规模经济和垄断竞争下的D―S模型

规模经济和垄断竞争下的D—S模型第三组：张晓袁璐余佳莹黄蓉田银欢王立斌一、模型的微观基础1.已知效用函数,预算约束,证明：在约束效用最大点，价格比率/一定等于边际效用比率。bayAxUByxPPyxPxPyyxMUMU/证(1.1)(1.2)(1.1)中的,及（1.2）中的由（1.1）01xbaxyxbaPyaAxUyPxPByAxU01ybayPbbAxU0yPxPBUyxXxbaMUuyaAx1yybaMUuybAx1xxxbaPMUPyaAx1由（1.2），于是，yyybaPMUPybAx1yyxxPMUPMUyxyxPPMUMU2.给定一个柯布-道格拉斯生产函数.预算约束证明成本最小时的输入比率为证：利用拉格朗日函数法，由(2.1)及(2.2)整理，LAKqBLPKPLKKLPPLK0)(1KKLKPLAKQLPKPBLAKQ01LLPLAKQ0LPKPBQLKLKPLAKPLAK11LAKLAKPPKL11（2.2）（2.1）由于及,所以，(2.3)LLL1KKK11LKPPKLKLPPLK3.对于一个线性的柯布-道格拉斯生产函数,证明：(资本产出弹性)，(劳动产出弹性)。证由产出弹性定义，及因为求边际函数，LAKQQKQLKQKQQKLQLQQL。则及，令LKk-11LAkLLKALAKQ)(1AkLKALAKLQAkLKALAKLAKKQ)1()()1()1()(11)1(111求平均函数,然后，用平均函数分别去除边际函数，得到弹性ɛ，AkLLAkLQAkkAkKLAkKQ11)1(11AkAkLQLQAkAkKQKQQLQK4.方程2.3（及）给出了广义柯布-道格拉斯生产函数最小成本输出比率。证明：任何广义柯布-道格拉斯生产函数有单一替代弹性，即σ=1。证替代弹性被定义为：由于价格比微小的变化率所引起的最低成本比的变化率。(4.1)LKPPKLKLPPLKKLPPLKKLKLKLKLPPLKPPdLKdPPPPdLKLKd)()()()()()(KLPPdLKd因为（2.3）中的α和β为常数，而PK和PL为自变量，K/L可以视为PK/PL的函数注意到（4.1）的第二个比率中，σ=边际函数、平均函数，首先（2.3）的边际函数为然后，两边同时除以，求（2.3）的平均函数，代入（4.1），KLPPKLPPLK1)()(KLKLPPLKPPdLKd5.利用（2.3）给出的柯布-道格拉斯生产函数的最低成本比率（）检验答案，其中证因为，由（2.3）资本和劳动必须以16K：15L的比率使用。KLPPLK43,5.04.0LKPPLKq及0.50.4，1.51.630.540.4LK）（）（二、CES生产函数CES生产函数不变替代弹性生产函数(ConstantElasticityofSubstitution，缩写为CES)，是指在生产要素投入之间具有不变的替代弹性这样一类生产函数。其一般形式为式中，Q代表产出,K为资本投入,L为劳动投入。A、α、β为参数，它们满足A≥0、0≤α≤1、β≥-1的条件。1)1(LKAQCES生产函数有两个重要特性：（1）它是一次齐次的；（2）它有不变的替代弹性。1)1(LKAQ1.已知CES函数…………………………①回忆问题1的结论：如果函数达到最优，则价格比等于边际产品之比。（a）证明CES生产函数的替代弹性σ为常数，（b）确定σ的取值范围。证明：（a）根据提示，函数达到最优投入的条件是价格比等于边际产量之比KLKLPPKQLQMPMP//11111111111111)1(1111)1(KLKAKLKAKQLLKALLKALQ…………………………②利用广义幂函数法则求①式的一阶导数，KLPPLKKLKLKALLKAKQLQ1111111111111//1111111KLKLPPLKPPLK为了计算方便，令111h11KLPPhLK则…………………………③根据②式，函数达到最优投入的条件是价格比等于边际产量之比由于α和β为常数，正如问题4一样，将K/L视为PL/PK的函数。我们知道函数的边际函数与平均函数之比为替代弹性，KLKLKLKLPPLKPPdLKdPPPPdLKLKd//)/()/(/)/(/)/(则边际函数为11111)/()/(KLKLPPhPPdLKd平均函数为111//KLKLPPhPPLK11KLPPhLK由式③，…………………………⑤…………………………④（b）由（a）得，而β的取值范围是β≥-1，若-1β0，则σ1;若β=0，则σ=1；若0β,则σ1。