1-3(条件概率及有关公式)

第三节条件概率及有关公式第一章概率论的基本概念在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.一、条件概率1.条件概率的概念如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A|B).一般P(A|B)≠P(A)P(A)=1/6，例1.掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，B={掷出偶数点}，P(A|B)=？掷骰子已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B，于是P(A|B)=1/3.B中共有3个元素，它们的出现等可能的，其中只有1个在集A中，容易看到)()(636131BPABPP(A|B)若事件B已发生,则为使A也发生,试验结果必须是既在B中又在A中的样本点,即此点必属于AB.由于我们已经知道B已发生,故B变成了新的样本空间,于是有(1).SABAB2.条件概率的定义定义:设A、B是两个事件，且P(B)0,则称(1))()()|(BPABPBAP为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.条件概率也是概率,故具有概率的性质：0)(ABP1)(AP11iiiiABPABP非负性规范性可列可加性)()()()(212121ABBPABPABPABBP)(1)(ABPABP例2.某厂生产的灯泡能用1000小时的概率为0.8,能用1500小时的概率为0.4,求已用1000小时的灯泡能用到1500小时的概率.解令A灯泡能用到1000小时B灯泡能用到1500小时所求概率为)()(APABPABPAB218.04.0)()(APBP例1由条件概率的定义：即若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B)(2))()()|(BPABPBAP二、乘法公式若已知P(B),P(A|B)时,可以反求P(AB).称为乘法公式P(A1A2…An）=P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1)推广：当P(A1A2…An-1)0时，有：特别地，有：P(A1A2A3）=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)例3盒中装有5个产品,其中3个一等品，2个二等品,从中不放回地取产品,每次1个,求（1）取两次，两次都取得一等品的概率;（2）取两次，第二次取得一等品的概率;（3）取三次，第三次才取得一等品的概率;（4）取两次，已知第二次取得一等品，求第一次取得的是二等品的概率.解令Ai为第i次取到一等品（1）1034253)()()(12121AAPAPAAP例3)()()()(212121212AAPAAPAAAAPAP5342534352（2）取两次,第二次取得一等品的概率;（3）取三次，第三次才取得一等品的概率;213121321)(AAAPAAPAPAAAP101334152)()()()()(221222121APAAPAPAPAAPAAP31035=1-=0.5（4）取两次，已知第二次取得一等品，求第一次取得的是二等品的概率.例4(波里亚罐子模型).一个罐子中包含b个白球和r个红球.随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球.这种手续进行四次,试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率.b个白球,r个红球分析:随机取一个球,观看颜色后放回罐中,并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球.于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球.”解:设Wi={第i次取出是白球},i=1,2,3,4Rj={第j次取出是红球}，j=1,2,3,4b=b+r=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)(乘法公式)b+cb+r+c2rb+r+c3r+cb+r+cb个白球,r个红球全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.综合运用加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)0二、全概率公式与贝叶斯公式样本空间的划分：1A2A3AnA1nA称为全概率公式.BB1niii=P=PAPA则对任一事件B，有定理:设为随机试验E的样本空间,A1,A2,…,An是样本空间的一个划分,且有P(Ai)0,iΩ=1,2,…,n,全概率公式的说明:“全”部概率P(B)被分解成了许多部分之和.(1)它的理论和实用意义在于:A1A2A3A4A5A6A7A8B在较复杂情况下直接计算P(B)不易,但B总是伴随着某个Ai出现(分类），适当地去构造这一组Ai往往可以简化计算.(2).全概率公式的另一个角度理解:某一事件B的发生有各种可能的原因Ai(i=1,2,…,n)，如果B是由原因Ai所引起，则B发生的概率是A1A2A3A4A5A6A7A8BP(BAi)=P(Ai)P(B|Ai)例5.有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率.解：记Ai={球取自i号箱},i=1,2,3;B={取得红球}即B=A1B∪A2B∪A3B，B发生总是伴随着A1，A2，A3之一同时发生，123且A1B,A2B,A3B两两互斥由全概率公式:31iiiABPAPBP)()()(｜代入数据得：P(B)=8/15=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)例5.有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率.123例2.甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落,求飞机被击落的概率.设B={飞机被击落}Ai={飞机被i人击中},i=1,2,3由全概率公式:P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)则B=A1B∪A2B∪A3B解依题意，P(B|A1)=0.2,P(B|A2)=0.6,P(B|A3)=1可求得:为求P(Ai),设Hi={飞机被第i人击中},i=1,2,31123123123()()PAPHHHHHHHHH2123123123()()PAPHHHHHHHHH)()(3213HHHPAP代入计算得:P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.于是P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.458=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1即飞机被击落的概率为0.458.(该球取自哪号箱的可能性最大?)实际中还有一类问题，是“已知结果求原因”这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小.某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.1231红4白接下来我们介绍为解决这类问题而引出的贝叶斯公式说明:该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件A已发生的条件下,寻找导致A发生的每个原因的概率.它可以帮助人们确定某结果(事件A)发生的最可能原因.定理(贝叶斯公式):设实验E的样本空间为,B为E的事件,A1,A2,…,An是的一个划分,且P(B)0,P(Ai)0，i=1,2,…,n,，则ΩΩ证明.由条件概率的定义及全概率公式有:iPA|BiPAB=PBiinjjj=1PAPBAPAPBA1A2A3A5AiAΩ4AB例3.某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性,问此人是癌症患者的概率有多大?则表示“抽查的人不患癌症”.C已知P(C)=0.005,P()=0.995,P(A|C)=0.95,P(A|)=0.04CC解:设C={抽查的人患有癌症}，A={试验结果是阳性}，求P(C|A).由贝叶斯公式,可得:)|()()|()()|()()|(CAPCPCAPCPCAPCPACP代入数据计算得:P(C｜A)=0.1066例4对以往数据分析的结果表明,当机器调整得良好时,产品的合格率为90%,而当机器发生某一故障时,其合格率为30%.每天早上机器开动时,机器调整得良好的概率为75%.试求已知某日早上第一件产品是合格品时,机器调整得良好的概率是多少？解设A={产品是合格品},B={机器调整得良好}显然,BB,构成了必然事件的一个划分,由贝叶斯公式,所求的概率为25.0)(,75.0)(,3.0)|(,9.0)|(BPBPBAPBAP已知9.025.03.075.09.075.09.0)()|()()|()()|()|(BPBAPBPBAPBPBAPABPB1BnAB1AB2ABnjiniiBBB1))((1jiniiABABABAniiABPAP1)()()()(1iniiBAPBP全概率公式ABayes公式)(ABPk)()(APABPkniiikkBAPBPBAPBP1)()()()(全概率公式与Bayes公式B21.条件概率全概率公式贝叶斯公式三、小结乘法定理例3设一仓库中有10箱同种规格的产品,其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱,3箱,2箱,三厂产品的废品率依次为0.1,0.2,0.3从这10箱产品中任取一箱,再从这箱中任取一件产品,求取得的正品概率.设A为事件“取得的产品为正品”,分别表示“任取一件产品是甲、乙、丙生产的”,由题设知解故例6有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%，又知这三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?设事件A为“任取一件为次品”,解由全概率公式得S30%20%50%2%1%1%