21.2.4一元二次方程根与系数关系

21.2.4一元二次方程根与系数的关系20(0)axbxca方程的求根公式是242bbacxa)(042acb1.填表，观察、猜想数学活动方程x1,,x2x1,+x2x1.x2x2-2x+1=01,121x2+3x-10=02,-5-3-10x2+5x+4=0-1,-4-54问题：你发现什么规律？①用语言叙述你发现的规律；②x2+px+q=0的两根x1,,x2用式子表示你发现的规律。方程两个根x1，x2的值两根的和两根的积x1x2x1+x2x1.x23x2-4x-4=02x2+7x-4=06x2+7x-3=05x2-23x+12=02-2/34/3-4/31/2-4-7/2-2-3/21/3-7/6-1/2请同学们观察下表43/523/512/5的系数有何关系？的值与方程你能看出的值试求出为的两根设方程2121212121200xxxxxxxxxxacbxax,.,,,)(一元二次方程根与系数关系的证明：aacbbx2421aacbbx2422X1+x2=aacbb242aacbb242+=ab22=ab-X1x2=aacbb242aacbb242●=242)42(2)(aacbb=244aac=ac一元二次方程根与系数的关系(韦达定理）acxxabxxxxacbxax212121200,,,)(则的两根为若方程qxxpxxxxqpxx21212120,,则：，的两根为若方程特别地：推论1一元二次方程根与系数的关系(韦达定理）012121221xxxxxxxx）（）是方程（二次项系数为为根的一元二次以两个数,推论2acxxabxxxxacbxax212121200,,,)(则的两根为若方程例4根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两根的和与积：21,xx;0156)1(2xx15,6,1cba解：61621abxx1511521acxx例4根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两根的和与积：例4根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两根的和与积：例4根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两根的和与积：例4根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两根的和与积：例4根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两根的和与积：例4根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两根的和与积：例4根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两根的和与积：0973)2(2xx9,7,3cba解：3721abxx33921acxx2415)3(xx01542xx解：方程化为：1,5,4cba454521abxx4121acxx（1）x2-3x+1=0（2）3x2-2x=2（3）2x2+3x=0（4）3x2=11.下列方程两根的和与两根的积各是多少？（不解方程）（1）x2-6x-7=0（-1，7）（2）3x2+5x-2=0（5/3，-2/3）（3）2x2-3x+1=0（3，1）（4）x2-4x+1=0（-2+3，-2-3）2.利用根与系数的关系，判断下列各方程后面的两个数是不是它的两个根。（口答）例5已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值。解：设方程的另一个根是x1那么∵2x1=-—∴x1=-—.6553∵（-—）+2=-—535k答：方程的另一个根是-—，k的值是-7。53∴k=-5（-—）+2=-753解：设方程的两个根是x1x2那么x1+x2=-—x1.x2=-—.3221例6不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两个根的（1）平方和（2）倒数和（1）∵（x1+x2）2=x12+2x1.x2+x22∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1.x2=（-—）2-2（-—）=—32211341（2）—+—=————=———=3x11x1.x2x1+x2x212231、如果-1是方程2X2－X+m=0的一个根，则另一个根是___，m=____。2、设X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则X1+X2=___,X1X2=____，X12+X22=(X1+X2)2-___=___(X1-X2)2=(___)2-4X1X2=___3、判断正误：以2和-3为根的方程是X2－X-6=0（）4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是_____。X1+X22X1X2-3411412×2和-1基础练习（还有其他解法吗？）23如果是方程2X2+mX+3=0的一个根，求它的另一个根及m的值.2123,22121acxxmabxx解：由方程得：211x23212x32x解得：3212m则：7m即：另一个根为3，m的值为-71、已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1，它的另一个根是，m的值是。2、设x1.x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。（1）（x1+1）（x2+1）（2）—+—x1x2x1x2163163、已知关于x的方程x2+(2k+1)+k2-2=0的两根的平方和比两根之积的3倍少10，求k的值.