第二章桁架结构的有限元

有限元基础与ANSYS入门FiniteElementFoundationandANSYSintroduction机械工程系第二章桁架结构有限元桁架结构是指结构由许多细长杆件构成的结构系统，且杆件的弯曲刚度小，杆件的变形主要是轴向变形第二章桁架结构有限元的步骤1、桁架结构的离散化：将结构离散成有限个单元，一般的，一个杆为一个单元2、单元分析：建立单元刚度矩阵，即建立单元节点位移与节点力之间的关系3、整体分析：建立整体刚度矩阵，在满足变形条件和平衡条件的前提下，将这些单元集合成整体，即由单元刚度矩阵集成整体刚度矩阵4、解方程，计算结果刚度：材料在受力时，抵抗弹性变形的能力；即在外力作用下，刚度越大，越不容易发生变形在有限元法中，确定单元类型和位移模式后，按照虚功原理或最小势能原理建立单元各节点位移（变形）与节点力之间的关系：，其系数称为单元刚度矩阵2-1刚度的概念eeeTekdxdydzBDBF2-2坐标转换的概念在用有限元法计算中，第一步是将结构离散化，将结构离散成有限个单元，一般一个杆作为一个单元；在该单元的坐标系（局部坐标系）中建立单元刚度矩阵，所有的单元刚度矩阵（局部坐标系下）需要整和成总体刚度矩阵（整体坐标系下），即每个单元对整体的贡献，在整和过程中需要根据局部坐标系与整体坐标系之间的关系（称为坐标转换矩阵）进行坐标转换。2-3局部坐标系下的单元刚度矩阵ijlEAUiUjuiuj设杆单元长为l，拉压刚度为EA，两端节点编号为i，j，局部坐标系规定从i指向j为力和位移正向，两节点受力分别为Ui、Uj，两节点位移为ui、uj，它们之间的关系为：eeekFejiejjjiijiiejiuukkkkUU2-3局部坐标系下的单元刚度矩阵ek为局部坐标系下杆件单元的刚度矩阵，令ui、uj分别取0和1，求出单元刚度矩阵1111lEAke2-4整体坐标系下的单元刚度矩阵由于整体坐标系与局部坐标系不一致，而且在整体分析中要求各单元整和，因此必须求出整体坐标系下的单元刚度矩阵。下面求出局部坐标系与整体坐标系oxy之间的关系。oxyxyθRuvOuvxy矢量R在局部坐标系中的分量（）与在整体坐标系oxy中的分量（u,v）之间的关系为：oxyuvcossinsincosvuvvuu角度θ：x轴逆时针转到轴为正值x2-4整体坐标系下的单元刚度矩阵写成矩阵的形式为：vuvucossinsincos节点位移转换为：eTeeeejjiijjiijjiiTTTTvuvuTvuvuvuvu1,,cossinsincos,00,002-4整体坐标系下的单元刚度矩阵节点力坐标转换为：eeeeFTFTFF1,根据：eeeeeeeeeeeeTkTFTkTTFTTkTFkF111;;因此，局部坐标系下的与整体坐标系下的的转换关系为：ekekTkTkee1整体坐标系下的单元刚度矩阵ek2-5形成总体刚度矩阵2-6形成载荷所有节点的力:TnynxyxyxFFFFFF...2211对于非节点载荷，需要把它们转化成等效节点载荷2-7添加约束求解方程前面已经得出整体刚度矩阵K以及节点力F与节点位移δ的转换式：，整体刚度矩阵K是奇异阵，其逆矩阵不存在，上式的方程组是无解的不定方程组，因此必须添加约束。处理整体刚度矩阵K。约束条件1：节点n位移为un=0：在整体刚度矩阵K中，与un相对应的行与列中主对角线元素改为1，其他元素改为0，在右边向量F中，与un相对应的行元素改为0；FK约束条件2：节点n水平位移为un=un*≠0：在整体刚度矩阵K中，与un相对应的行与列中主对角线元素K2n-1,2n-1乘以一个大数A，在右边向量F中，与un相对应的行元素改为AK2n-1,2n-1un*，其他元素不变；经过这样修改后的位移法基本方程可解出节点位移δ**FK2-7添加约束求解方程2-8计算杆件内力计算出单元节点位移{ui,vi,uj,vj}T，可计算出单元两端的节点力和内力。轴向力：ejjiiejivuvulEAUU000001010000010100vuvucossinsincos2-8计算杆件内力计算单元两端的节点力：eeekF计算结果验证2-9用ANSYS软件计算杆系结构1234①②③xP=1000Nδ（0,5）（-4,3）（4,3）EA=5e6N1、建立如图所示的杆系结构；2、定义单元类型：LINK13、定义材料弹性模量EX4、定义实常数：杆的截面积0.015、划分网格：一个杆为一个单元6、定义约束7、施加载荷8、进行求解9、观察变形图、列出节点位移值采用ANSYS分析，计算节点的位移、反作用力和桁架系统的应力。几何参数及载荷如图3-10所示，杆的弹性模量E为200Gpa，横截面面积A为3250mm2。图3-10桥梁桁架模型