大学物理-第2章 电势能 电势

1第一章电势能电势2§1.3等势面电势梯度§1.2电势电势差§1.1静电场力的保守性质电场强度的环流目录34.理解电等势面的概念，了解电势梯度的概念1.理解静电场力是保守力2.理解电势能、电势和电势差的概念3.掌握计算电势的几种常用方法42.1.1.静电力作功的特点§2.1静电场力的保守性质静电场环路定理1)考虑点电荷电场。试验电荷q0在电场中由a运动到b。电场力做的功为bababarEqrFWdd0babarrrqqW4d030430rrqEbraqrbq0arErd5结论：点电荷的电场力作功只取决于始末位置，与路径无关。003300d1d()442bbabaaqqqqrrrrWrr0000001111d(-)()()444bbaaabqqqqqqrrrr20003320001d12dd42424bbbaaaqqqqqqrrrrrrr6对于点电荷组：0011()4iabiabiiiaibqqWWrr故点电荷系的电场力作功也只取决于始末位置，而与路径无关。7（1）静电力是保守力，可引入电势能的概念。（2）可以定义静电力由a点b点作的功为电势能增量的负值：2.1.2.电势能ppp()abbaWEEE0dbaqErp0dbaabaEWqErp0dbaaaEWqEr:q0在a点的电势能.paE:q0在b点的电势能.pbE若选b点为电势能零点；则有电荷q0在电场中某点的电势能，数值上等于将电荷q0从该点移动到电势能零点处，电场力所做的功！！若选无穷远处为电势能零点；则有82.1.3静电场的环路定理q0如果电荷沿闭合路径绕行一周，始末位置相同，电场力作功为零：0d0lWqEl即d0lEl叫做静电场的环路定理ld0lEl叫做电场强度的环量（或环流）dlEl92.2.1.电势电势差p0daaaEVErqdddbabababaUVVErErErrrrrrra点和b点的电势差：电势能与q0有关，我们将电势能除以qo定义为电势：00dbababaWqErqU电场力的功与电势差的关系：102.2.1.点电荷的电势1)点电荷q的电场的电势为（距离q为r处）选无穷远处为电势零点。0011()d()44rqqUrErrr由于静电场是保守场，我们计算功时可以选取最易计算的特殊的路径（例如沿着电场线），这样20dddd4rrrrqErEeerErrr112.2.3.电荷系的电势04iiiiiqVVr0d4qVr2、连续带电体电场中一点的电势1、离散带电点电荷空间一点的电势当r为常数时，用此式积分会很方便！！0d4VVVr体体0d4SSSVr0d4lllVr12计算电势的两种方法（1）用电势的叠加原理（点电荷电势公式（积分））；（2）用定义式：zeropointdaaVEl04iiiiiqVVr0d4qVr电场分布已知，沿电场线积分13求将单位正电荷沿着如图的路径从A移到无穷远处静电场作的功+Q-QA2l2l数值上等于A点的电势0AW另外：与路径无关，沿着蓝色的中垂线移动，功相等（＝0）14例2-1如图所示，一个半径为R的半圆环，均匀带有电荷，电荷量为Q。求圆心O处的电势，取无穷远处为电势零点。odq=dlR解：利用电势叠加原理求解最方便。电荷线密度为=Q/R，任意一小段电荷元的长度为dl，所带电量为dq=dl，注意到所有电荷到圆心处的距离都是R常数），则O点的电势为000000ddd444444oqlRQVlrRRRR15例2-2:均匀带电球面半径为R，带电量为Q。求球面内部和外部各点的电势（取无穷远处为电势零点）R2004rrREQrRr解：电场分布为：球面内部任意一点的电势为RRrrlElElErVddd)(20ddd4rRRRQElErrrRQ04沿电场线积分dlrE16球面外部任意一点的电势为()ddrrrVrElErrrrQd420)(40RrrQRrV（r）RQ04R电场为零的区域，电势处处相等17例2-3:均匀同心带电球面内外半径为Ra和Rb，电荷+Q和-Q。求两球面内部，中间、外部的电势分布（取无穷远处为电势零点）解:(1)电场分布为2040,abrabQRrRrErRrR(2)令,球面内部一点a的电势为0V()dddababRRrRRVrElElEl011()dd()()4bbaaRRraRRabQVrElErrRRRRaRb+Q-Qa沿电场线积分18（2）两球面之间一点b的电势为lElErVbbRRrdd)(011()dd()()4bbRRrabrrbQVrElErRrRrR（3）两球面外面一点P的电势为()d0()PbrVrElrR试用两个球面的电势叠加来做本题19由电势相等的点组成的面叫等势面,,当常量C取等间隔数值时可以得到一系列的等势面。Cz,y,xV)(§2.3等势面电势梯度2.3.1.等势面20（1）在等势面上移动带电体，静电力不作功;注意（2）过任何点的等势面与该点的电场方向正交，垂直.（3）两个等势面不相交.总之，电场线是曲线，等势面是曲面.21几种典型电场的电场线和等势面22EdbaVVV2.3.2电势梯度考虑电场中有极微小位移的邻近两点ddabVVVElkzjyixlddddxVEx)ddd(dzEyExEVzyxxyzEEiEjEkxVxVEzyx00ddddlEVVbabaddlVaVb=Va+dVab23同样地:yVEyzVEz用矢量记号,我们有gradVijkVVxyzxyzVVVEEiEjEkijkxyz上式右边叫做电势的梯度.gradVV电势梯度是一个矢量，其方向与电场方向相反。电势梯度等于电势空间变化率(或者说方向导数)的最大值。xyzeeexyz叫做哈密顿算子,读作Nabla.24ddddddcosVElVElVlVldcosdVVlmaxd()dVVlmaxd()dVVl当dl沿▽V方向时，V的空间变化率取最大值。所以▽V的方向指向V的空间变化率取最大值时的方向。关于梯度概念的补充说明25上式表明电场强度等于电势梯度的负值。gradVE电势增加最快的方向gradxyzVVVEeeeVVxyzVaVbVaVb26Note1)电势不变的空间，电场等于零（梯度为零）；2)””号表示场强指向电势降落的方向；3）等势面密处电场强，等势面疏处电场弱；5V10V15V1E2E21EE均匀带电球面内部场强为零，电势处处相等VC0E27例2-4已知某电场的电势分布函数为求电场的空间分布，并求在点(2,3,3)处的电场强度。解：根据公式得代入x，y，z坐标便得到在处的电场强度为为我们提供了一种计算场强的方法：已知V=V(x,y,z)时，用微分法求E。2,,3SIVVxyzxxyzy2331363SIEijk,,rrrr(2+3)(3)EVxyixzjyk