2012年湖北高考数学理科考试试题详细解答

2012年湖北高考数学理科考试试题详细解答1/122012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北A卷）数学（理工类）本试卷共5页，共22题，其中第15、16题为选考题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方块涂黑。2.选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。3.填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试卷、草稿纸上无效。4.选考题的作答：先把所选题目的题号答在答题卡上指定的位置用统一提供的2B铅笔涂黑。考生应该根据直接的选做的题目准确填涂题号，不得多选,答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.方程2+6+13=0xx的一个根是A-3+2iB3+2iC-2+3iD2+3i222+6+13=+3+4=0+3=-4,+3=2xxxxxi，所以=-32xi，故选A2.命题“300,RxCQxQ”的否定是A300,RxCQxQB300,RxCQxQC300,RxCQxQD300,RxCQxQ存在性命题的否定为“”改为“”，后面结论加以否定，故为300,RxCQxQ，选D3.已知二次函数=yfx的图像如图所示，则它与x轴所围图形的面积为A.25B.43C.32D.2由图像可知，二次函数解析式为2=1-fxx设面积为S，则111223-10014=1-=21-=2-=33Sxdxxdxxx，故选B4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.83B.3C.103D.62012年湖北高考数学理科考试试题详细解答2/12此几何体为一个圆柱切去了一部分，此圆柱底面半径为1，高为4，现在此几何体上方补上一个和此几何体完全一样的几何体，从而构成一个底面半径为1，高为6的圆柱，这个圆柱的体积为=6V，要求几何体的体积为圆柱体积的一半，为3，故选B5.设aZ，且013a，若201251+a能被13整除，则=aA.0B.1C.11D.1220122012020121201120112012201220122012201251+=52-1+=52-52++-52++aaCCCCa，显然上式除了+1a外，其余各个因式都能被13整除，所以201251+a能被13整除，只需=12a，故选D6.设,,,,,abcxyz是正数，且222222++=10,++=40,++=20abcxyzaxbycz，则++=++abcxyzA.14B.13C.12D.34由柯西不等式知2222222++++++=400abcxyzaxbycz，而此时222222++++=400abcxyz恰好满足取等条件==abcxyz，令===,=,=,=abckakxbykczkxyz代入到222++=10abc中得2222211++=10,=,0=42kxyzkkk，所以由合比定理得++1=====++2abcabckxyzxyz，故选C7.定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数fx，如果对于任意给定的等比数列na，nfa仍是等比数列，则称fx为“保等比数列函数”。现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①2=fxx；②=2xfx；③=fxx；④=lnfxx。则其中是“保等比数列函数”的fx的序号为A.①②B.③④C.①③D.②④令等比数列na的公比为q，①2=fxx，22+12+1+12===nnnnnnfaaaqfaaa是等比数列；②=2xfx，+1+1-+12==22nnnnaaananfafa不一定是常数，不一定是等比数列；③=fxx，+1+1+1===nnnnnnafaaqfaaa是等比数列；④=lnfxx，举个特例，令=2,=ln2=ln2=ln2nnnnnafan是等差数列不是等比数列，从而选C8.如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆。在扇形OAB内随机取一点，则此点2012年湖北高考数学理科考试试题详细解答3/12取自阴影部分的概率是A.21-B.11-2C.2D.1设大圆的半径为2，则小圆半径为1，扇形面积为21=2=4S扇，而阴影部分的面积为111-2-2-+2-=-224242，在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率-22==1-P，故选A9.函数2=cosfxxx在区间[0,4]上的零点个数为A.4B.5C.6D.7当=0x时，0=0f，当204,016xx，而使余弦为零的角的弧度数为+,2kkZ，令+162k则=0,=1,=2,=3,=4kkkkk时对应角分别为3579,,,,22222均满足条件，当=5k时，11162不满足条件，综上零点个数为6个，故选C10.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式3169dV。人们还用过一些类似的近似公式。根据=3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是A.3169dVB.32dV5C.3300157dVD.32111dV由球的体积公式34=3VR得33=4VR，由此得3336=2=4VVd，经验证最精确的为D二、填空题：本大题共6小题，考试共需作答5小题，每小题5分，共25分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。