1.1.2-3导数的概念及其几何意义

1.1.2-3导数的概念及其几何意义1、函数f(x)在[x1，x2]上的平均变化率如何表示？其几何意义怎样？复习：2、函数f(x)在x=xo处的瞬时变化率如何表示？它们有何关系？应用：例2、物体作自由落体运动,运动方程为：其中位移单位是m,时间单位是s,g=10m/s2.求：(1)物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度；(2)物体在t=2(s)时的瞬时速度.（3）物体的初始速度。221gts分析:__00()()12()2sttstsvggttt2001()()2()2ssttstgtgt解:)(212__tggtsvsss(2+t)Os(2)(1)将Δt=0.1代入上式，得:./5.2005.2__smgv的极限为：从而平均速度当__,22,0)2(vtt./202limlim0__0smgtsvvtt应用：•例3将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第x(h)时，原油的温度（单位：0C）为•f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8).计算第2（h)和第6（h）时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。它说明在第2（h)附近，原油温度大约以30C/h的速度下降；在第6（h)附近，原油温度大约以50C/H的速度上升。导数的定义:从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:•例4、求函数y=3x2在x=1处的导数.•求导数的一般步骤：（1）求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)；(2)求平均变化率；（3）求瞬时变化率，即极限。思考：函数f（x）的平均变化率的几何意义是直线的斜率，那么瞬时变化率的几何意义是什么？看书P7——观察，并回答：1、图中直线PT、PPn分别是什么？2、随着点Pn从P1、P2、P3、P4逐次向点P靠拢，割线PPn逐渐向谁靠拢？3、割线PPn的斜率是什么？你能从问题2中得出切线PT的斜率吗？PQoxyy=f(x)割线切线T导数的几何意义:我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ如果有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:'00000()()()limlimxxfxxfxykfxxx切线这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.要注意,曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.PQoxyy=f(x)割线切线T例5:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMyx.2)(2lim)11(1)1(lim)()(lim:2020000xxxxxxxfxxfkxxx解因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.曲线在点P（xo，yo）处的切线方程如何表示？切线方程为).)(()(000xxxfxfy（1）求出函数在点x0处的变化率，得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。)(0xf（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即).)(()(000xxxfxfy求切线方程的步骤：小结:无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解导数概念。例6:求经过点P(2,0)且与曲线y=的切线方程.1——x例7、已知抛物线y=2x2+1，求抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为450？00()()()limlimxxyfxxfxfxyxx在不致发生混淆时，导函数也简称导数．函数导函数由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,f’(x0)是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:（3）函数f(x)在点x0处的导数就是导函数在x=x0处的函数值，即。这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。)(0xf)(xf0|)()(0xxxfxf思考:（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的,就是函数f(x)的导函数。)(xf（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”之间有何区别与联系？