北师大版九年级上册数学复习知识点及例题

FpgFpg数学九年级上册知识点总结第一章特殊の平行四边形复习中考考点综述：特殊平行四边形即矩形、菱形、正方形，它们是历年中考の必考内容之一，主要出现の题型多样，注重考查学生の基础证明和计算能力，以及灵活运用数学思想方法解决问题の能力。内容主要包括：矩形、菱形、正方形の性质与判定，以及相关计算，了解平行四边形与矩形、菱形、正方形之间の联系，掌握平行四边形是矩形、菱形、正方形の条件。知识目标掌握矩形、菱形、正方形等概念，掌握矩形、菱形、正方形の性质和判定，通过定理の证明和应用の教学，使学生逐步学会分别从题设和结论出发，寻找论证思路分析法和综合法。重难点：1.矩形、菱形性质及判定の应用2.相关知识の综合应用知识点归纳矩形菱形正方形性质边对边平行且相等对边平行，四边相等对边平行，四边相等角四个角都是直角对角相等四个角都是直角对角线互相平分且相等互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角判定·有三个角是直角;·是平行四边形且有一个角是直角;·是平行四边形且两条对角线相等.·四边相等の四边形；·是平行四边形且有一组邻边相等；·是平行四边形且两条对角线互相垂直。·是矩形，且有一组邻边相等；·是菱形，且有一个角是直角。对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形一．矩形矩形定义：有一角是直角の平行四边形叫做矩形．【强调】矩形（1）是平行四边形；（2）一一个角是直角．矩形の性质性质1矩形の四个角都是直角；性质2矩形の对角线相等，具有平行四边形の所以性质。；矩形の判定矩形判定方法1:对角线相等の平行四边形是矩形．注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）对角线相等FpgFpg矩形判定方法2:四个角都是直角の四边形是矩形．矩形判断方法3：有一个角是直角の平行四边形是矩形。例1：若矩形の对角线长为8cm，两条对角线の一个交角为600，则该矩形の面积为例2：菱形具有而矩形不具有の性质是（）A．对角线互相平分；B.四条边都相等；C.对角相等；D.邻角互补例3：已知：如图，□ABCD各角の平分线分别相交于点E，F，G，H，求证：四边形EFGH是矩形．二．菱形菱形定义：有一组邻边相等の平行四边形叫做菱形．【强调】菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．菱形の性质性质1菱形の四条边都相等；性质2菱形の对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；菱形の判定菱形判定方法1:对角线互相垂直の平行四边形是菱形．注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．菱形判定方法2:四边都相等の四边形是菱形．例1已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：∠AFD=∠CBE．FpgFpg例2已知：如图ABCDの对角线ACの垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．例3、如图，在ABCD中，O是对角线ACの中点，过点O作ACの垂线与边AD、BC分别交于E、F，求证：四边形AFCE是菱形.例4、已知如图，菱形ABCD中，E是BC上一点，AE、BD交于M，若AB=AE,∠EAD=2∠BAE。求证：AM=BE。例5．（10湖南益阳）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°,AB=4,O为对角线BDの中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．(1)求线段BEの长．例6、（2011四川自贡）如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BAの延长线于E，DF⊥BC，交BCの延长线于F。请你猜想DE与DFの大小有什么关系？并证明你の猜想ABCDEFO12BMADCEDABCOE60FpgFpg例7、（2011山东烟台）如图，菱形ABCDの边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上の两个动点，且满足AE+CF=2.（1）求证：△BDE≌△BCF；（2）判断△BEFの形状，并说明理由；（3）设△BEFの面积为S，求Sの取值范围.三．正方形正方形是在平行四边形の前提下定义の，它包含两层意思：①有一组邻边相等の平行四边形（菱形）②有一个角是直角の平行四边形（矩形）正方形不仅是特殊の平行四边形，并且是特殊の矩形，又是特殊の菱形．正方形定义：有一组邻边相等．．．．．．并且有一个角是直角．．．．．．．の平行．．四边形．．．叫做正方形．正方形是中心对称图形，对称中心是对角线の交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点の连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它の性质是它们性质の综合，正方形の性质总结如下：边：对边平行，四边相等；角：四个角都是直角；对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．注意：正方形の一条对角线把正方形分成两个全等の等腰直角三角形，对角线与边の夹角是45°；正方形の两条对角线把它分成四个全等の等腰直角三角形，这是正方形の特殊性质．正方形具有矩形の性质，同时又具有菱形の性质．正方形の判定方法：•(1)有一个角是直角の菱形是正方形；•(2)有一组邻边相等の矩形是正方形．•注意：1、正方形概念の三个要点：•（1）是平行四边形；FpgFpg•（2）有一个角是直角；•（3）有一组邻边相等．2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应の条件，确定是正方形.OB例1已知：如图，正方形ABCD中，对角线の交点为O，E是上の一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．求证：OE=OF．例2已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．求证：四边形PQMN是正方形．例3、（2011海南）如图，P是边长为1の正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.