大学物理-第二章2-3 动量和动量定理

1§2-3动量守恒定律2§2-3动量守恒定律一、动量和动量定理二、质点系动量定理和质心运动定理三、动量守恒定律四、碰撞3一、动量和动量定理由牛顿第二定律得dd()ddFmammttvv质点的质量与它的速度的乘积定义为动量(momentum)，单位：kg·m·s-1(千克·米/秒)mvmv即pmv（描述质点运动状态，是矢量）tpFdd所以（力是使物体动量改变的原因）由上式得ptFdd积分得000ddppptFPPt力对时间的积累，称为力的冲量(implus)，即4FFtttFI0d所以00Ippmmvv此式表示，在运动过程中，作用于质点的合力在一段时间内的冲量等于质点动量的增量。这个结论称为动量定理。为恒力时F)(=0ttFI-为变力，且作用时间很短时，可用平均值来代替F)(=0ttFI-00dttFtFtt5注意：动量是状态量，冲量为过程量。动量定理可写成分量式，即000xxxyyyzzzImmImmImmvvvvvv此式表示，冲量在某个方向的分量等于该方向上质点动量分量的增量，冲量在任一方向的分量只能改变自己方向的动量分量，而不能改变与它相垂直的其他方向的动量分量。6学习这个定理应注意以下几点：(1)定理反映了外力冲量与质点动量增量的数值关系，也表达了方向关系，即外力冲量的方向与动量增量的方向一致，是确定变力冲量方向的基本方法。(3)动量定理把一个状态量(动量)的变化与一个过程量(冲量)联系在一起。注意与动能定理的区别。(2)虽由牛顿第二定律得，但物理内容不同。牛顿第二定律反映在力的瞬时作用下质点动量随时间变化的规律，而动量定理却反映在力的持续作用下动量增量的规律。7(6)冲量是力对时间的积累，其产生的效应是物体动量的改变。(7)功是力对空间的积累，其产生的效应是物体动能的改变。(4)质点的动量和动能是两个相近易混淆的物理概念。(5)力作用结果：力作用于物体可能不对物体作功，动能可能不变，但是必定产生冲量，动量必定改变。8Oy例2-14质量为m=3.0103kg的重锤从高度为h=1.5m处自由下落打在工件上，经t=1.0102s时间速度变为零。若忽略重锤自身的重量，求重锤对工件的平均冲力。解取重锤为研究对象，y轴竖直向上。重锤与工件接触时，动量大小为Fgmh根据动量定理得ghm2210dtFtmmvv9即)2(0ghmtF解得31/22623.010(29.81.5)1.0101.6310mghFtNN根据牛顿第三定律，重锤对工件的平均冲力大小61.6310NFF方向竖直向下OyFgmh10二、质点系动量定理和质心运动定理1、质点系动量定理一个由n个质点组成的质点系，对于各个质点有111111ddniiiFF'mtv222212ddniiiFF'mtv1ddnnninniinFFmtv质点系以外的质点作用在质点系内第一个质点上的力的合力质点系以内的别的质点作用在质点系内第一个质点上的力的合力11将以上n个方程两边分别相加得由于内力成对出现，根据牛顿第三定律得所以两边同乘以dt,积分得1,11d()dnnniijiiiijijiFF'mtv,10nijijjiF'（微分形式）11d()dnniiiiiFmtv（积分形式）00111dnnntiiiiitiiiFtmmvv12上式表明，在一段时间内，作用于质点系的合外力的冲量等于质点系动量的增量。这个结论称为质点系动量定理。其分量式000000.tixiixiixttiyiiyiiyttiziiziiztFtmmFtmmFtmmvvvvvvddd此式表明，合外力在某一方向的冲量等于在该方向上质点系动量的增量。132、质心质点系的质心位置为质点系质心的直角坐标分量式mzmzmymymxmxniiiniiiniii1C1C1C,,若质量是连续分布，质心分量式mmzzmmyymmxxdd,dd,ddCCCmrmmrmmmmrmrmrmrniiiniiniiinnn111212211C实际上是与质点系统质量分布有关的一个代表点，它的位置在平均意义上代表着质量分布的中心。