数学建模-模糊数学

一模糊集合及其运算二模糊聚类分析三模糊综合评判四模糊线性规划Part2:模糊数学一、经典集合与特征函数集合：具有某种特定属性的对象集体。通常用大写字母A、B、C等表示。论域：对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。通常用大写字母U、V、X、Y等表示。论域U中的每个对象u称为U的元素。模糊集合及其运算在论域U中任意给定一个元素u及任意给定一个经典集合A，则必有或者，用函数表示为：AuAu),(}1,0{:uuUAA其中AuAuuA,0,1)(函数称为集合A的特征函数。A模糊集合及其运算罗素（Russell）悖论：在一个孤岛上唯一的一个理发师，其工作是“专门替那些不给自己刮胡子的人刮胡子”，现问理发师本人该不该给自己刮胡子？取论域U={全岛刮胡子的人}，集合A={不给自己刮胡子的人}，用特征函数刻画为某人给自己刮胡子某人不给自己刮胡子某人,0,1)(A问题：显然理发师，那么理发师是否属于A？U模糊集合及其运算二、模糊集合及其运算美国控制论专家Zadeh教授正视了经典集合描述的“非此即彼”的清晰现象，提示了现实生活中的绝大多数概念并非都是“非此即彼”那么简单，而概念的差异常以中介过渡的形式出现，表现为“亦此亦彼”的模糊现象。基于此，1965年，Zadeh教授在《InformationandControl》杂志上发表了一篇开创性论文“FuzzySets”,标志着模糊数学的诞生。模糊集合及其运算1、模糊子集定义：设U是论域，称映射]1,0[)(],1,0[:~~xxUAA确定了一个U上的模糊子集。映射称为隶属函~A~A~A数，称为对的隶属程度，简称隶属度。)(~xAx~A模糊子集由隶属函数唯一确定，故认为二者~A~A是等同的。为简单见，通常用A来表示和。~A~A模糊集合及其运算模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：（1）Zadeh表示法nnxxAxxAxxAA)()()(2211这里表示对模糊集A的隶属度是。iixxA)(ix)(ixA如“将一1,2,3,4组成一个小数的集合”可表示为4032.028.011A可省略模糊集合及其运算（3）向量表示法))(,),(),((21nxAxAxAA（2）序偶表示法))}(,(,)),(,()),(,{(2211nnxAxxAxxAxA若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：UxxxAA)(模糊集合及其运算2、模糊集的运算定义：设A，B是论域U的两个模糊子集，定义相等：UxxBxABA),()(包含：UxxBxABA),()(并：UxxBxAxBA),()())((交：UxxBxAxBA),()())((余：UxxAxAc),(1)(表示取大；表示取小。模糊集合及其运算几个常用的算子：（1）Zadeh算子),(},min{},,max{babababa（2）取大、乘积算子),(abbababa},,max{（3）环和、乘积算子),ˆ(abbaabbaba,ˆ模糊集合及其运算（4）有界和、取小算子),(},min{),(1babababa（5）有界和、乘积算子),(abbababa),(1（6）Einstain算子),()1)(1(1,1baabbaabbaba模糊集合及其运算3、模糊矩阵定义：设称R为模糊矩阵。,10,)(ijnmijrrR当只取0或1时，称R为布尔（Boole）矩阵。ijr当模糊方阵的对角线上的元素都为1时，nnijrR)(ijr称R为模糊自反矩阵。（1）模糊矩阵间的关系及运算定义：设都是模糊矩阵，定义nmijnmijbBaA)(,)(相等：ijijbaBA包含：ijijbaBA模糊集合及其运算并：nmijijbaBA)(交：nmijijbaBA)(余：nmijcaA)1(例：则设,2.03.004.0,3.02.01.01BA3.03.01.01BA2.02.004.0BA7.08.09.00cA8.07.016.0cB模糊集合及其运算（2）模糊矩阵的合成定义：设称模糊矩阵,)(,)(nsijsmijbBaAnmijcBA)(为A与B的合成，其中。}1)max{(skbackjikij例：则设,6.04.02.05.03.01.0,3.06.02.05.01.04.0BA3.03.06.05.0BA5.05.04.03.03.03.02.02.01.0AB模糊集合及其运算（3）模糊矩阵的转置定义：设称为A的,)(nmijaAnmTijTaA)(转置矩阵，其中。jiTijaa（4）模糊矩阵的截矩阵定义：设对任意的称,)(nmijaA],1,0[nmijaA)()(为模糊矩阵A的截矩阵，其中ijijijaaa,0,1)(模糊集合及其运算例：则设,18.03.008.011.02.03.01.015.002.05.01A11001100001100115.0A11001100001000018.0A模糊集合及其运算三、隶属函数的确定1、模糊统计法模糊统计试验的四个要素：（1）论域U；（2）U中的一个固定元素;0u（3）U中的一个随机运动集合;*A（4）U中的一个以作为弹性边界的模糊子集A，*A制约着的运动。可以覆盖也可以不覆盖*A*A,0u,0u致使对A的隶属关系是不确定的。0u模糊集合及其运算特点：在各次试验中，是固定的，而在随机变动。