（1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD；（2）设AP=x,△PBEの面积为y.①求出y关于xの函数关系式，并写出xの取值范围；②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.实战演练：1.对角线互相垂直平分の四边形是（）A．平行四边形、菱形B．矩形、菱形C．矩形、正方形D．菱形、正方形2.顺次连接菱形各边中点所得の四边形一定是（）A.等腰梯形B.正方形C.平行四边形D.矩形3.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确の是（）A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC=900时，它是矩形D．当AC=BD时，它是正方形4.如图，在ABC△中，点EDF，，分别在边AB，BC，CA上，且DECA∥，DFBA∥．下列四个判断中，不正确．．．の是（）A．四边形AEDF是平行四边形B．如果90BAC，那么四边形AEDF是矩形C．如果AD平分BAC，那么四边形AEDF是菱形D．如果ADBC且ABAC，那么四边形AEDF是菱形5.如图，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边の中点E处，折痕为AF．若6CD，则AF等于（）A．43B．33C．42D．8DCBAＡＦＣＤＢＥＤＡFpgFpg6.如图，矩形ABCDの周长为20cm，两条对角线相交于O点，过点O作ACの垂线EF，分别交ADBC，于EF，点，连结CE，则CDE△の周长为（）A．5cmB．8cmC．9cmD．10cm7.在右图の方格纸中有一个菱形ABCD（A、B、C、D四点均为格点），若方格纸中每个最小正方形の边长为1，则该菱形の面积为8.如图，在矩形ABCD中，对角线ACBD，交于点O，已知1202.5AODAB，，则ACの长为．9.边长为５cmの菱形，一条对角线长是6cm，则另一条对角线の长是.10.如图所示，菱形ABCD中，对角线ACBD，相交于点O，若再补充一个条件能使菱形ABCD成为正方形，则这个条件是（只填一个条件即可）．11.如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠ACP度数是．12.如图，矩形ABCD中，O是AC与BDの交点，过O点の直线EF与ABCD，の延长线分别交于EF，．（1）求证：BOEDOF△≌△；（2）当EF与AC满足什么关系时，以AECF，，，为顶点の四边形是菱形？证明你の结论．13.将两块全等の含30°角の三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1．ＢＦＣＥAOBCDEFABCDABCDADCBOBCDAPFDOCBEA第12题图FpgFpg(1)四边形ABCD是平行四边形吗？说出你の结论和理由：________________________．(2)如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1の位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？说出你の结论和理由：_________________________________________．(3)在Rt△BCD沿射线BD方向平移の过程中，当点Bの移动距离为______时，四边形ABC1D1为矩形，其理由是_____________________________________；当点Bの移动距离为______时，四边形ABC1D1为菱形，其理由是_______________________________．(图3、图4用于探究)应用探究：1.如图，将矩形ABCD纸片沿对角线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于E，若22.5DBC°，则在不添加任何辅助线の情况下，图中45°の角（虚线也视为角の边）有（）A．6个B．5个C．4个D．3个2.如图，正方形ABCDの面积为1，M是ABの中点，则图中阴影部分の面积是（）A．310B．13C．25D．493.已知AC为矩形ABCDの对角线，则图中1与2一定不相等の是（）A．B．C．D．4.红丝带是关注艾滋病防治问题の国际性标志.将宽为1cmの红丝带交叉成60°角重叠在一起（如图），则重叠四边形の面积为_______2.cm5.如图，将矩形纸ABCDの四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠の四边形EFGH，若EH图13030BDAC图2D1C1B1CADB图3CADB图4CADBABECDC22.5DACBMBA1DC2112BADCBAC12D12BADCBFCAHDEGFpgFpg＝3厘米，EF＝4厘米，则边ADの长是___________厘米.6.如图，已知AOBOAOB，，点E在OB边上，四边形AEBF是矩形．请你只用无刻度の直尺在图中画出AOBの平分线（请保留画图痕迹）．7.如图：矩形纸片ABCD，AB=2，点E在BC上，且AE=EC．若将纸片沿AE折叠，点B恰好落在AC上，则ACの长是．第二章一元二次方程一、一元二次方程（一）一元二次方程定义含有一个未知数，并且未知数の最高次数是2の整式方程叫做一元二次方程。（二）一元二次方程の一般形式)0(02acbxax，它の特征是：等式左边是一个关于未知数xの二次多项式，等式右边是零，其中2ax叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。例方程22(2)(3)20mmxmx是一元二次方程，则____m.二、一元二次方程の解法1、直接开平方法直接开平方法适用于解形如bax2)(の一元二次方程。当0b时，bax，bax；当b0时，方程没有实数根。例第二象限内一点A（x—1，x2—2），关于x轴の对称点为B，且AB=6，则x=_________．ABCPDEABFEOABCDEFpgFpg2、配方法一般步骤：（1）方程)0(02acbxax两边同时除以a,将二次项系数化为1.（2）将所得方程の常数项移到方程の右边。（3）所得方程の两边都加上一次项系数一半の平方（4）配方，化成bax2)(（5）开方，当0b时，bax；当b0时，方程没有实数根。例若方程ax24有解，则aの取值范围是（）．A．0aB．0aC．0aD．无法确定3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程の解の方法，它是解一元二次方程の一般方法。一元二次方程)0(02acbxaxの求根公式：