14ααxOldθθd注意:(1)质心的坐标值与坐标系的选取有关；(2)质量分布均匀、形状对称的实物，质心位于其几何中心处；(3)不太大的实物，质心与重心相重合。例1求半径为R、顶角为2的均匀圆弧的质心。解选择如图所示的坐标系，圆弧关于x轴对称设圆弧的线密度为，取质量元dm=Rd坐标为x=Rcos15则圆弧质心坐标为2CddcosdsindddxmxRRRxmRR3、质心运动定理由质点系动量定理的微分形式得1CniiimrrmCC11dd=ddnniiiiiirrmmmmttvvC1d()dniiimamtv11()ddnniiiiiFmtvC1niiFma16质点系质心的运动与这样一个质点的运动具有相同的规律，该质点的质量等于质点系的总质量，作用于该质点的力等于作用于质点系的外力矢量和。称为质心运动定律。不管物体的质量如何分布，也不管外力作用在物体的什么位置上，质心的运动就象是物体的全部质量都集中于此，而且所有外力也都集中作用其上的一个质点的运动一样。在引入质心的概念之后，对解决比较复杂的机械运动问题会很便利。17三、动量守恒定律如果01niiF即1()0niiimvtdd则恒矢量1niiimv在外力的矢量和为零的情况下，质点系的总动量不随时间变化——动量守恒定律。其分量式恒量(当时)恒量(当时)恒量(当时)1niiximvFixin101niiyimvFiyin101niizimvFizin0118注意：(1)系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化；(2)在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程中，往往可忽略外力，近似动量守恒；(3)动量守恒可在某一方向上成立；(4)定律中的速度应是对同一惯性系的速度，动量和应是同一时刻的动量之和；(5)动量守恒定律在微观高速范围仍适用；(6)动量守恒定律只适用于惯性系。19例2-16如图所示,大炮在发射时炮身会发生反冲现象。设炮身的仰角为θ,炮弹和炮身的质量分别为m和M,炮弹在离开炮口时的速率为v,若忽略炮身反冲时与地面的摩擦力忽略,求炮身的反冲速率。解设x轴沿水平向右，根据动量守恒定律得cos0Mm-uv所以炮身的反冲速率为cosmMvuuv20四、碰撞1、碰撞现象碰撞分两类:机械能不变的称为完全弹性碰撞；若两个物体碰撞之后结合为一体称为完全非弹性碰撞；机械能改变介于二者之间的称为非完全弹性碰撞。2、完全弹性碰撞两小球质量分别为m1和m2,碰前速度和,碰后速度和。1v2v1u2u根据动量守恒定律得11221122mmmumuvv⑴碰撞前后的速度都处于两球的连心线上的碰撞称为正碰或对心碰撞。21根据能量守恒定律得22221122112211112222mmmumuvv⑵若碰撞为正碰,则有11221122mmmumuvv⑶解得若21=mm则有1221,uuvv（两物体速度交换）12211212122()()mmmummmmvv-⑸12121212122()()mmmummmmvv-⑹若2120;vmm，且11221,0.()uuu-vv则有1220;vmm，且若1121,2uuvv则有223、完全非弹性碰撞根据动量守恒定律得112212()mmmmuvv所以112212mmummvv例1如图所示的装置称为冲击摆,可用它来测定子弹的速度。质量为m0的木块被悬挂在长度为l的细绳下端,一质量为m的子弹沿水平方向以速率v射中木块,并停留在其中。木块受到冲击而向斜上方摆动,当到达最高位置时,木块的水平位移为s。试确定子弹的速度。230mlvs解根据动量守恒定律得0()mmmuv根据机械能守恒定律得ghmmumm)()(21020由图知22=sllh--解以上三个方程的联立方程组得2202()mmgllsmv--24工程应用A跳水运动中游泳池的设计深度252FSbvSkb2Fkv3110.251.0100.08kgm20kgmk2ddtvm=kvddmv=kvx00ddvxvvk=xvm0lnmxvkv50kgm12msv4.865mx1(10)014msv米跳台26工程应用B质心运动定理在爆破中的应用