物理光学第4章习题答案

物理光学第四章作业答案•1、振幅为A，波长为2/3*104nm的单色平面波的方向余弦cosα=2/3，cosβ=1/3,cosγ=2/3,试求它在xy平面上的复振幅及空间频率。•分析：•（1）单色平面波的复振幅形式：•E（x,y,z)=Aexp[ik(xcosα+ycosβ+zcosγ)]•=Aexp[i2π（ux+vy+wz)]•（2）在xy平面上，z=0，故只要求u，v•其中，u=cosα/λ，v=cosβ/λ•解：在xy平面上：•E（x,y)=Aexp[ik(xcosα+ycosβ)]•=Aexp[i2π（ux+vy)]•代入数据得：•E（x,y)=Aexp[i*100π(2x+y)]，（单位为mm）•故：•u=cosα/λ，代入数据得：u=100mm-1•v=cosβ/λ，代入数据得：v=50mm-1•其他答案：u=105m-1或10-4nm-1•v=5*104m-1或5*10-5nm-1•4、求下列函数的傅里叶频谱变换，并画出原函数和频谱的图形。•（1）Asin(2πu0x)；|x|≤L•E(X)=•0；|x|＞L•分析：•（1）对一维傅里叶变换，公式如下：•E（u）=∫∞E(x)exp(-i2πux)dx•（2）sinc(x)=sin(πx)/πx•解:(1)E（u）=∫∞E(x)exp(-i2πux)dx•=∫±LAsin(2πu0x)exp(-i2πux)dx•=∫±L(A/2i)*(ei2πu0x–e-i2πu0x)•*exp(-i2πux)dx•=∫±L(A/2i)*[ei2π(u0-u)x–e-i2π(u0+u)x]dx•=(A/4π)*[(1/u-u0)*ei2π(u0-u)x-(1/u+u0)*ei2π(u0+u)x]|±L•=iAL{sinc[2L(u+u0)-sinc[2L(u-u0)]}•(2)原函数示意图：（取A=1；L=6）•sinc(t)函数：•频谱图示意图：（取L=0.5；u0=1）•频谱图示意图：（L=0.5；u0分别取2、3、4）•6、求如图所示衍射屏的夫琅和费衍射图样的强度分布。设衍射屏由单位振幅的单色平面波垂直照明。•分析：•（1）由矩孔的复振幅透射系数，得到衍射屏的复振幅透射系数t(x,y)。P书351•（2）夫琅和费衍射场的复振幅分布E(x,y)为孔径面上（即刚透过衍射屏）光场的复振幅分布的傅里叶变换，继而得到强度分布I(x,y)。P书350；P书384•解：衍射屏的复振幅透射系数为：t(x,y)=rect(x/L)*rect(y/L)-rect(x/l)*rect(y/l)由单位振幅的单色平面波垂直照明，可得衍射屏后光场分布为：E(x1,y1)=1*t(x,y)=t(x,y)故，衍射屏的夫琅和费衍射场的复振幅分布为：E(x,y)=(1/iλz)*F{E(x1,y1)}=(1/iλz)*F{t(x,y)}=(1/iλz)*[L2sinc(Lu)sinc(Lv)-l2sinc(lu)sinc(lv)]其中，u=x/λz；v=y/λz故强度分布为：I(x,y)=(1/λz)2*F{E(x1,y1)}2=(1/λz)2*[L2sinc(Lx/λz)sinc(Ly/λz)-l2sinc(lx/λz)sinc(ly/λz)]•10、一个衍射屏具有圆对称的复振幅透射系数：t(r)=[1/2+1/2cos(ar2)]*circ(r/a)•(1)说明这一衍射屏有类似透镜的性质。•(2)给出此屏的焦距的表达式。•分析：•(1)透镜的复振幅投射系数为：•t(x,y)=exp[-ik(x12+y12)/2f]；P书383•(2)cos(x)=1/2*(eix+e-ix)•解：(1)t(r)=[1/2+1/2cos(ar2)]*circ(r/a)•={1/2+1/4*[exp(iar2)+exp(-iar2)]}*circ(r/a)•上式中，第一个因子circ(r/a)表示该衍射屏是半径为a的圆孔。•第二个因子中：•第一项1/2，使透射光的振幅衰减；•第二项的第三项均与透镜复振幅投射系数•t(x,y)=exp[-ik(x12+y12)/2f]的形式类似，当用平面波垂直照射时，这两项分别产生发散和汇聚球面波。•因此，这个衍射屏具有类似透镜的性质。•(2)对于因子exp(iar2)：a=-k/2f1，•得f1=-k/2a=-π/aλ0，发散；•对于因子exp(-iar2)：a=k/2f2，•得f2=k/2a=π/aλ0，汇聚；•对于因子1/2，1/2=1/2*e0，•可得f3=∞。•13、用一架镜头直径D=2cm，焦距f=7cm的照相机拍摄2m远受相干光照明的物体的照片，求照相机的相干传递函数，以及像和物的截止空间频率。