高数第四版下册8-2

第二节偏导数一、偏导数的定义及其计算法二、高阶偏导数记为偏导数的处对在点则称此极限为函数存在如果极限取得增量相应地函数时处取得增量在而固定在当内有定义的某个邻域在点设函数定义,),(),(,),(),(limlim),,(),(,,),(),(0000000000000000xyxyxfzxyxfyxxfxzyxfyxxfzyxxxyyyxyxfzxx,00yyxxxz,00yyxxxf,00yyxxxz).,(00yxfx一、偏导数的定义及其计算法yyxfyyxfy),(),(lim00000的偏导数，即处对在点同理可定义函数yyxyxfz),(),(00,00yyxxyz,00yyxxyf,00yyxxyz).,(00yxfy记作的偏导数，记为对数那么这个偏导数就是函的偏导数都存在处对内每一点在区域如果函数),(,),(),(xyxfzxyxDyxfz,xz,xf,xz).,(yxfx),(的偏导数，记为在对同理可定义函数yyxfz,yz,yf,xz).,(yxfy偏导数的概念可以推广到二元以上函数),,(),,(处在如果zyxzyxfu,),,(),,(lim),,(0xzyxfzyxxfzyxfxx,),,(),,(lim),,(0yzyxfzyyxfzyxfyy.),,(),,(lim),,(0zzyxfzzyxfzyxfzz解xz;32yxyz.23yx21yxxz231221yxyz.7.)2,1(3122处的偏导数在求例yxyxz,82213.2222的偏导数求例zyxr解xr类似地，有.,rzzrryyr22222zyxx;rx看作常量，得和把zy222zyxx证明xz,1yyxyz,lnxxyyzxxzyxln1xxxyxyxyylnln11yyxx.2z原结论成立．zyzxxzyxxxxzy2ln1),1,0(3求证设例证明VRTp;2VRTVppRTV;pRTVRpVT;RVpTpTTVVp2VRTpRRV.1pVRT.1)(4pTTVVpRRTpV为常数为已知理想气的状态方程例).0,0(),0,0(,),(,yxffxyyxfz求设例如有关偏导数的几点说明：2.求分界点、不连续点处的偏导数要用定义讨论；解)0,0(xf0).0,0(yfxxx0|0|lim0拆开；是一个整体记号，不能偏导数.1xu一元函数中在某点可导连续，多元函数中在某点偏导数存在连续，３.偏导数存在与连续的关系但函数在该点处并不连续.偏导数存在连续.0,00,),(222222yxyxyxxyyxf例如，函数处，依定义知在)0,0(,0)0,0()0,0(yxff4.偏导数的几何意义,),()),(,,(00000上一点为曲面设yxfzyxfyxM如图所示0x0y几何意义:0x0y.),(00000轴的斜率对处的切线曲线在点所截得的就是曲面被平面偏导数xTMMyyyxfxx.),(00000轴的斜率对处的切线曲线在点所截得的就是曲面被平面偏导数yTMMxxyxfyy),,(22yxfxzxzxxx),(22yxfyzyzyyy),,(2yxfyxzxzyxy),(2yxfxyzyzxyx定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.二、高阶偏导数),(的二阶偏导数为设yxfz解xz,33322yyyxyz;9223xxyyx22xz,62xy22yz;1823xyx33xz,62yxyz2.19622yyxyxz2,19622yyx.,,13533222222323xzyzyxzxyzxzxyxyyxz及，求设例问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？.0ln)(6222222yuxuyxx,yu满足拉普拉斯方程验证函数例.),(22两个混合偏导数相等内这内连续，那么在该区域在区域及的两个混合偏导数如果函数定理Dyxzxyzyxfz解22lnyxxu,22yxyyu22xu.)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu2222yuxu.022222)(2)(yxxxyx,)(22222yxxy2222222222)()(yxyxyxxy,22yxx),ln(2122yx证明由函数关于自变量的对称性，有因此