近世代数基础课件

1第一章绪论2第1讲绪论一关于代数的观念二数学史的发展阶段三代数发展的阶段(数学发展史)四代数学发展的四个阶段五几类与近世代数的应用有关的实际问题3第二章基本概念4第1讲集合及其之间的关系——集合第2讲集合及其之间的关系——对应关系(映射)(人造关系)第3讲代数运算适应的规则——运算律第4讲与代数运算发生关系的映射——同态映射第5讲等价关系与分类5第1讲基本概念之集合及其之间的关系—集合1集合与集合元素的定义2集合与集合元素的表示符号3集合与集合元素之间的关系——属于关系4集合的分类标准及分类5集合的表示方法6集合之间的内在关系——包含关系7集合运算8运算律9特殊集合的表示符号10集合的补充说明11包含与排斥原理集合与元素的相关概念集合的相关概念集合的运算及运算律集合的补充及说明6第2讲基本概念之集合及其之间的关系—对应关系(映射)(人造关系)1映射概念回忆2映射及相关定义3映射的充要条件4映射举例5符号说明6映射的合成及相关结论7映射及其映射相等概念的推广8集合及其之间的关系——特殊的映射（代数运算）9集合及其之间的关系——一一映射映射相关概念及举例映射的运算映射及其相关概念的推广特殊映射7第3讲基本概念之代数运算适应的规则——运算律1与一种代数运算发生关系的运算律（1）结合律（2）交换律（3）消去律2与两种代数运算发生关系的运算律（1）第一分配律（2）第二分配律8第4讲基本概念之与代数运算发生关系的映射——同态映射1同态映射2同态满射3同构映射4自同构映射5举例9第5讲基本概念之等价关系与集合的分类——商集1商集2等价关系3集合的分类4集合A上的等价关系与集合A的分类之间的联系10第三章群11第1讲代数系统第2讲半群第3讲群的定义及性质第4讲有限群第5讲子群的定义及性质第6讲元素的阶第7讲循环群第8讲变换群第9讲特殊子群第10讲群的同态与同构第11讲群与对称的关系特殊群12第1讲代数系统2代数系统的举例1代数系统及子代数系统的定义13第2讲半群1半群、子半群、交换半群的定义及判定定理2半群的举例3半群中幂的定义及性质141群的第一定义2单位元及逆元的定义3群的第二定义4群的第三定义5群的第四定义6群的定义的等价证明7群的举例8群的重要性质第3讲群的定义及性质15第4讲有限群1群的分类及群的阶2有限群的判定定理3由有限集合上代数运算的运算表观察代数运算的性质161子群定义2子群的判别方法3子群的性质第5讲子群的定义及性质171元素阶的定义2元素阶的举例3元素阶的性质第6讲群中元素的阶182循环群与元素阶的关系1循环群的定义及举例3循环群的一般形式5循环群生成元的确定定理第7讲循环群4循环群的生成元的个数定理19第8讲变换群1变换、满变换、单变换、一一变换的定义及符号说明2特殊集合关于乘法的结论3变换群举例4特殊的变换群201循环群子群的一些结论2循环群概念的推广3特殊子群的几何意义探讨4子群的陪集5正规子群与商群第9讲特殊子群211群的同态的定义及举例2同态的性质及结论3同构的性质及结论4循环群的构造及循环群之间的同态5同态基本定理与同构定理第10讲群的同态与同构22第11讲群与对称的关系1序言2几何对称3代数对称23第四章环论24第1讲环的定义及基本性质第2讲特殊元素及性质第3讲环的分类及特殊环的性质第4讲环的特征第5讲子环、理想(主理想)及素理想和极大理想第6讲环的同态与同构第7讲特殊环第8讲商域第9讲有限域25第1讲环的定义及基本性质1环的定义2环的举例3环的初步性质26第2讲特殊元素及性质1特殊元素之一—零元、负元及单位元、逆元、零因子2零因子的性质3求环中的特殊元素——举例27第3讲环的分类及特殊环的性质1特殊环的定义2除环的性质3有限环的几个相关结论4域中元素的计算方法5循环环的性质28第4讲环的特征1环的特征的定义2特殊环的特征(数)及相关结论3举例29第5讲子环、理想(主理想)及素理想和极大理想1子环2理想(主理想)3素理想和极大理