个数通常是斐波那契数列中的一项；绕主茎旋转计数叶片数，并且数到刚才位于上端的那片叶子为止，所得到的数通常是刚才那项前面的邻项。向日葵的花盘。从盘中心向外辐射出来的螺旋线：顺时针方向伸展的螺线数目，与逆时针方向伸展的螺线数目是斐波那契数列的两个邻项。事实上，任何菊科植物（如皱菊或翠菊）的花盘都有此特征。黑死病流行•至于14世纪,可以说相对而言，这是数学上的不毛之地。这是黑死病流行的世纪，扫荡了欧洲三分之一以上的人口；并且使北欧在政治上和经济上发生动乱的“百年战争”就始于这个世纪。•欧洲数学复苏的过程十分曲折，从12世纪到15世纪中叶，教会中的经院哲学派利用重新传入的希腊著作中的消极成分来阻抗科学的进步。特别是他们把亚里士多德、托勒枚的一些学说奉为绝对正确的教条，企图用这种新的权威主义来继续束缚人们的思想。欧洲数学真正的复苏，要到15-16世纪。从12世纪到15世纪中叶5.2向近代数学的过渡三次及以上的方程的根式解问题：•巴巧利认为x3+mx=n，x3+n=mx无根式解，就象解化圆为方一样。•费罗（1465-1526）发现了形如x3+mx=n（m,n0）的解法。•尼古拉·丰丹纳（绰号塔塔里亚）（1499-1557），1535年宣布发现了三次方程的代数解法。•三、四次方程根式求解的成功•费罗（1515年）,波伦亚大学的数学教授。x3+mx=n(m,n0)•塔塔利亚（Tartaglia，即意大利语的“口吃者”。）x3+mx2=n(m,n0)由于幼年时他在布雷西亚受法军攻击时挨了一马刀,愈后语言遇到障碍5.2.1代数学关于这一发现的故事•大约在1515年,波伦亚大学的数学教授费罗(S.Ferro,1465-1526,意大利)用代数方法解了三次方程。•按当时的风气，学者们是不公开自己的研究成果的，因为这样可以提高他在资助人眼里的地位。所以，费罗没有发表自己的解法，但是，他将自己的解法秘密地透漏给了他的学生费奥(A.M.Fior)。费奥把这一结果看成是他日后成名得利的凭据，以及在解题挑战赛中向其他数学家们挑战的资本。)0,(3nmnmxx•与此同时,布雷西亚的尼古拉•丰坦那(NiccoloFontana,约1500-1557,意大利)也在研究三次方程的解法。由于幼年时他在布雷西亚受法军攻击时挨了一马刀，愈后语言遇到障碍，人们都称他为塔塔利亚(Tartaglia)，即意大利语的“口吃者”，并以此闻名于世。•1535年，塔塔利亚宣布：他发现了三次方程的代数解法。费奥认为此项声明纯系欺骗,就向塔塔利亚提出挑战，要求来一次解三次方程的公开比赛，参赛者要解出对方提出30个三次方程。比赛在米兰大教堂公开举行。关于这一发现的故事关于这一发现的故事•结果是,塔塔利亚很快就解出了形如和两种类型的所有三次方程。然而，费奥似乎是一位平庸的数学家，他只能求解第一种类型的三次方程，而这还是他的老师告诉他的。费奥自取其辱，塔塔利亚大胜而归。)0,()0,(233nmnmxxnmnmxx关于这一发现的故事•塔塔利亚胜利的消息传到了一位不怎么道德的意大利一个教书匠卡尔丹G.Cardano,1501-1576)的耳朵里，他以把塔塔利亚推荐给一位投资者的推荐信为诱饵，说服塔塔利亚把三次方程的解法告诉了他。1539年,他们在米兰会面时，塔塔利亚逼迫卡尔丹起誓决不泄漏这一秘密。然而，卡尔丹不久就违背诺言，于1545年在德国的纽伦堡发表了一部关于代数学的拉丁文巨著《大法》，其中就有三次方程的塔塔利亚解法。•1540年,意大利数学家达科伊(T.DaCoi)向卡尔丹提出了一个导致四次方程的问题，卡尔丹未能解出，最终还是被其才华出众的弟子费拉里解决。卡尔丹很高兴地将这个解法收入他的著作《大法》。解法的实质是将四次方程化为三次方程求解。•现在看来，说卡尔丹完全是剽窃，显然有失公正，因为他在书中已注明这个解法是塔氏告诉他的。而且塔氏从没有给出证明，卡尔丹不仅将塔氏方法推广到了一般形式的三次方程，而且还补充了几何证明。关于这一发现的故事卡尔丹（1501-1576）医生、数学家、预言家。《大法》公布了三次方程的解法。《大法》（ArsMagna）qpxx3p,q0332)3()2(2pqqa332)3()2(2pqqbqpxx3p,q0332)3()2(2pqqa332)3()2(2pqqb卡尔丹公式：卡尔丹公式•《大法》所载三次方程的解法，实质上是考虑恒等式•若选取a和b，使由上式不难解出a和b：•于是得到就是所求的x.)0,(3qpqpxx,)(3)(333babaabba,,333qbapab332332,322,322pqqbpqqa2.四次方程求解费拉里（1522-1565），卡尔丹的学生，获得解一般四次方程的解法。x4+ax3+bx2+cx+d=0基本思想是通过配方、因式分解后，降为三次方程。关于这一发现的故事•塔塔利亚被这一背信弃义的行为激怒。为了寻求报复,他在一本书中讲了自己的故事。塔塔利亚的强烈抗议遭到卡尔丹的最有能力的学生费拉里(L.Ferrari,1522-1565,意大利)的反击。•在长时间的交锋中，费拉里始终站在老师一边。他说卡尔丹曾通过第三者(费罗的养子)从费罗那里得知此法，反而控告塔塔利亚剽窃费罗的成果。1548年,塔塔利亚从威尼斯一个很低的算术教师的职位突然升到了布雷希亚的讲师的职位。他向费拉里提出挑战，认为这样能给他带来更大的荣誉并且能够复仇。但是他太低估了对手的实力，两人在比赛结束之前不欢而散。这对塔塔利亚产生了不利影响，布雷西亚的权威们后来拒绝付给他薪水，他只好回到威尼斯教他的课。至此，一场闹剧终于收场。让人同情的塔塔利亚……“反客为主法”卡尔丹•卡尔丹是数学史上具有异常性格的人物之一。他出身贫寒，并一直在寻找可靠的支持者，后来功成名就并积累了一点财产。他的职业生活是多变的：当医生，搞业余研究，当教授，写数学书。他一度远到苏格兰旅行，回到意大利后，相继主持帕维亚和波伦亚大学的重要讲座。因为他发表了基督命运的星占，以邪说罪被监禁了一个时期。他辞去波伦亚的讲座,迁到罗马,成为杰出的占星学家，并以教皇宫廷的占星学家接受年薪。•传说他于1576年自杀于罗马，为的是使他对自己的死期的预卜得以实现。关于他的坏脾气有许多传说，例如，一次大怒，他割掉了小儿子的