LECTURE 12 Mathematics in Nature 0311

数学文化Mathematics&Culture数学系W-LMathematics&CultureLecture1MathematicsinNatureMarch12,2010Lecture1Somehomework--找出如下数列的一个统一表达式:(1)2,3,5,6,7,8,10,11,…(2)1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…假定有一排蜂房,如图所示：一蜜蜂由一初始位置向右(右上,右下)爬行……问此蜜蜂从最初的位置爬到6,8号房间各有几种不同的爬法？拓而广之呢…Lecture1MathematicsinNature由最初的位置--•爬到6号房间的方法数:13种•到8号房间的方法数:34种•其本原的秘密在这里隐藏---••斐氏的幽灵12121,3,4,5,...nnnFFFFFnLecture1MathematicsinNature斐波氏的幽灵“一对兔子，出生后第二个月开始有生育能力，每月繁殖一对小兔子。问一对兔子一年中可繁殖出多少对兔子？”1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…——《计算之书》(1202)斐波纳契（Fibonacci）Lecture1MathematicsinNature2331448955342113853211兔子總對數14489553421138532110大兔子對數895534211385321101小兔子對數13121110987654321月數一年中兔子的總數為144對斐波那契數列兔子的總對數是1，1，2，3，5，8，……，斐波那契數列(Finonnacisequence)自第三項開始,每一項都是前兩項的和數列中的每一項則稱為斐波那契數(FibonnaciNumber)以符號Fn表示。F1=F2=1，而Fn=Fn-1+Fn-2(n2)Lecture1MathematicsinNatureLecture1MathematicsinNaturenF1212Fibonacci1,3,4,5,...nnnnFFFFFFn数列:用表示第n个月兔子的对数,则有二阶递推公式(一阶,二阶)Lecture1MathematicsinNature21111Fibonacci11515225Fibonacci(1)(1)2;51(2)lim;2(3),1nnnnnnnnnnnnuuuunuuuu数列的通项公式数列的性质，连分数--这不是一个普通的分数，而是一个分母上有无穷多个“1的繁分数，我们通常称这样的分数为“连分数”。11111111xLecture1MathematicsinNature上述连分数可以看作是中，把的表达式反复代入等号右端得到的;例如，第一次代入得到的是（板书）反复迭代，就得到上述连分数。11xx1111xxxLecture1MathematicsinNature上述这一全部由1构成的连分数，是最简单的一个连分数。11111111xLecture1MathematicsinNature通常，求连分数的值，如同求无理数的值一样，我们常常需要求它的近似值。如果把该连分数从第条分数线截住，即把第条分数线上、下的部分都删去，就得到该连分数的第次近似值，记作nnuvn1nnLecture1MathematicsinNature对照可算得312412341111213,,,1111235111111111111uuuuvvvv11111111xLecture1MathematicsinNature顺序排起来,这个连分数的近似值依次为其分子恰是菲波那契数列；其极限–lim=GoldenSection(黄金分割数)11112358,,,,,,,,,1235813nnnnuuvvLecture1MathematicsinNature512斐波那契數與黃金比將兩個連續的斐波那契數相比:......90.618033981346296832040......90.61904761211350.6153846113870.66666666856.05370.66666666321,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,……由此可觀察到:此數也就是黃金比90.61803398lim1nnnFF另一說法斐波那契數與黃金比將兩個連續的斐波那契數相比:.......61803398918320401346296.......61538461511321.6251813.6158666666667.1355.1231,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,……由此可觀察到:此數也是黃金比.6180339891lim1nnnFF1由此,暗示了無論(尤其是在自然現象中)在那裡出現黃金比值,也就會出現斐波那契數,反之亦然。斐波那契數與黃金比...6180339.11..0.6180339.或Lecture1MathematicsinNature马蹄莲花（1瓣）Lecture1MathematicsinNature大戟属（2瓣）Lecture1MathematicsinNature延龄草（3瓣）Lecture1MathematicsinNature耧斗菜（5瓣）Lecture1MathematicsinNature毛茛科（5瓣）Lecture1MathematicsinNature报春花（5瓣）Lecture1MathematicsinNature翠雀（5瓣）Lecture1MathematicsinNature大波斯菊（8瓣）Lecture1MathematicsinNature血根草（8瓣）Lecture1MathematicsinNature珍珠菊（13瓣）Lecture1MathematicsinNature金光菊（13瓣）Lecture1MathematicsinNature金盏花（13瓣）Lecture1MathematicsinNature大滨菊（21瓣）Lecture1MathematicsinNature菊花（34瓣）Lecture1MathematicsinNatureLecture1MathematicsinNature向日葵上方向相反的两族等角螺线的数目是斐波纳契数列中的相邻两项——通常逆时针方向21条，顺时针方向34条。