0u*A模糊统计试验过程：（1）做n次试验，计算出nAuAu的次数的隶属频率对*00（2）随着n的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为nAuuAn的次数*00lim)(0u对A的隶属度：模糊集合及其运算2、指派方法这是一种主观的方法，但也是用得最普遍的一种方法。它是根据问题的性质套用现成的某些形式的模糊分布，然后根据测量数据确定分布中所含的参数。3、其它方法德尔菲法：专家评分法；二元对比排序法：把事物两两相比，从而确定顺序，由此决定隶属函数的大致形状。主要有以下方法：相对比较法、择优比较法和对比平均法等。模糊集合及其运算模糊聚类分析一、基本概念及定理定义：设nnijrR)(是n阶模糊方阵，I是n阶单位方阵，若R满足（1）自反性：);1(ijrRI（2）对称性：);(jiijTrrRR（3）传递性：);}1)max{((2ijkjikrnkrrRR则称R为模糊等价矩阵。定理：设R是n阶模糊等价矩阵，则,10R所决定的分类中的每一个类是R所决定的分类中的某个子类。该定理表明，当时，R的分类是R分类的加细，当由1变到0时，R的分类由细变粗，形成一个动态的聚类图。模糊聚类分析例：设对于模糊等价矩阵},,,,,{54321xxxxxU16.05.04.05.06.015.04.05.05.05.014.08.04.04.04.014.05.05.08.04.01R当1时，分类为};{},{},{},{},{54321xxxxx当8.0时，分类为};{},{},{},,{54231xxxxx当6.0时，分类为};,{},{},,{54231xxxxx当5.0时，分类为};{},,,,{25431xxxxx当4.0时，分类为}.,,,,{54321xxxxx模糊聚类分析定义：设nnijrR)(是n阶模糊方阵，I是n阶单位方阵，若R满足（1）自反性：RI；（2）对称性：RRT；则称R为模糊相似矩阵。定理：设R是n阶模糊相似矩阵，则存在一个最小的自然数)(nkk，使得kR为模糊等价矩阵，且对一切大于k的自然数l，恒有.klRRkR称为R的传递闭包矩阵，记为).(Rt模糊聚类分析例：设有模糊相似矩阵13.02.03.011.02.01.01R213.02.03.012.02.02.01RRR).(13.02.03.012.02.02.01222RtRRR模糊聚类分析二、模糊聚类的一般步骤１、建立数据矩阵设论域},,,{21nxxxU为被分类对象，每个对象又由m个指标表示其性状：),,2,1(},,,{21nixxxximiii则得到原始数据矩阵为.)(mnijxX在实际问题中，不同的数据一般有不同的量纲，为了使有不同量纲的量能进行比较，需要将数据规格化，常用的方法有：模糊聚类分析（1）标准差标准化对于第i个变量进行标准化，就是将ijx换成ijx，即)1(mjSxxxiiijij式中：.)(11,1121mjiijimjijixxmSxmx模糊聚类分析（2）极差正规化}min{}max{}min{ijijijijijxxxxx（3）极差标准化}min{}max{ijijiijijxxxxx（4）最大值规格化jijijMxx其中：),,,max(21njjjjxxxM模糊聚类分析２、建立模糊相似矩阵（1）相似系数法①夹角余弦法mkjkmkikmkjkikijxxxxr12121②相关系数法mkjjkmkiikmkjjkiikijxxxxxxxxr12121)()(建立ix与jx相似程度),(jiijxxRr的方法主要有：模糊聚类分析（2）距离法一般地，取)),((1jiijxxdcr，其中,c为适当选取的参数，它使得.10ijr采用的距离有：①Hamming距离mkjkikjixxxxd1),(②Euclid距离mkjkikjixxxxd12)(),(③Chebyshev距离jkiknkjixxxxd1max),(模糊聚类分析（3）贴近度法①最大最小法mkjkikmkjkikijxxxxr11)()(②算术平均最小法mkjkikmkjkikijxxxxr11)(21)(③几何平均最小法mkjkikmkjkikijxxxxr11.)(模糊聚类分析3、聚类并画出动态聚类图（1）模糊传递闭包法步骤：①求出模糊相似矩阵R的传递闭包)(Rt；②按由大到小进行聚类；③画出动态聚类图。模糊聚类分析例：考虑某环保部门对该地区5个环境区域},,,,{54321xxxxxX按污染情况进行分类。设每个区域包含空气、水分、土壤、作物4个要素，环境区域的污染情况由污染物在4个要素中的含量超过的程度来衡量。设这5个环境区域的污染数据为：).4,2,1,10(),3,7,5,40(),6,4,6,90(),4,6,1,50(),2,6,10,80(54321xxxxx试对X进行分类。模糊聚类分析解：由题设知特性指标矩阵为43271510406469046150261080*X采用最大值规格化法将数据规格化为67.05.029.0110.02.011.044.0157.060.0167.086.010.056.033.086.0189.0X模糊聚类分析用最大最小法构造模糊相似矩阵得到138.037.053.024.038.0156.070.063.037.056.0155.062.053.070.055.0154.024.063.062.054.01R