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12011年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(理工农医类)参考公式:(1)()()()PABPBAPA,其中,AB为两个事件,且()0PA,(2)柱体体积公式VSh,其中S为底面面积,h为高。(3)球的体积公式343VR,其中R为求的半径。一选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的。1.若,abR,i为虚数单位,且()aiibi,则()A.1,1abB.1,1abC.1,1abD.1,1ab答案:D2.设{1,2}M,2{}Na,则“1a”是“NM”则()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件答案:A解析:因“1a”,即{1}N,满足“NM”,反之“NM”,则2{}={1}Na,或2{}={2}Na,不一定有“1a”。3.设图一是某几何体的三视图,则该几何体的体积为()A.9122B.9182C.942D.3618答案:B解析:有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体,其体积3439+332=18322V()。4.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由22()()()()()nadbcKabcdacbd算得22110(40302020)7.860506050K附表:22()PKk0.0500.0100.001k3.8416.63510.828参照附表,得到的正确结论是()A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”C.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”答案:C解析:由27.86.635K,而2(6.635)0.010PK,故由独立性检验的意义可知选C.5.设双曲线2221(0)9xyaa的渐近线方程为320xy,则a的值为()A.4B.3C.2D.1答案:C解析:由双曲线方程可知渐近线方程为3yxa,故可知2a。6.由直线,,033xxy与曲线cosyx所围成的封闭图形的面积为()A.12B.1C.32D.3答案:D解析:由定积分知识可得333333cossin|()322Sxdxx,故选D。7.设1m,在约束条件1yxymxxy下,目标函数zxmy的最大值小于2,则m的取值范围为()A.(1,12)B.(12,)C.(1,3)D.(3,)答案:A解析:画出可行域,可知5zxy在点1(,)11mmm取最大值,由21211mmm解得121m。8.设直线xt与函数2(),()lnfxxgxx的图像分别交于点,MN,则当||MN达到最3小时t的值为()A.1B.12C.52D.22答案:D解析:由题2||lnMNxx,(0)x不妨令2()lnhxxx,则1'()2hxxx,令'()0hx解得22x,因2(0,)2x时,'()0hx,当2(,)2x时,'()0hx,所以当22x时,||MN达到最小。即22t。二填空题:本大题共8小题,考生作答7小题,每小题5分,共35分,把答案填在答题卡中对应题号的横线上。一、选做题(请考生在第9、10、11三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)9.在直角坐标系xoy中,曲线C1的参数方程为cos,1sinxy(为参数)在极坐标系(与直角坐标系xoy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,曲线2C的方程为cossin10,则1C与2C的交点个数为。答案:2解析:曲线221:(1)1Cxy,2:10Cxy,由圆心到直线的距离|011|012d,故1C与2C的交点个数为2.10.设,xyR,则222211()(4)xyyx的最小值为。答案:9解析:由柯西不等式可知2222211()(4)(12)9xyyx。11.如图2,,AE是半圆周上的两个三等分点,直径4BC,ADBC,垂足为D,BE与AD相交与点F,则AF的长为。4答案:233解析:由题可知,60AOBEOC,2OAOB,得1ODBD,33DF,又23ADBDCD,所以233AFADDF.二、必做题(12~16题)12、设nS是等差数列*{}()nanN的前n项和,且141,7aa,则5______S答案:25解析:由141,7aa可得11,2,21nadan,所以5(19)5252S。13、若执行如图3所示的框图,输入1231,2,3,2xxxx,则输出的数等于。答案:23解析:由框图的算法功能可知,输出的数为三个数的方差,则222(12)(22)(32)233S。14、在边长为1的正三角形ABC中,设2,3BCBDCACE,则________ADBE。答案:14解析:由题12ADCDCACBCA,13BECECBCACB,所以111171()()232364ADBECBCACACBCBCA。15、如图4,EFGH是以O为圆心,半径为1的圆的内接正方形,将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”,B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”,则(1)=______PA();(2)=______PA(B|)答案:(1)2;(2)1=4PA(B|)5解析:(1)由几何概型概率计算公式可得2==SPAS正圆();(2)由条件概率的计算公式可得2114===24PABPAPA()(B|)()。