想30第6讲环的同态与同构1环的同态及同构的定义2环的同态的举例3环的同态基本性质4商环及环的同态基本定理5环的同构基本定理31第7讲特殊环1矩阵环2多项式环3剩余类环32第8讲商域1构造域的方法2挖补定理3扩域定理4扩域的形式5商域的定义及结论6举例33第9讲有限域34第五章整环里的因子分解35第1讲不可约元、素元、最大公因子第2讲唯一分解环第3讲特殊的唯一分解环361整环的单位定义及性质2整除的定义及性质3相伴关系的性质4不可约元5最大公因子6最大公因子、互素的概念推广到多元的情形第1讲不可约元、素元、最大公因子37第2讲唯一分解环1唯一分解元、唯一分解元的标准分解式、唯一分解环、非唯一分解环举例2最大公因子的存在性定理、不可约元与素元的关系定理3唯一分解环的判定定理38第3讲特殊的唯一分解环1主理想环2欧氏环3唯一分解环上的一元多项式环4因子分解与多项式的根39第六章群论补充40第1讲共轭元与共轭子群第2讲群的直积第3讲群在集合上的作用第4讲西罗定理41研究群内一些特殊类型的元素和子群1中心和中心化子2共轭元和共轭子群3共轭子群与正规化子第1讲共轭元与共轭子群42一群的外直积1群的外直积的定义2群的外直积的基本性质3群的外直积定义的推广4群的外直积举例二群的内直积1群的内直积定义2群的内直积的充要条件3群的内直积定义的推广三群的内外直积第2讲群的直积43一群在集合上的作用的定义二群在集合上的作用举例1置换群在集合上的作用2群在自身集合上的作用3群的共轭变换定义了群在它自身上的作用4群在自身的全体子群的集合上的作用三X中的元素x在G下的轨道1X中的元素x在G下的轨道定义2X中的元素x在G下的轨道举例四轨道的相关结论第3讲群在集合上的作用44第4讲西罗定理45第一章绪论46绪论第一讲47第一章绪论一关于代数的观念二数学史的发展阶段三代数发展的阶段（数学发展史）1用字母的代数2解方程3各种代数结构的理论1萌芽阶段2初等数学阶段3高等数学阶段4近代数学阶段5现代数学阶段1初等数学时期(初等数学)2变量数学时期(高等代数)3现代数学时期(近世代数)四代数学发展的四个阶段1最初的文字叙述阶段2代数的简化文字阶段3符号代数阶段4结构代数阶段五几类与近世代数的应用有关的实际问题1项链问题3正多面体的着色问题2分子结构的计数问题5开关线路的构造与计数问题4图的构造与计数问题8代数方程根式的求解问题7几何作图问题6数字通信的可靠性问题48一关于代数的观念二数学史的发展阶段三代数发展的阶段(数学发展史)四代数学发展的四个阶段五几类与近世代数的应用有关的实际问题49一关于代数的观念从人们的观念上来看,人们关于代数的观念大致有三种：1用字母的代数2解方程3各种代数结构的理论50现代代数学的研究对象不再是以解方程为中心,而重点是研究各样的代数结构的代数性质以及它们之间的联系.当然,所谓代数结构实际上就是带有运算的集合.一般说来,这些运算还适合某些所希望的若干条件.初等代数、高等代数、线性代数都称为经典代数.它的研究对象主要是代数方程和线性方程组.而现代代数学也即近世代数(又称为抽象代数),其主要内容是研究51各种代数系统(代数结构),而对于代数结构,其基本成分则是集合和集合上的映射.而近世代数就像古典代数那样,是关于运算的学说,是计算规则的学说,但它不把自己局限在研究数的运算的性质上,而是企图研究更具一般性的元素上运算的性质,这种趋向是现实中的要求所提示的.近世代数已广泛应用于近代物理学、近代科学、计算机科学、数字通讯、系统工程等领域.52二数学史的发展阶段1萌芽阶段2初等数学阶段3高等数学阶段4近代数学阶段5现代数学阶段53三代数发展的阶段(数学发展史)代数发展的阶段初等数学时期（初等数学）变量数学时期或高等数学时期（高等代数）现代数学时期（抽象代数（近世代数））计算的对象：数计算的方法：加、减、乘、除计算的对象：若干不是数的事物（向量、矩阵、线性变换）计算的方法：类似于加、减、乘、除的运算计算的对象：集合计算的方法：运算（映射）54四代数学发展的四个阶段代数学经历了漫长的发展过程,抽象代数(近世代数)是19世纪最后20年直到20世纪前30年才发展起来的现代数学分支.1最初的文字叙述阶段2代数的简化文字阶段3符号代数阶段4结构代数阶段551最初的文字叙述阶段古希腊之前直到丢番图(Diophantine,公元250年)时代,代数学处于最初的文字叙述阶段,这一阶段除古希腊数学之外还包括古巴比伦、古埃及与古代中国的数学.