4直线的参数方程

我们学过的直线的普通方程都有哪些?两点式:112121yyxxyyxx点斜式:00()yykxxykxb1xyab一般式:0AxByCk2121yyxxtan一、引入000问题：已知一条直线过点M(x,y)，倾斜角，求这条直线的方程.解:00tan()yyxx直线的普通方程为00sin()cosyyxx把它变成00sincosyyxx进一步整理，得：,t令该比例式的比值为即00sincosyyxxt0cos(sinttyyt0x=x整理，得到是参数）要注意:,都是常数,t才是参数0x0y二、新课讲授000问题：已知一条直线过点M(x,y)，倾斜角，求这条直线的方程.M0(x0,y0)M(x,y)e(cos,sin)0MMxOy解:在直线上任取一点M(x,y),则00,)()xyxy（00(,)xxyyel设是直线的单位方向向量，则(cos,sin)e00//,,,MMetRMMte因为所以存在实数使即00(,)(cos,sin)xxyyt所以00cos,sinxxtyyt00cos,sinxxtyyt即，00cossinxxttyyt所以，该直线的参数方程为（为参数）。的一个参数方程是）直线（）为参数）的倾斜角是（（）直线（012160.110.70.20.20cos20sin31000000yxDCBAttytxB为参数）（ttytx222210,MMtelt由你能得到直线的参数方程中参数的几何意义吗？思考:|t|=|M0M|xyOM0Me解:0MMte0MMte1ee又是单位向量，0MMtet所以,直线参数方程中参数t的绝对值等于直线上动点M到定点M0的距离.这就是t的几何意义,要牢记M1M2MM1M2Mp【例1】直线l经过点M0(1，5)，倾斜角为π3，且交直线x－y－2＝0于M点，则|MM0|＝________．解析由题意可得直线l的参数方程为x＝1＋12t，y＝5＋32t(t为参数)，代入直线方程x－y－2＝0，得1＋12t－5＋32t－2＝0，解得t＝－6(3＋1)．根据t的几何意义可知|MM0|＝6(3＋1)．三、例题讲解21.:10lxyyx例已知直线与抛物线交于A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B两点的距离之积。分析:3.点M是否在直线上1.用普通方程去解还是用参数方程去解;2.分别如何解.例2ABM(-1,2)xyO三、例题讲解三、例题讲解(*)010122xxxyyx得：解：由112121xxxx，由韦达定理得：10524)(1212212xxxxkAB251251(*)21xx，解得：由25325321yy，)253,251()253,251(BA，坐标记直线与抛物线的交点2222)2532()2511()2532()2511(MBMA则245353例2①①的参数方程？）如何写出直线（l1?221ttBA，所对应的参数，）如何求出交点（有什么关系？，与、）（213ttMBMAAB例2222121tttt，由韦达定理得：(1)写出直线l的参数方程；(2)设l与圆x2＋y2＝4相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．【练2】已知直线l经过点P(1，1)，倾斜角α＝π6，解(1)直线的参数方程是x＝1＋32t，y＝1＋12t(t是参数)(2)因为点A，B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为t1和t2，则点A，B的坐标分别为A1＋32t1，1＋12t1，B1＋32t2，1＋12t2.以直线l的参数方程代入圆的方程x2＋y2＝4，整理得到t2＋(3＋1)t－2＝0.①因为t1和t2是方程①的解，从而t1t2＝－2.所以|PA|·|PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2.(2)t参数的几何意义的几个应用；.tt　　　　　1.用参数表示点的坐标、2.直线上两点间的距离、3.直线被曲线所截得的弦的长，4.中点对应的参数练31.直线参数方程标准式0cos(sinttyyt0x=x是参数）00(xxattyybt为参数）221abt当时，才具有此几何意义其它情况不能用。2.直线参数方程一般式直线非标准参数方程的标准化00(xxattyybt为参数）)()(2222022220tbababyytbabaaxxtbabyytbaaxx220220t331ytx))3(1()3(133))3(1()3(11122222222tytxt233211ytx(1)把x=5+3ty=10-4t化成标准方程的形式。已知直线参数方程是x=1+2ty=2+t(t为参数）则该直线被圆x2+y2=9截得的弦长是多少？(2)已知直线参数方程是x=1+2ty=2+t(t为参数）则该直线被圆x2+y2=9截得的弦长是多少？解：将参数方程x=1+2ty=2+t化成参数方程的标准形式x=1+t/y=2+51t/(t/为参数），并代入圆的方程，得课堂练习（1+t/）2+（2+）2=951t/整理得t/+8t/-4=0设方程的两根分别为t1/,t2/,则有t1/+t2/=-8t1/·t2/=-4所以t1/-t2/=125【练5】(2010·福建高考)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝3－22t，y＝5＋22t(t为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝25sinθ.(1)求圆C的直角坐标方程；(2)设圆C与直线l交于点A，B.若点P的坐标为(3，5)，求|PA|＋|PB|.指向高考：参数方程与极坐标方程的综合问题解法一(1)由ρ＝25sinθ，得x2＋y2－25y＝0，即x2＋(y－5)2＝5.(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得3－22t2＋22t2＝5，即t2－32t＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝20，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以t1＋t2＝32，t1·t2＝4.又直线l过点P(3，5)，故由上式及t的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝32.