4-4 线性方程组解的结构

第四节线性方程组的解的结构一、齐次线性方程组解的结构二、非齐次线性方程组解的结构向量组的线性相关性三、小结思考题返回上页下页一、齐次线性方程组的解的结构齐次线性方程组可写成向量方程的形式：1.解向量的概念OxAnm其中是由未知量x1,x2,…,xn构成的n维向量.nxxxx21因此，方程组的解称为解向量.(含有m个方程、n个未知量)返回上页下页例如，齐次线性方程组032032321xxxxx可写成向量方程：00320111321xxx此方程组有无穷多解.,000,231都是方程组的解向量.,8124容易验证返回上页下页2.Ax=O的解的性质定理1若1,2是齐次线性方程组Ax=O的两个解向量，则k11+k22(k1,k2为任意常数)也是它的解向量.证OAOA21,)(2211kkAO故，k11+k22也是Ax=O的解向量.2211AkAk说明此定理的结论显然对有限数目的多个解也成立.证毕返回上页下页3.基础解系的概念定义设1,2,…,p是Ax=O的解向量，则称1,2,…,p是Ax=O的一个基础解系.(1)1,2,…,p线性无关；(2)Ax=O的任一解向量x能由1,2,…,p线性表示.如果说明(1)若记Ax=O的全体解向量的集合为S，以上定义的基础解系就是解集S的一个极大线性无关组.即x=k11+k22+…+kpp返回上页下页(2)如果找到了Ax=O的一组基础解系1,2,…,p，那么，Ax=O的通解(一般解)可表示为：k11+k22+…+kpp(k1,k2,…,kp为任意常数)返回上页下页4.基础解系的求法定理2设A是mn矩阵，且R(A)=rn，则，齐次线性方程组Ax=O存在基础解系，且基础解系中有n－r个解向量.首先证明：如果齐次线性方程组有非零解，则方程组有基础解系.证(1)证明有n－r个线性无关的解向量1,2,…,n-r.按照高斯消元法步骤，对A作初等行变换，将A化为行最简形矩阵.(即解集合S的秩等于n－r)返回上页下页不失一般性，可设A的行最简形为0000000000000000,1,,21,2,11,1nrrrnrnrcccccc111返回上页下页相应的，Ax=O的同解方程组为000,11,,211,22,111,11nnrrrrrnnrrnnrrxcxcxxcxcxxcxcx选择x1,x2,…,xr为基本未知量，其余的n－r个未知量(即:xr+1,…,xn)为自由未知量.注意，自由未知量的个数为n－r，但选择方式不是唯一的.例如，可以将xr改为自由未知量，同时将xr+1,…,xn中的一个改为基本未知量.返回上页下页对自由未知量取如下n－r组不同的数：nrrxxx21.,100,010,001注意，自由未知量也可取另外n－r组数，只要保证它们线性无关的即可.nrrxxx21.111,,011,001例如返回上页下页将自由未知量的各组取值分别代入同解方程组，相应地，可求得n－r组基本未知量的值：rxxx21,1,1,21,1rrrrccc,2,2,22,1rrrrccc.,,,2,1nrnnccc返回上页下页将自由未知量和基本未知量的各组值合起来,得,0011,1,11rrrcc,0102,2,12rrrcc.100,,1nrnrncc,由于自由未知量的各组值对应的向量是线性无关的,根据“低维无关，高维无关”，以上的n－r个解向量是线性无关的.返回上页下页(2)证明AX=O的任一个解都可由1,2,…,n-r线性表示.对自由未知量任意取一组值：nrrxxx21rnkkk21代入同解方程组，可得一个解，(k1,k2,…,kn-r为任意常数)返回上页下页rnnrrnrrrrnrrnrrkkkckckckckckck21,2,21,1,2,221,11rnrnkkk2211因此，AX=O的任一个解都可由1,2,…,n-r线性表示.故1,2,…,n-r是AX=O的基础解系.证毕返回上页下页以上证明过程提供了求基础解系的两种方法：说明对n－r个自由未知量取n－r组数(要保证相应的向量线性无关)，100,,010,001代入同解方程组，可得n－r个线性无关的特解(基础解系).方法一通常为返回上页下页基础解系不是唯一的.这是因为:(1)对n－r个自由未知量也可以取另外的n－r组数而求得n－r个线性无关的特解；(2)自由未知量的选择也不是唯一的.虽然基础解系不是唯一的，但任何一个基础解系1,2,…,n-r构成的解集合S={k11+k22+…+kn-rn-r|k1,k2,…,kn-r为任意常数}都是等同的(AX=O的全部解的集合).