16、对于*nN,将n表示为1210012122222kkkkknaaaaa,当0i时,1ia,当1ik时,ia为0或1.记()In为上述表示中ia为0的个数,(例如0112,2104120202:故(1)0,(4)2II)则(1)(12)_____I(2)127()12______Inn答案:(1)2;(2)1093解析:(1)因32101212+120202,故(12)2I;(2)在2进制的(2)kk位数中,没有0的有1个,有1个0的有11kC个,有2个0的有21kC个,……有m个0的有1mkC个,……有1k个0的有111kkC个。故对所有2进制为k位数的数n,在所求式中的()2In的和为:01122111111122223kkkkkkCCC。又712721恰为2进制的最大7位数,所以1277()01122231093Inknk。三.解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(本小题满分12分)在ABC中,角,,ABC所对的边分别为,,abc,且满足sincoscAaC.(I)求角C的大小;(II)求3sincos()4AB的最大值,并求取得最大值时角,AB的大小.解析:(I)由正弦定理得sinsinsincos.CAAC因为0,A所以sin0.sincos.cos0,tan1,4ACCCCC从而又所以则(II)由(I)知3.4BA于是63sincos()3sincos()43sincos2sin().63110,,,,46612623ABAAAAAAAAA从而当即时2sin()6A取最大值2.综上所述,3sincos()4AB的最大值为2,此时5,.312AB18.某商店试销某种商品20天,获得如下数据:日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时有该商品3件,当天营业结束后检查存货,若发现存货少于2件,则当天进货补充..至3件,否则不进货...,将频率视为概率。(Ⅰ)求当天商品不进货...的概率;(Ⅱ)记X为第二天开始营业时该商品的件数,求X的分布列和数学期望。解析:(I)P(“当天商店不进货”)=P(“当天商品销售量为0件”)+P(“当天商品销售量1件”)=153202010。(II)由题意知,X的可能取值为2,3.51(2)()204PxP当天商品销售量为1件;(3)()+()+(1953)++2020204PxPPP当天商品销售量为0件当天商品销售量为2件当天商品销售量为3件故X的分布列为X23P1434X的数学期望为13112+3=444EX。19.(本题满分12分)如图5,在圆锥PO中,已知2,POO的直径72,,ABCABDAC是的中点,为的中点.(I)证明:;PODPAC平面平面(II)求二面角BPAC的余弦值.解:(I)连接OC,因为OAOC,D为的AC中点,所以ACOD.又,,.POOACOACPO底面底面所以因为,ODPO是平面POD内的两条相交直线,所以ACPOD平面。而ACPAC平面,所以PODPAC平面平面。(II)在平面POD中,过O作OHPD于H,由(I)知,PODPAC平面平面,所以,OHPAC平面又,PAPAC平面所以PAOH.在平面PAO中,过O作OGPA于G,连接HG,则有PAOGH平面,从而PAHG,所以OGH是二面角BPAC的平面角.在2,sin452RtODAODOA中在2222102,51+2+2POODRtPODOHPOOD中在22216,32+1+POOARtPOAOGPOOA中在10155,sin563OHRtOHGOGHOG中,所以10cos5OGH。故二面角BPAC的余弦值为105。20.如图6,长方形物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向作匀速移动,速8度为(0)vv,雨速沿E移动方向的分速度为()ccR。E移动时单位时间....内的淋雨量包括两部分:(1)P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与vc×S成正比,比例系数为110;(2)其它面的淋雨量之和,其值为12,记y为E移动过程中的总淋雨量,当移动距离d=100,面积S=32时。(Ⅰ)写出y的表达式(Ⅱ)设0<v≤10,0<c≤5,试根据c的不同取值范围,确定移动速度v,使总淋雨量y最少。解析:(I)由题意知,E移动时单位时间内的淋雨量为31||202vc,故100315(||)(3||10)202yvcvcvv.(II)由(I)知,当0vc时,55(310)(3310)15cycvvv;当10cv时,55(103)(3310)15cyvcvv.故5(310)15,05(103)15,10cvcvyccvv。(1)当1003c时,y是关于v的减函数.故当10v时,min3202cy。(2)当1053c时,在(0,]c上,y是关于v的减函数;在(,10]c上,y是关于v的9增函数;故当vc时,min50yc。A.(本小题满分13分)如图7,椭圆22122:1(0)xyCabab的离心率为32,x轴被曲线22:Cyxb截得的线段长等于1C的长半轴长。(Ⅰ)求1C,2C的方程;(Ⅱ)设2C与y轴的交点为M,过坐标原点O的直线l与2C相交于点A,B,直线MA,MB分别与1C相交与D,E.(i)证明:MDME;(ii)记△MA
本文标题:2011年湖南高考理科数学试题及答案
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