数列易错题本

12010年高中数学备考数列专题易错【原题】已知等比数列na的首项为311a，公比q满足10qq且．又已知1a，35a，59a成等差数列．（1）求数列na的通项．（2）令nanb13log，求证：对于任意nN，都有122311111...12nnbbbbbb【错误分析】：数列中的不等式问题是高考的难点热点问题，对不等式的证明有比较法、放缩，放缩通常有化归等比数列和可裂项的形式；数学归纳法；有的还要用到条件不等式。【答案】（1）3nna（2）见解析【解析】（1）∵315259aaa∴24111109aqaaq∴4291010qq∵10qq且∴13q∴113nnnaaq高考资源网（2）证明：∵133loglog3nannbn，11111(1)1nnbbnnnn∴12231111...nnbbbbbb1111111122311nnn122311111...12nnbbbbbb．【易错点点睛】转化思想是数学中的重要思想，把复杂的问题转化成清晰的问题是我们解题的指导思想．本题中的第（２）问，采用裂项相消法，将式子进行转化后就可以抵消很多项，从而只剩下首末两项111n，进而由n的范围证出不等式．【原题】.已知数列na的首项121aa（a是常数，且1a），24221nnaann（2n），数列nb的首项1ba，2nabnn（2n）。（1）证明：nb从第2项起是以2为公比的等比数列；（2）设nS为数列nb的前n项和，且nS是等比数列，求实数a的值；（3）当a0时，求数列na的最小项。[来源:学#科#网Z#X#X#K]【错误分析】：本题考查了用定义证明等比数列，分类讨论的数学思想，有一定的综合性。2【答案】（2）43a（3）当1(0,)4a时，最小项为8a-1；当14a时，最小项为4a或8a-1；当11(,)42a时，最小项为4a；当12a时，最小项为4a或2a+1；当1(,)2a时，最小项为2a+1。【解析】（1）∵2nabnn∴22211)1(2)1(4)1(2)1(nnnanabnnnnnbna2222(n≥2)由121aa得24aa，22444baa，∵1a，∴20b，即{}nb从第2项起是以2为公比的等比数列。【易错点点睛】分类讨论思想是数学中的重要思想，本题以数列的递推关系式为载体，综合考查了等比数列的前n项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，第2问体现了对运用分类讨论的考查．【原题】等差数列{an}的前n项的和为30，前2m项的和为100，求它的前3m项的和新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆3【错误分析】：本题可以根据条件直接列式求解，但是若能合理应用性质，选择不同的公式，则会得到不同的解法.【答案】210【解析】法一新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆将Sm=30,S2m=100代入Sn=na1+2)1(nnd,得新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆11(1)3022(21)21002mmmadmmmad　①　　②2102)13(33,2010,4013212dmmmaSmmamdm解得解法二新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆由]2)13([32)13(33113dmamdmmmaSm知，要求S3m只需求m［a1+2)13(dm］,将②－①得ma1+2)13(mmd=70,∴S3m=210新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆解法三新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆由等差数列{an}的前n项和公式知，Sn是关于n的二次函数，即Sn=An2+Bn(A、B是常数）新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆将Sm=30,S2m=100代入，得mBmAmBmABmAm10201002)2(30222,∴S3m=A·(3m)2+B·3m=210解法四新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆S3m=S2m+a2m+1+a2m+2+…+a3m=S2m+(a1+2md)+…+(am+2md)=S2m+(a1+…+am)+m·2md=S2m+Sm+2m2d新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆由解法一知d=240m,代入得S3m=210新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆解法五新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆根据等差数列性质知新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆Sm,S2m－Sm,S3m－S2m也成等差数列，从而有新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆2(S2m－Sm)=Sm+(S3m－S2m)∴S3m=3(S2m－Sm)=210解法六新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆∵Sn=na1+2)1(nnd,∴nSn=a1+2)1(nnd∴点(n,nSn)是直线y=2)1(dx+a1上的一串点，由三点(m,mSm),(2m,mSm22),(3m,mSm33)共线，易得S3m=3(S2m－Sm)=210新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆解法七新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆令m=1得S1=30，S2=100，得a1=30,a1+a2=100,∴a1=30,a2=70∴a3=70+(70－30)=110∴S3=a1+a2+a3=210【易错点点睛】将等差数列中Sm,S2m－Sm,S3m－S2m成等差数列误解为Sm,S2m,S3m成等差数列，将条件“等差数列”换成“等比数列”，使用类比思想，考虑这七种方法是否都可类比.[来源:学科网ZXXK]4【原题】等差数列na、nb的前n项和为Sn、Tn.若),(27417NnnnTSnn求77ba【错误分析】：因为等差数列的通项公式是关于n的一次函数，故由题意令an=7n+1;bn=4n+27.1110277417777ba【答案】9279【解析】77713777137131924132779aaaSbbbT【易错点点睛】【原题】已知数列na的前n项之和Sn=aqn（qqa,1,0为非零常数），则na为（）。A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列，也不是等比数列D.既是等差数列，又是等比数列【错误分析】：)1(111qaqaqaqSSannnnnn)1(11qaqSSannnnqaann1（常数）na为等比数列，即B。【答案】选C[来源:Z#xx#k.Com]【解析】当n＝1时，a1=S1＝aq;当n1时，)1(11qaqSSannnnqaann1（常数）但qqaa112na既不是等差数列，也不是等比数列，选C。【易错点点睛】忽略了1nnnSSa中隐含条件n＞1.【原题】已知一个等差数列na的通项公式an=25－5n，求数列||na的前n项和【错误分析】：由an0得n5na前5项为非负，从第6项起为负，Sn=a1+a2+a3+a4+a5=50(n5)当n6时，12||||||nnSaaa＝2)5)(520(nn5Sn=6,2)5)(520(5,50nnnn【答案】nS6,502)5)(520(5,2)545(nnnnnn【解析】由an0得n5na前5项为非负，当n512||||||nnSaaa12naaa(455)2nn当n6时，12||||||nnSaaa1256naaaaa1251234562()naaaaaaaaaa＝(205)(5)502nn综上所述nS6,502)5)(520(5,2)545(nnnnnn【易错点点睛】一、把n5理解为n=5，二、把“前n项和”误认为“从n6起”的和.[来源:学科网ZXXK]【原题】已知等比数列na的前n项和记为Sn，S10=10，S30=70，则S40等于【错误分析】：S30=S10·q2.q2＝7，q＝7，S40=S30·q=770【答案】200【解析】由题意：701)1(101)1(301101qqaqqa得)(32