2010年全国高考理科数学试题及答案-湖北

2010年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(理工农医类)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。1．若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数Z，则表示复数1zi的点是A．EB.FC.GD.H2．设集合22{,|1}416xyAxy，{(,)|3}xBxyy，则AB的子集的个数是A．4B．3C．2D．13.在ABC中，a=15,b=10,A=60°，则cosB=A－223B223C－63D634.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A，B中至少有一件发生的概率是A512B12C712D345．已知ABC和点M满足0MAMBMC+.若存在实数m使得ABACAMm成立，则m=A．2B．3C．4D．56．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，……600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数一次为A．26,16,8B．25，17，8C．25，16，9D．24，17，97、如图，在半径为r的园内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设ns为前n个圆的面积之和，则limnns=A．22rB.832rC.42rD.62r8、现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是A．152B.126C.90D.549.若直线y=x+b与曲线234yxx有公共点，则b的取值范围是A.1,122B.122,122C.122,3D.12,310.记实数1x，2x，……nx中的最大数为max12,,......nxxx，最小数为min12,,......nxxx。已知ABC的三边长位a,b,c（abc），定义它的亲倾斜度为max,,.min,,,abcabclbcabca则“l=1”是“ABC为等边三角形”的A.必要而不充分的条件B.充分而不必要的条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写。填错位置，书写不清，模凌两可均不得分。11、在（x+43y）20的展开式中，系数为有理数的项共有_______项。12.已知2zxy，式中变量x，y满足约束条件,1,2,yxxyx，则z的最大值为___________.13.圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是cm。14．某射手射击所得环数的分布列如下：78910Px0.10.3y已知的期望E=8.9，则y的值为.15.设a0,b0,称2abab为a，b的调和平均数。如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径做半圆。过点C作AB的垂线交半圆于D。连结OD，AD，BD。过点C作OD的垂线，垂足为E。则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段的长度是a,b的几何平均数，线段的长度是a,b的调和平均数。三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16．（本小题满分12分）已知函数f(x)=11cos()cos(),()sin23324xxgxx（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；（Ⅱ）求函数h（x）=f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合。17．（本小题满分12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=(010),35kxx若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。（Ⅰ）求k的值及f(x)的表达式。（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值。18．(本小题满分12分)如图，在四面体ABOC中,,,120OCOAOCOBAOB。,且1OAOBOC（Ⅰ）设为P为AC的中点，证明：在AB上存在一点Q，使PQOA，并计算ABAQ的值；（Ⅱ）求二面角OACB的平面角的余弦值。19(本小题满分12分)已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1,0）的距离减去它到y轴距离的差都是1.(Ⅰ)求曲线C的方程；（Ⅱ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有0FAFB？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。n+1nn1nn+1nnn+122nn1nnnn20.(13)3aa1aaaa0(1),b21a1abaanabb.21.bfxaxca,fyxxn本小题满分分（1+）2（1+）已知数列满足：，，数列满足：（1）.（）求数列，的通项公式；（）证明：数列中的任意三项不可能成等差数列（本小题满分14分）已知函数（）=+（0）的图象在点（1（1））处的切线方程为=-1.