11将④⑤两式相比，得到替代弹性1111//)/()/(111111KLKLKLKLPPhPPhPPLKPPdLKd因为β为已知参数，所以11为常数。2.证明CES生产函数是次数为1的齐次函数，从而是规模报酬不变的。1)1(),(LKALKfQ用t乘以K、L,tQLKtfLKtALKAtLKtAtLtKAtLtKf),()1()1()()1())(1()(),(11111从而证明CES生产函数是次数为1的齐次函数，即是规模报酬不变的。证明:由三、规模经济和垄断竞争下的D—S模型模型背景自第二次世界大战之后,随着科学技术的进步和生产力的不断发展以及国际政治经济形势的相对稳定,国际贸易的规模越来越大,国际贸易的商品结构和地区分布与战前相比发生了很大变化:经济发展水平相似的发达国家之间的贸易比重大大提高,占世界贸易总额的比重高达70%以上;具有相似特征的同类产品之间的贸易额大幅增加,出现了很多同一行业既出口又进口的双向贸易即产业内贸易。传统贸易理论模型(主要是李嘉图理论与HOS模型)l基于国家之间在生产技术(生产率)或要素察赋方面的差异讨论的国际贸易已经无法解释要素禀赋十分接近的产业内贸易。因此，经济学家开始引入非完全竞争的市场结构、规模报酬递增生产技术和产品差异等因素,提出了新贸易理论来设法揭示产业内贸易的产生，而D—S模型正为该理论提供了简洁的基本方法。模型假设1.企业规模经济2.行业垄断竞争3.行业内产品具有不变替代弹性消费者市场均衡1.引入CES效用函数假设存在大量的潜在产品种类,并且消费者对这些产品的需求是对称的,所有经济体中的个体消费者都具有相同的效用函数。由于效用函数是对称的，因此在市场均衡时，消费者具有相同的价格和消费量，且假设预算约束E。101niidyYUppnpEyyiiσ1(1)将预算约束代入（1）式结论：产品种类越丰富，也就是说消费者偏好尽可能多的产品，效用也越大。11)(npE101nidyY(2)2.消费者效用最大化根据上式，构建拉格朗日函数：分别对产品变量i和j求偏导：niiiEyptsyMaxY0..0noiiniiEypdyL101对于产品iiiniipydy11110111对于产品jjiinipydy11110111jjjijijippyyppyy1两式相除可得：(3)对两边分别取对数：结论：∣σ∣不仅是产品之间的替代弹性也是需求的价格弹性。)ln()ln()ln()ln(jijippyyjijippyylnln(4)(5)对（3）式两边同乘Pi为了求出j产品的需求函数，对产品i在0到n的区间上进行积分：jijiippyyp1jniiiniiipdpydyp010niijjdppEy01(6)结论：pj自身价格越高，这Yj的消费越少，P为综合价格，综合价格越高，对Yj的需求越大。1PpEPEpyyjjjj＝，，将（7）式代入（6）式，1101niidpP定义综合价格指数：(7)(8)对（6）式改写为：两边同时对j产品在0到n上进行积分：101111niijjdppEy10101101niinijinjdpdpEdy3.间接效用11101101nijnijdpEdy1101nijdpEYPEVY(9)结论：间接效用随着综合价格的上升而下降。因为对称性假设pi=p,我们可以将（7）式改写为：11110111npdpni1101niidpP结论：综合价格指数随着产品种类的增加而上升，进而引起间接效用的增大。生产者市场均衡假定有n个厂商生产不同的产品，每个厂商对其所生产的产品具有垄断性。对于厂商j有如下成本函数：其中wFcyTCjj)((10)FcyLj该成本函数具有以下特征：a.劳动投入是影响产量的唯一因素，劳动报酬等于工资率w。b.厂商具有不变的固定成本F和边际成本c。c.成本函数是次加性的，即存在规模经济。jjjjyFwcwyTCAC02jjjyFwyAC也就是说对于每一种产品只有唯一一个生产商。1.利润最大化问题（PMP）考虑到消费者的需求，每一垄断厂商将设定一个价格。对于垄断厂商j其利润函数为：jjjjTCyp(11)因此，厂商j的利润最大化问题可表示为：Maxs.t.jjjTCyp1ppEyjjwFppcEppEpMaxjjjpj11对上式求的导数（FOC）：jp01111ppcwEppEjjcwpj1（12）结论：a.每个垄断厂商面临着同样的均衡价格b.当价格高于边际成本时，厂商即可获利。利润随着替代弹性的增大而减少，当替代弹性趋于无穷大时，厂商的均衡价格就等于边际成本，也即为垄断竞争的最优均衡。ppj而这正与我们之前所熟知的垄断厂商的定价规则一致：是替代弹性的绝对值。MCp1112.均衡产出首先，