4-4向量组的秩

第四节向量组的秩向量组的等价向量组的秩矩阵的秩与向量组的秩的关系向量组的最大无关组一.向量组的等价定义1设有向量组:,,,;:,,,AaaaBbbb12s12t若向量组A中的每一个向量都能由向量组B线性表示,则称向量组A能由向量组B线性表示.如果向量组A和向量组B能互相线性表示,则称这两个向量组等价.记为,,,,,,aaabbb12s12t显然,向量组的等价具有自反性,对称性和传递性.1.定义自反性:每个向量组与自身等价。对称性:如果向量组A与B等价,那么向量组B与A等价。传递性:如果向量组A与B等价,向量组B与C等价,那么向量组A与C等价。,,,jjjkkk12sjjjjbkakaka1122ss,,,),jjjkkaaak1212ss（若记向量组若B能由A线性表示,即对每个向量(,,,)jbj12t存在数使:,,,;:,,,AaaaBbbb12s12t2.判定(,,,)jt12,,,)tBbbb12（从而矩阵,,,)ttsssstkkkkkkaaakkk11121212221212=（AK矩阵称为向量组由向量组线性表示的系数矩阵()stijKkBA结论1若为有限个列向量组成的向量组,则组能由组线性表示的充分必要条件是矩阵方程有解.,ABBABAX矩阵：为这一表示的系数的列向量组线性表示，矩阵的列向量组能由，则矩阵若BACBACnssmnm,,,),,,)nnnssssnbbbbbbcccaaabbb1112121222121212（（,CBA的行向量组能由的行向量组线性表示为这一表示的系数矩阵：TsTTmsmmssTmTTaaaaaaaaa2121222211121121TTTCBA,又由于,,,jjjkkk12sjjjjbkakaka1122ss若B能由A线性表示,即对每个向量(,,,)jbj12t存在数使(,,,)jt12定理1设向量组均为列向量组成的向量组,则向量组B能由向量组A线性表示的充分必要条件为:,,,;:,,,stAaaaBbbb1212()(,)RARAB（P102定理1的推广）,,,,,,,)staaaBbbb1212A=令（AB)对分块矩阵（，作初等列变换有AB)A0)（，（，(,)()()RABRARA0故，(,)()RABRA若，()(,)(,)jRARAbRAB则由得(,,,)jt12(,)()jRAbRA若，jbA所以可由向量组线性表示，(,,,)jt12AB.所以向量组可由向量组线性表示推论向量组:,,,;:,,,1212msAaaaBbbb等价的充分必要条件是其中A和B是向量组A和向量组B所构成的矩阵.()()(,)RARBRAB例1设(,,,),(,,,),(,,,),(,,,),(,,,)1212311113113201131203120TTTTTaabbb证明向量组与向量组等价.,12aa,,123bbb分析:证明13111113A233011122100B(,)13233110111112213100AB()()(,)RARBRAB即可.(,)13233110111112213100AB1323302111021110633313233021110000000000()()(,)RARBRAB2所以向量组与向量组等价.,12aa,,123bbb证明向量组等价的方法:2.根据结论1若为有限个列向量组成的向量组,则组能由组线性表示的充分必要条件是矩阵方程有解.,ABBABAX等价的充分必要条件是3.根据推论向量组:,,,;:,,,1212msAaaaBbbb,RARBRAB1.根据定义进行证明。123411,TTTT已知向量组＝，0，＝0，1＝，1，＝3，-4是线性无关的;向量组中的任一个向量都可以由12，12，线性表示.1120,二.向量组的最大无关组312＝，2120,4124＝3设是所有维行向量的全体,nRn(,,,),(,,,),,(,,,)12100010001neee是中的个向量,我们知道,这个向量是线性无关的.现在任意取一个维向量nRnnn(,,,)12naaa有1122nnaeaeae,,,,neee12,,,12neee,,,12neeenR这说明是一组线性相关的向量,因此这组向量有这样2个特点:一是它们本身是线性无关的,二是如果再加进去一个向量,则所得向量组就线性相关了.此时我们称是的一个最大线性无关组。定义2设有向量组(含有有限个和无限多个向量)中能选出个向量满足,,,r12rA(1)向量组线性无关:,,,012rA线性表示(即向量组中的任意个向量均线性相关，留待后面证明)(2)中的任意向量均可由向量组:,,,012rAAA1r1.最大线性无关向量组则称为的一个最大线性无关向量组(简称最大无关组)A:,,,012rA定义了最大无关组，向量组的其中任意一向量就可以用它的最大线性无关组线性表示.在某种程度上,对这一组向量的讨论可以归结为对最大无关组的讨论.说明1.含有非零向量的向量组一定存在最大无关组2.若线性无关,则其最大无关组就是自身.,,,12r4.一个向量组的最大无关组并不是唯一的。,12aa,13aa,23aa线性无关且线性无关且线性无关且312aaa213aaa123aaa故都是向量组的最大无关组.,;,;,aaaaaa122313,,123aaa3.向量组A和它的最大无关组等价.由此例可看出这些最大无关组所含向量的个数相同.