高等数学 同济版第二节_对坐标的曲线积分

第二节一、对坐标的曲线积分的概念与性质二、对坐标的曲线积分的计算法三、两类曲线积分之间的联系对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念与性质1.引例:变力沿曲线所作的功.)),(,),((),(yxQyxPyxF1kMkMABxyL),(kkFkykxnkW10limkkkkkky)ΔηQ(ξx)ΔηξP,,((其中为n个小弧段的最大长度)2.定义.设L为xoy平面内从A到B的一条有向光滑弧,若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分,LyyxQxyxPd),(d),(kkkxP),(kkkyQ),(nk10lim则称此极限为函数或第二类曲线积分.在L上定义了一个向量函数极限记作LxyxPd),(,),(lim10nkkkkxPLyyxQd),(,),(lim10nkkkkyQ称为对x的曲线积分;称为对y的曲线积分.L称为积分弧段或积分曲线.称为被积函数,其中,3.性质(1)若L可分成k条有向光滑曲线弧LyyxQxyxPd),(d),(kiLiyyxQxyxP1d),(d),((2)用L－表示L的反向弧,则LyyxQxyxPd),(d),(则•定积分是第二类曲线积分的特例.说明:•对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!二、对坐标的曲线积分的计算法定理:在有向光滑弧L上有定义且L的参数方程为)()(tytx,:t则曲线积分)](),([ttP)(t)(ttd)](),([ttQ连续,存在,且有如果L的方程为,:),(baxxy则xxxQxxPbad)](,[)](,[)(x空间光滑曲线弧:有)(t)(t)(t)](,)(),([tttP,:)()()(ttztytx◇◇例1.计算,dLxyx其中L为沿抛物线xy2xyxy54从点的一段.)1,1()1,1(BA到)1,1(B)1,1(Aoyx例2.计算其中L为yBAoaax(1)半径为a圆心在原点的上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点A(a,0)沿x轴到点B(–a,0).334a0yxo例3.计算其中L为(1)抛物线;10:,:2xxyL(2)抛物线(3)有向折线.:ABOAL1)0,1(A)1,1(B2yx2xy例4.设在力场作用下,质点由沿移动到试求力场对质点所作的功.)(222Rk222k其中为BAzyx点O的距离成正比,例5.设一个质点在处受恒指向原点,沿椭圆此质点由点沿逆时针移动到),(yxMxyo)0,(aA),0(bBF的大小与M到原F的方向力F的作用,求力F所作的功.F)(222bakozyx例6.求从z轴正向看为顺时针方向.2)0,0,1(A)0,1,0(B)1,0,0(Coxyz例7.已知为折线ABCOA(如图),211yx1zy计算三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧L以弧长为参数的参数方程为已知L切向量的方向余弦为sysxddcos,ddcos则两类曲线积分有如下联系LyyxQxyxPd),(d),(LsyxQyxPdcos),(cos),(类似地,在空间曲线上的两类曲线积分的联系是zRyQxPdddsRQPdcoscoscos令A,),,(RQPA)d,d,(ddzyxr)cos,cos,(cosrAdrAdsAd记投影为例9.将积分化为对弧长的积分,oyxBsyxQyxPLd),(),(22xx)1(x其中L沿上半圆周例8.设曲线段L的长度为s,证明续,在L上连1.定义kkkknkyQxP),(),(limkk102.性质(1)L可分成k条有向光滑曲线弧iLkiyyxQxyxPd),(d),(1(2)L－表示L的反向弧LyyxQxyxPd),(d),(对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!内容小结3.计算,)()(:tytxL:ttttQttPd)](),([)](),([)(t)(t•对有向光滑弧•对有向光滑弧baxxyL:,)(:xxxQxxPbad)](,[)](,[)(x:,)()()(ttztytx)](,)(),([tttP)(t)(t)(t4.两类曲线积分的联系LyQxPddzRyQxPddd)](,)(),([tttQ)](,)(),([tttRtd•对空间有向光滑弧:作业P2003(2),(4),(6),(8)78第三节一、格林公式二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件格林公式及其应用LD区域D分类单连通区域(无“洞”区域)复连通区域(有“洞”区域)域D边界L的正向:观察者左侧定理1.设区域D是由分段光滑正向曲线L围成,则有LDyQxPyxyPxQdddd(格林公式)函数在D上具有连续一阶偏导数,一、格林公式推论:正向闭曲线L所围区域D的面积LLLxyyxxyyxAdddd21格林公式LDyQxPyxyPxQdddd例如,椭圆20,sincos:byaxL所围面积2022d)sincos(21ababab