设照明波长λ=600nm。•分析：•(1)衍射受限的相干成像系统的相干传递函数和光瞳函数有相同的形式，对直径为D的圆孔，P(ε,η)=circ(2√ε2+η2/D)；•传递函数为：H(u,v)=circ(2λL’√u2+v2/D)；•(2)截止频率为：ρmax=(√u2+v2)max=D/2λL’•解：对直径为D的圆孔，光瞳函数为：•P(ε,η)=circ(2√ε2+η2/D)；•相应的有传递函数为：•H(u,v)=circ[(2λL’)*√u2+v2/D]；•由物像关系1/L’+1/L=1/f，得：•L’=Lf/(L-f)，代入数据得，L’=7.25cm；•故，像空间的截止频率：ρmax=(√u2+v2)max=D/2λL’，代入数据得：ρmax=229.9mm-1物空间的截止频率：ρ0max=ρmax*(L’/L)=D/2λL，代入数据得：ρ0max=8.33mm-114、在上题中，若被成像的物是一个周期d的黑白光栅，问当d分别为0.4mm，0.2mm和0.1mm时，像的强度分布的大致情形是怎样？分析：周期为d的黑白光栅的基频为1/d，n级频率分量的频率为n/d，只有当频率小于物的截止频率时，该频率分量才能传递到像面，即必须：解：（1）当d=0.4mm时，利用上题的结果：故只有0，±1，±2，±3级参与成像。这时因缺少高频成分，像面上光栅像不再像原光栅那样具有尖锐的边缘。1max3.8mmo32.34.03.81maxmmmmdodnomax(2)当d=0.2mm时这时只有0，±1参与成像，这时强度分布如正弦光栅。（3）当d=0.1mm时这时仅零频通过，像面是一片均匀亮度。83.01.03.81maxmmmmdo66.12.03.81maxmmmmdo16、一个非相干成像系统的出瞳是直径为D的半圆孔，如下图所示。求沿u轴和v轴的光学传递函数的表达式。解：（1）先求沿v轴的光学传递函数。在η轴上彼此分开λl’u的两个瞳的重叠面积，有而故光瞳的面积为：因此得到沿v轴的光学传递函数为：可见沿v轴的截止频率为：cossin22DSDvl'cos212'1''cos2DvlDvlDvlDS222DSD'maxlDv（2）再来计算沿u轴的光学传递函数。在ξ轴上分开λl’u的两个光瞳的重叠面积，如下图所示：S=扇形面积-ΔOAB的面积=由于故cossin22D2/'cosDul2122/'12/'2/'cos2DulDulDulDS将S除以光瞳面积，得到沿u轴的光学传递函数：沿u轴的截止频率为：它是沿v轴截止频率的一半。DS'2maxlDu4.17在如下图所示的信息处理系统中，在平面上放置一正弦光栅，其振幅透射系数为：（1）在频谱面的中央放置一小圆屏挡住光栅的零级谱，求这时像面上的光强度分布；（2）移动小圆屏，挡住光栅的-1级谱，像面上的光强分布又是怎样？xy011()cos222txux解：(1)在相干光垂直照明下，正弦光栅的频谱为：0011()()()()22Euuuuuu挡住零级谱后0011()=()+()22Euuuuu因此，像面上的复振幅分布为00(){()}11={()}{()}22xEuuuuuFFF利用函数的傅里叶变换性质，则：002201()=()2=cos2uxuxxeeux最后得到强度分布2200()()1=cos2(1cos4)2Ixxuxux可见，像面上的强度分布仍是一正弦式分布，但空间频率为物分布的2倍。(2)-当小圆屏挡住1级谱时01()=()+(-)2Euuuu这时像面上的强度分布为02202201(){()}={()+(-)}215=(1)=+cos224iuxIxEuuuueuxFF这也是一正弦分布，且空间频率与物分布相同。与物分布不同的是,像分布的对比度降低了。4.19一个物体有如图所示的周期性振幅透射系数，如将它置于相干光学处理系统的物面位置，并在频谱面上用一小圆屏把零级谱挡住，试说明在像面上得到对比度反转的物体像。图1周期性振幅透射系数物体（如图1）（一个周期为5个单位）图2挡住零级——挡住直流量。其大小为函数的平均值（一个周期内）()45Ex挡住零级即在原图上坐标上移（如图2）解：14116,552525振幅变为：，-强度变为：，结果：原来亮暗，暗亮了，但不完全暗（对比度反转不完全相反）注意：图31)一般滤去零级谱，对比度变坏，不能改善像对比2)可吸收衰减零频分量，以改善像对比※对比度反转与周期函数结构有关（如图4）122da当时，直流分量为挡住零级后，像的复振幅仍为光栅结构。强度分布是均匀的，因而看不到光栅的像。