返回上页下页对自由未知量取一组值k1,k2,…,kn-r(任意常数).代入同解方程组，可得含有参数k1,k2,…,kn－r的通解：rnrnkkkx2211其中1,2,…,n－r就是AX=O的基础解系.方法二返回上页下页例1设25200331211134211121A求齐次线性方程组Ax=O的通解.解一对矩阵A作初等行变换，化为行最简形矩阵00000010001010020021Ar返回上页下页5.3)(nAR故方程组有基础解系[含n－R(A)=5－3=2个线性无关的解向量]00022453521xxxxxx同解方程组为选择x2,x5为自由未知量，10,0152xx令分别代入，得012,002431xxx返回上页下页所以，原方程组的一个基础解系为012,002211010原方程组的通解为2211kkx(k1,k2为任意常数)返回上页下页解二按解一的方法，得同解方程组00022453521xxxxxx令自由未知量x2=k1,x5=k2，022221531kkkxxxk2k1101020001221kk4x2x代入方程组，得通解返回上页下页从通解中，可得出一个基础解系为10102,00012返回上页下页例2设A为mn矩阵，证明)()(ARAART分析证)(AARnT)(ARn若能证明两个方程组同解，则有.)()(ARAART两者的解集合分别含和个线性无关的解向量.(ATA)x=O和Ax=O都是n元齐次线性方程组.OAxOAxAT故，Ax=O的解必满足(ATA)x=O.两端左乘AT下面证明，(ATA)x=O的解也必满足Ax=O.返回上页下页OxAAT)(OxAAxTT)(两端左乘xTOAxAxT)()((Ax)是m1矩阵，令mbbbAx21则ObbbAxAxmT22221)()(因此，必有,011mbbb即，必有.OAx返回上页下页综合上述，(ATA)x=O和Ax=O是同解的n元方程组.因此，)(AARnT)(ARn)()(ARAART证毕返回上页下页二、非齐次线性方程组的解的结构【问题】若1,2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解，则k11+k12(k1,k2为任意常数)是否也是Ax=b的解？【答案】一般情形下，k11+k12不是Ax=b的解.这是因为：22112211)(AkAkkkAbkbk21bkk)(21b但是，非齐次线性方程组的解有如下的性质：返回上页下页定理3若1,2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解，则1－2是对应的齐次线性方程组Ax=O的解.证2121)(AAAbbO故，1－2是Ax=O的解.由定理3，进一步可得非齐次线性方程组的解的结构定理.证毕返回上页下页定理4若Ax=b有解，则其通解为其中是Ax=b的一个特解(某一个解)；*xppkkk2211*是Ax=O的通解.证bObAAA**)(故，+*是Ax=b的解.根据刚才的定理3，其中是Ax=O的通解.*设是Ax=b的任一解(通解)，*)(**因此Ax=b的通解可表示为的形式.**证毕返回上页下页返回上页下页例3设,4110,84355210222111100111bA求非齐次线性方程组Ax=b的通解.解对增广矩阵(A,b)作初等行变换，化为行最简形0000000000002/112/11002/112/1011(A,b)r返回上页下页Ax=b的同解方程组为选择x2,x4,x5为自由未知量，0542xxx令,代入上面的方程组，求得2/1,2/131xx212121215435421xxxxxxx2),()(bARAR故Ax=b有无穷多解.①求Ax=b的一个特解返回上页下页于是，Ax=b的一个特解为2/12/1000②求对应的齐次线性方程组Ax=O的基础解系Ax=O的同解方程组为0210215435421xxxxxxx返回上页下页对自由未知量x2,x4,x5的取三组值，100,010,001542xxx,11,2/12/1,0131xx分别代入Ax=O的同解方程组，依次得返回上页下页所以，Ax=O的一个基础解系为11,2/12/1,0122110结合①②的结果，得Ax=b的通解为232211kkkx(k1,k2,k3为任意常数)0110000返回上页下页说明本题也可用第三章介绍的方法求出通解：令自由未知量x2=k1,x4=k2,x5=k3,代入Ax=b的同解方程组，即可求出通解.返回上页下页三