数列极限存在的条件

§3数列极限存在的条件一数列收敛的一个充分条件——单调有界原理二数列收敛的充要条件——Cauchy收敛准则三关于极限四数列单调有界证法欣赏:11limennnnn11一单调有界原理定义称为单调上升的，若}{nxnxxxx321}{nx称为单调下降的，若nxxxx321单调增加和单调减少数列统称为单调数列提问:收敛的数列是否一定有界？有界的数列是否一定收敛？M定理1(单调有界定理)单调有界数列必有极限•定理1的几何解释x1x5x4x3x2xnA以单调增加数列为例数列的点只可能向右一个方向移动或者无限向右移动或者无限趋近于某一定点A而对有界数列只可能后者情况发生数列极限存在的条件数列极限存在的条件定理1(单调有界定理)单调有界数列必有极限.为有上界的递增数列不妨设na.sup,,nnaaa记有上界数列由确界原理.的极限就是下证naa.,,,0NnNaaaa，使得按上确界定义事实上证明.,nNnaaaNna时有当的递增性又由.,,aaaaaannn都有故的一个上界是而.aaaNnn时有所以当.limaann即.数列必有极限同理可证有下界的递减例1设).2(,131211nan证明数列{}收敛.na例2例3222,,22,221naaa(n重根号),···证明数列na单调有界,并求极限..21.0,011nnnxaxxxa求.limnnx(计算a的逐次逼近法,亦即迭代法).解由均值不等式,有nnnxaxx211}{.nnnxaxax有下界;注意到对,n有,axn有nnnnxaaxaxx.1)(121121221↘···,.limaxnn例41）证明序列nnxnln131211的极限存在；2）求极限]1)1(31211[lim1nnn解1）因1x时有xxxx)1ln(1)0(x所以kkk1)11ln(11），，21(k即有nknknnnnknkx110ln)1ln(ln)11ln(ln1这表明序列}{nx有下界。又011)11ln(11ln)1ln(1nnnnnxxnn故序列}{nx下降。因此序列极限存在，记极限值为c。于是nkncnk1ln1或nknnck1ln1)0lim(nn2）因nnnnnknknkkncnckkk221212112ln]ln[)2ln(2121)1(所以2ln)1(lim211nkknk又2ln)1(lim1211nkknk即得2ln)1(lim11nkknk例2.)(333的极限存在式重根证明数列nxn证,1nnxx显然;是单调递增的nx,331x又,3kx假定kkxx3133,3;是有界的nx.lim存在nnx,31nnxx,321nnxx),3(limlim21nnnnxx,32AA2131,2131AA解得(舍去).2131limnnx二数列收敛的充要条件——Cauchy收敛准则1Cauchy列：如果数列na具有以下特性：0,,,0:,nmNnmaa则称数列na是一个基本数列.（Cauchy列）2Cauchy收敛准则：定理数列na收敛的充要条件是：na是一个基本数列.数列na收敛0,,,,.mnNmnNaa0,,,p,.npnNnNaaN或定理（柯西收敛准则）数列nx收敛的充分必要条件是0，N，当Nmn,时，有mnxx。证明：必要性。则0，NN，Nn，Nm时，若nx收敛于a，设axnnlim，有2axn，2axm，故22axaxxaaxxxmnmnmn。充分性的证明从略。柯西收敛准则也可叙述为数列nx收敛0，NN，Nn时，Np，有npnxx。柯西收敛准则表明，数列收敛等价于数列中充分远（即n充分大）的任意两项的距离能够任意小。柯西收敛准则的优点在于它不需要借助数列以外的任何数，只须根据数列自身各项之间的相互关系就能判别该数列的敛散性。数列极限存在的条件•定理的几何解释柯西准则说明收敛数列各项的值越到后边,彼此越是接近,以至充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数.或形象地说,收敛数列的各项越到后面越是挤在一起.x1x2x3x4x5例5证明:任一无限十进小数120.(01)nbbb的不足近似值所组成的数列1121222,,,,101010101010nnbbbbbb收敛.其中(1,2,,9)ibi是0,1,,9中的数.证令na122,101010nnbbb有1212111010109111101010npnnnpnnnnpnpbbbaa1910n1(0.1)1111(0.1).10.11010ppnnn……例6．利用柯西收敛准则证明数列nkknkx12sin收敛。证明：Npn,，有pnnnnpnpnnnxx2)sin(2)2sin(2)1sin(21)2121211(2121212112121pnpnnn.21)211(21211211211npnpn∵0，1log2N，Nn时，有npnxx。∴数列nkknkx12sin收敛。例7．证明：若nnncxx1，且nncccs21，而数列ns收敛，则数列nx也收敛。证明：已知数列ns收敛，根据柯西收敛准则，0，NN，Nn时，Np，有1111pnnnnpncccss，∵npnxx1121pnpnnnnnxxxxxx11pnnnccc，∴数列nx也收敛。nnnpnpnpnxxxxxx1111三.关于极限1lim1:nnen(2.71828)e（证明留在下段进行.）例811lim1,lim1.nkknnnnn例9311lim1,lim1,lim12.nknnnnncnnn例1023lim.21nnnn四数列证法一11nn单调有界证法欣赏:Cauchy(1789—1857)最先给出这一极限，Riemann（1826—1866）最先给出以下证法一.设11.nnxn用二项式展开，得11111!nknnnkxnnkn(1)3211!nnnnn111121121111111112!3!!nnnnnnnn11112!nx111211113!11nnn1(1)!n111;11nnn注意到1111,1nn2211,1nn11,11.1nnnn且1nx比nx多一项1(1)!n1110,11nnn1,nnxx即nx↗.111111011112!3!!1223(1)nxnnn1111111111113.2231nxnnn有界.综上,数列{nx}单调有界.评註:该证法朴素而稳健,不失大师风度.证法二(利用Bernoulli不等式)注意到Bernoulli不等式(1)1,(1,nxnxxn为正整数),有nnnnnnxx1111111nnnn11111111nnnnnn12211122,)1(111112nnn由,1)1(12n利用Bernoulli不等式,有.1133233)1(1111232321nnnnnnnnnxxnnnx↗.为证{nx}上方有界,考虑数列.111nnny可类证ny↘.事实上,1nnyy2111111nnnn1111111111nnnn12221221nnnnnnnnnnnnnnnnn2112121121212nynnnnnn,1441442323↘.显然有,.nyxnn有.41yyxnn即数列{ny}有上界.评註:该证法的特点是惊而无险，恰到好处.证法三(利用均值不等式)在均值不等式)0(,1121iniinnaanaaa中,令,1,111121nnanaaa就有,11111111)1(1111111nnnnnnnnxnnnnnnx,1nnxx即nx↗.令,1,111121nnanaaa可仿上证得3n时nn11↗。(1n时无意义,2n时诸ia=0,不能用均值不等式.)当2n时,由.11111,11111112nnnnn.11111nnnn由nn11↗nn111↘.22111nx证法四(仍利用均值不等式)个nnnnnn11111111,.11112111111111nnnnnxxnnnnnn即nx↗.“均值不等式妙用两则”.证法五先证明：对ba0和正整数n，有不等式.)1(11nnnbnabab事实上，ababaabbabababnnnnnn1111)((nnnnabaabb11.)1(nbn该不等式又可变形为,)1(1nnanbanb(nba,0为正整数)在此不等式中,取,11,111nbna则有,0ba就有nnnxnn,111111↗.取,211,1nba又有121211nn对n成立，,2211nn.4211