(,),(,),(,)123100111TTTaaa例如:向量组为说明最大无关组所含向量的个数相同.先介绍：:,,,;:,,,1212srAaaaBbbb定理2设有向量组若向量组线性无关,且向量组能用向量组线性表示,则BBArs(B中向量个数中向量个数)rAs()(,)RARAB若B能由A线性表示,则又向量组B线性无关，则()RBr()rRB=而rs故(,)RAB()RAs，也即：若向量组B可由向量组A线性表示,且rs则向量组线性相关。B(逆否命题)推论1两个线性无关向量组若是等价的，则必含有相同个数的向量.推论2一个向量组的任意两个最大无关组含有相同个数的向量。定义3向量组的最大无关组所含向量的个数称为该向量组的秩,记作,,,)12R(r2.向量组的秩与矩阵的行秩列秩只含有零向量的向量组没有最大无关组,规定它的秩为0.若向量组线性无关,则就是该向量组的最大无关组,该向量组的秩为.,,,12raaa,,,12raaar若向量组A的秩为r,则向量组中任意含有r个向量的线性无关的部分组都是A的一个最大无关组。向量组的秩是刻画向量组相关“程度”的一个数量概念,表明向量组中线性无关部分组最多含多少个向量.向量组的线性相关性是向量组线性关系的定性描述,而秩则是定量描述.若A是一个矩阵,将A看成是它的行向量组成的向量组,称这个向量组的秩为矩阵A的行秩.同样将A看成是它的列向量组成的向量组,这个向量组的秩称为矩阵A的列秩.例2求矩阵的行秩和列秩.121110011132AA解:不难验证向量(,,),(,,)121110线性无关而(,,)(,,)(,,)011121110即A的所有行向量都可以表示为第一,二个行向量的线性组合,即是最大线性无关组.所以A的行秩为2.(,,),(,,)121110同理可求得A的列秩.(,,)(,,)(,,)1322121110三、矩阵的秩与向量组秩的关系即矩阵的秩等于它的行向量组的秩也等于它的列向量的秩.定理3对矩阵则A()ijmnAaA的行秩的列秩()RAA由上证明知,当时,的非零的阶子式所在行(列)就构成行(列)向量组的最大线性无关组.()RArAr.0,)(),,,(21rmDrrARaaaA阶子式并设，设证由知所在的列组成的向量组线性无关;又由中所有阶子式均为零,知中任意个列向量组成的向量组线性相关,因此所在的列是的列向量组的一个最大无关组,所以列向量组的秩等于.0rDrDrA1rA1rrDrAr另,的行秩ATA的列秩()()TRARA所以()RAA的行秩A的列秩.最大无关组行即是行向量组的一个所在的最大无关组，列即是列向量组的一个所在的，则的一个最高阶非零子式是矩阵若rDrDADrrr由此可知要求向量组的秩,只需求出由该向量组构成的矩阵的秩即可.对矩阵A施以初等行变换化为矩阵B,则A与B的列向量组之间有相同的线性关系;对矩阵A施以初等列变换化为矩阵B,则A与B的行向量组之间有相同的线性关系.总而言之,矩阵的初等行(列)变换不改变其列(行)向量间的线性关系.结论2矩阵A经过初等行变换之后，其列向量组的线性关系不发生变化。例3设有向量组A(,,,),(,,,),(,,,),(,,,),(,,,),12345142121511241121112303TTTTTaaaaa(1)求向量组的秩并判定的线性相关性;(2)求向量组的一个最大线性无关组;(3)将中的其余向量用所求出的最大线性无关向量组表示.AAAA分析根据矩阵的初等变换不改变矩阵的秩而且行变换不改变列向量之间的线性关系,利用初等行变换将以为列向量的矩阵化为行阶梯形,然后在每一个阶梯中选取一个“元素”即构成此向量组的一个最大无关组,同时求得向量组的秩.当阶梯形化为“最简形”时，还可直接得到其余向量用最大无关组的线性表达式.,,,,12345aaaaa解(1)以为列向量作矩阵,用初等行变换将矩阵化为行阶梯形,,,,12345aaaaaAA112122121224121309695254100006110000011113AA(),35RA向量组的秩为3,向量组线性相关.AA(2)在每一阶梯形中选一“元素”,不妨取非零首元分别为(取法不唯一),从而对应向量组,,124aaa12345aaaaa12345aaaaa,,124aaa构成的最大线性无关组.,,,,12345aaaaa(3)对继续进行初等行变换,化为行最简形.1181810010039392527011010393181100010001660000000000A1A12345aaaaa不难看出,312512412871339186aaaaaaa对应地,有,312512412871339186aaaaaaa注意:1.最大无关组不唯一.2.当为行向量时,这时应构造.也有相同线性关系的依据是行初等变换不改变列向量之间的线性关系,,,,12345aaaaa,,,,12345TTTTTAaaaaa,,,,12345aaaaa,,,,12345aaaaa3.本题由的线性关系推出仍只能进行初等行变换21112112144622436979练习:设向量组A:求:(1)向量组A的秩并判定A的线性相关性(2)写出一个最大无关组,并把其余向量用该最大无关组线性表示.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,T