此时算术或代数尚未形成任何简化的符号表达法,代数运算则都采用通常的语言叙述方式表达,因而代数推理也都采用直观的方法.在中国古代则有著名的筹算法,而在古希腊则借助于几何图形的变换方法.最典型的代表是毕达哥拉斯(Pythagoras,公元前585-497)几何数论方法.例如通过图形的组合可以得到不要认为简单的几何变换只能产生简单的代数结论,恰当地利用几何图形的变换有时也会产生重要的代数结论(如勾股定理与勾股数.21357(21)nn562简化文字阶段缺乏符号运算的代数当然是相当原始的代数学.直到古希腊数学后期,数学家丢番图才开始把通常的语言叙述作简化,利用简化的文字符号代替一些相对固定的代数表达式.这一时期称为代数的简化文字阶段,这一时期大致延续到欧洲文艺复兴时代.丢番图对代数学的发展做出了突出的贡献,《算术》一书是丢番图留下来的著作,该著作研究了一系列不定方程的求解问题.例如把一个平方数表为两个平方数之和的问题.后来欧拉发现了正整数能够表为两个整数平方和的充分必要条件.把一个给定的整数表为四个数的和再加上这四个数的平方和.求两个有理数使它们的和等于它们的立方和,例如七分之五与七分之八等等.正是在丢番图关于整数诸如此类表法研究的基础上,17世纪伟大的法国数学家费马(PierredeFermat,1601-1665)提出了不定方程xn+yn=zn在n≥3时不可解问题.19世纪费马问题的研究也是导致近世代数理想论产生的重要契机.573符号代数阶段这一阶段是经过欧洲文艺复兴之后的好几位数学家的努力而达到(它大致在17世纪完成).它的标志是用字母表示数,这一过程使代数学达到了现在我们看到的这种符号演算形式.较早的代表著作是德国数学家M.Stiefel(1486-1567)1553年的著述《综合算术》.其利用10进制小数表示实数.对代数学的符号体系做出了重要贡献的另一位代表人物是法国数学家韦达(F.Viete,1540-1603).韦达是第一个系统使用字母表示数的人,在代数、三角学等许多方面都做出了杰出的贡献.584结构代数阶段这一阶段代数学的研究对象不再是个别的数字运算,而是抽象的运算系统(如群、环、域等)的代数结构.它起因于年轻的法国数学家EvaristeGalois(1811-1832)对代数方程式解的研究.Galois引入了群与扩域的工具,解决了高次方程的求根问题.这个问题是在16世纪中叶,两位意大利数学家G.Cardano(1506)与L.Ferrari(1545)发现了三、四次方程的求根公式之后一直困扰数学家达三百年之久的代数学难题.Galois摆脱了前人关于根的计算方法的研究途径,发现根的对称性群的结构能够决定根的可解性.Galois的研究不但确立了群论在数学中的地位,同时也开创了结构代数这个新型的代数学研究方向.在数学家们致力于解决高次方程的求根问题的同时,CarlGauss(1777-1855)为了解决Fermat问题,开始一般性的研究代数数域.他的学生E.Kummer(1810-1893)在Gauss方法的基础上引入理想数,使Fermat问题的研究推进了一步.直到19世纪末已建立了群、环、域的系统理论.591834年爱尔兰数学家WilliamR.Hamiton(1805-1865)在Gauss把复数解释为二元数这一思想的启发下创建了一种奇特的不交换的数系,后来称之为Hamiton四元数.三大进展奠定了近世代数学的重要基础.1931年荷兰