21－34型向日葵Lecture1MathematicsinNature34－55型向日葵Lecture1MathematicsinNature55－89型向日葵Lecture1MathematicsinNature89－144型向日葵Lecture1MathematicsinNature松果种子的排列松果种子的排列松果种子的排列菜花表面排列的螺线数（5-8）Lecture1MathematicsinNature斐波纳契型树木Lecture1MathematicsinNature从选定的某第一片叶子开始，往上作经过各片叶子的螺旋线，直到与选定叶子同在一条直线上的那片叶子为止。设p为螺旋线转过的周数，q为螺旋线经过的叶片数（不包括第一片）。那么分数p/q就刻画了叶子的趋异性。令人惊奇的是，许多植物的p和q都是斐波纳契数！这一模式几个世纪前已被注意到，此后曾被广泛研究，但真正满意的解释直到1993年才给出。这种解释是：这是植物生长的动力学特性造成的；相邻器官原基之间的夹角是黄金角——137.50776度；这使种子的堆集效率达到最高。Lecture1MathematicsinNatureLecture1MathematicsinNatureLecture1MathematicsinNature3253斐波那契数与音乐85Lecture1MathematicsinNature鋼琴例子在一個音階中:白色的鍵數為8黑色的鍵數為5兩個連續的斐波那契數!股票指数增减的“波浪理论”①完整周期3上2下（或5上3下或3上5下），常是相继两斐波那契数；②每次股指增长幅度（8，13等）或回调幅度（8，5），常是相继两斐波那契数。股指变化有无规律？回答是肯定的。Lecture1MathematicsinNature时间股指Lecture1MathematicsinNature美国经济学家艾略特的“波浪理论”:股指波动的一个完整过程（周期）是由波形图（股指变化的图象）上的5（或8）个波组成，其中3上2下（或5上3下）,如图，无论从小波还是从大波波形上看，均如此。---2、3、5、8均系斐波那契数列中的数。Lecture1MathematicsinNature同时，每次股指的增长幅度常循斐波那契数列中数字规律完成。比如：如果某日股指上升8点，则股指下一次攀升点数为13；若股指回调，其幅度应在5点左右。显然，5、8、13为斐氏数列的相邻三项。时间股指Lecture1MathematicsinNature《达·芬奇密码》(TheDaVinciCode)Lecture1MathematicsinNaturePHI--他忽然产生了一种幻觉，仿佛自己又回到了哈佛，站在教室的讲台上讲解“艺术中的象征”,在黑板上写下他最喜爱的数字：1.618。兰登转向台下众多求知若渴的学生，问道：“谁能告诉我这是个什么数字？”一个坐在后排的大个儿的数学系学生举起手：“那是PHI。”他把它读做“fei”。Lecture1MathematicsinNature兰登继续说道：“PHI，1.618在艺术中有极其重要的地位。谁能告诉我这是为什么？”“因为它非常美？”斯提勒试图挽回自己的面子。大家哄堂大笑起来。兰登说道：“其实，...PHI通常被认为是世上最美丽的数字。”兰登在幻灯机上放上图片，解释说，PHI源于斐波那契数列———这个数列之所以非常有名，不仅是因为数列中相邻两项之和等于后一项，而且因为相邻两项相除所得的商竟然约等于1.618,也就是PHI。兰登继续解释道，从数学角度看，PHI的来源颇为神秘，但更令人费解的是它在自然界的构成中也起着极为重要的作用。植物、动物甚至人类都具有与这个比率惊人相似的特质。兰登关上教室里的灯，说道：“PHI在自然界中无处不在，这显然不是巧合，所以祖先们估计PHI是造物主事先定下的。早期的科学家把1.618称为黄金分割。”可以说，斐波那契以他的兔子问题，猜中了大自然的奥秘，而斐波那契数列的种种应用，是这个奥秘的不同体现。妙哉数学！Lecture1MathematicsinNatureLecture1MathematicsinNature意大利艺术家梅兹（MarioMerz,1925～2003）可谓三十年情系斐波纳契数列。他把这个数列用于装饰图灵意大利国家电影博物馆大楼穹顶（1984）。Lecture1MathematicsinNature更引人注目的是，梅兹还用这个数列来装饰芬兰Turku一家核电厂的烟囱（1994）！Lecture1MathematicsinNature德国乌纳国际光艺术中心Lecture1MathematicsinNature斐波纳契穹顶（梅兹，1970）Lecture1MathematicsinNature斐波纳契数列（梅兹，1986）Lecture1MathematicsinNature阿姆斯特丹Schiphol机场Lecture1MathematicsinNature斐氏数列在巴塞罗那Lecture1MathematicsinNatureVillaOrlandi,AnacapriLecture1MathematicsinNatureLecture1MathematicsinNatureMagasinsgataninGöteborg.十秒钟加数请用十秒，计算出左边一