()abcfxlnxa用表示出，；（）若（）在[1，+）上恒成立，求的取值范围；（Ⅲ）111n1lnnn232nn证明：（+1）+（1）（+1）2010年高考试题——数学理（湖北卷）答案与解析1．【答案】D【解析】观察图形可知3zi,则3211ziiii，即对应点H（2，－1），故D正确.2．【答案】A【解析】画出椭圆221416xy和指数函数3xy图象，可知其有两个不同交点，记为A1、A2，则AB的子集应为1212,,,,AAAA共四种，故选A.3．【答案】D【解析】根据正弦定理sinsinabAB可得1510sin60sinB解得3sin3B，又因为ba，则BA，故B为锐角，所以26cos1sin3BB，故D正确.4．【答案】C【解析】用间接法考虑，事件A、B一个都不发生的概率为451615()()()212CPABPAPBC则所求概率71()12PAB，故C正确。5．【答案】B【解析】由题目条件可知，M为ABC的重心，连接AM并延长交BC于D，则23AMAD①，因为AD为中线2ABACADmAM，即2ADmAM②,联立①②可得3m，故B正确。6．【答案】B【解析】依题意可知，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则分别是003、015、027、039构成以3为首项，12为公差的等差数列，故可分别求出在001到300中有25人，在301至495号中共有17人，则496到600中有8人，所以B正确。7．【答案】C【解析】依题意分析可知，图形中内切圆半径分别为：cos30,(cos30)cos30,(cos30,cos30)cos30,r,rrr即3333rrrr248，，，，则面积依次为：22223927rrrr41664，，，，所以22222n339271limSlim(rr)rlim(1)r4r344166414nnn故C正确.8．【答案】B【解析】分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有233318CA；若有1人从事司机工作，则方案有123343108CCA种，所以共有18+108=126种，故B正确9．【答案】C【解析】曲线方程可化简为22(2)(3)4(13)xyy，即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，依据数形结合，当直线yxb与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b距离等于2，解得122122bb或，因为是下半圆故可得122b（舍），当直线过（0，3）时，解得b=3,故1223,b所以C正确.10.【答案】A【解析】若△ABC为等边三角形时，即a=b=c，则max,,1min,,abcabcbcabca则l=1；若△ABC为等腰三角形，如a=2,b=2,c=3时，则32max,,,min,,23abcabcbcabca，此时l=1仍成立但△ABC不为等边三角形,所以A正确.11.【答案】6【解析】二项式展开式的通项公式为20204412020(3)(3)(020)rrrrrrrrTCxyCxyr要使系数为有理数，则r必为4的倍数，所以r可为0.、4、8、12、16、20共6种，故系数为有理数的项共有6项.12.【答案】5【解析】依题意，画出可行域（如图示），则对于目标函数y=2x-z，当直线经过A（2，－1）时，z取到最大值，max5Z.13.【答案】4【解析】设球半径为r，则由3VVV球水柱可得33224863rrrr,解得r=4.14.【答案】0.4【解析】由表格可知：0.10.39,780.190.3108.9xyxy联合解得0.4y.15.【答案】CDDE【解析】在Rt△ADB中DC为高，则由射影定理可得2CDACCB，故CDab，即CD长度为a,b的几何平均数，将OC=,,222abababaCDabOD代入ODCEOCCD可得abCEabab故222()2()abOEOCCEab，所以ED=OD-OE=2abab，故DE的长度为a,b的调和平均数.16.本小题主要考察三角函数的基本公式、周期和最值等基础知识，同事考察基本运算能力。（满分12分）解：（Ⅰ）1313()cos()cos()(cossin)(cossin)332222fxxxxxxx22131cos233cos211cossincos2448824xxxxx()fx的最小正周期为22（Ⅱ）112()()()cos2sin2cos(2)2224hxfxgxxxx当22()4xxkkZ时，2()2hx取得最大值.()hx取得最大值时，对应的x的集合为,8xxkkZ。17．本题主要考察函数、导数等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。（满分12分）解：（Ⅰ）设隔热层厚度为cmx，由题设，每年能源消耗费用为()35kCxx.再由(0)8C，得40k，因此40()35Cxx.而建造费用为1()6Cxx最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为140800()20()()2066(010)3535fxCxCxxxxxx（Ⅱ）22400'()6(35)fxx，令'()0fx，即224006(35)x.解得5x，253x（舍去）.当05x时，'()0fx，当510x时，'()0fx，故5x是()fx的最小值点，对应的最小值为800(5)6570155f。当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元。18．本小题主要考察空间直线与直线、直线与平面的位置关系和两面角等基础知识，同事考察空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.(满分12分)