（一）必考题（11-14题）11.设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c.若+-++=abcabcab，则角C=______________。由+-++=abcabcab得22222+-=+-=-abcababcab，所以222+-1cos==-22abcCab，=120C2012年湖北高考数学理科考试试题详细解答4/1212.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=___________.=1,=1ns；=2,=4ns，当=3n时，输出=9s13.回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数。如22，,11,3443,94249等。显然2位回文数有9个：11,22,33…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999。则（Ⅰ）4位回文数有______个；（Ⅱ）2n＋1（n∈N+）位回文数有______个。4位回文数有1001,1111,1221,1331，…，1991,2002,2112,2222,2332，…，2992，,9009,9119，…，9999共90个2n＋1（n∈N+）位回文数有9101010，共有n个10，所以为910n个14.如图，双曲线2222-=10xyabab的两顶点为12,AA，虚轴两端点为12,BB，两焦点为12,FF。若以12AA为直径的圆内切于菱形1122FBFB，切点分别为A，B，C，D。则（1）双曲线的离心率e=______；（2）菱形1122FBFB的面积1S与矩形ABCD的面积2S的比值12=SS__________。（1）由已知22222222222224224=a+=+-=2--3+=0bcbcbcabccacacacaca42-3+1=0ee，解得23+55+1==22ee（2）由已知得1=2Sbc，又直线22BF的方程为=--byxcc，而直线OA的方程为=cyxb联立解得222222=+=+bcxbcbcybc，所以2222222=4++bcbcSbcbc，22222222122222222222222+2-2-125+2=====222-2-14++bccaeSbcbcbcSbccaceebcbc（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分。）15.（选修4-1：几何证明选讲）如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB=4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为_____________。2012年湖北高考数学理科考试试题详细解答5/12设圆的半径为r，由已知=OCr，又22=-ODDCDCrOD，显然OD最小时，CD有最大值，而OD取最小值时，ODAB，此时22221=-=-44ODrABr，所以CD有最大值216.（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xoy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线=4与曲线2=+1=-1xtyt（t为参数）相较于A，B来两点，则线段AB的中点的直角坐标为_________。射线=4的直角坐标方程为=0yxx，曲线2=+1=-1xtyt的直角坐标方程为2=-2yx联立方程解得=1=4,=1=4xxyy，所以线段AB的中点的直角坐标为55,22三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分12分）已知向量=cos-sin,sin,=-cos-sin,23cosaxxxbxxx，设函数=+fxabxR的图像关于直线x=π对称，其中,为常数，且1,12（1）求函数fx的最小正周期；（2）若y=f（x）的图像经过点,04，求函数fx在区间30,5上的取值范围。=+=sin-cossin+cos+23sincos+fxabxxxxxx22=sin-cos+23sincos+=3sin2-cos2x+=2sin2-+6xxxxxx2012年湖北高考数学理科考试试题详细解答6/12（1）函数=+fxabxR的图像关于直线x=π对称，所以12-=+,=+,6223kkkZkz又15,1,=26，所以5=2sin-+36fxx的周期为26=553（2）若y=f（x）的图像经过点,04，则有52sin-+=0=-2346，所以5=2sin--236fxx35550,,--,,2sin--1,25366636xxx，函数fx在区间30,5上的取值范围为-1-2,2-218.（本小题满分12分）已知等差数列na前三项的和为-3，前三项的积为8.（1）求等差数列na的通项公式；（2）若231,,aaa成等比数列，求数列na的前n项的和。19.（本小题满分12分）如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示），2012年湖北高考数学理科考试试题详细解答7/12（1）当BD的长为多少时，三棱锥A-BCD的体积最大；（2