《自动控制原理》第4章根轨迹法(精)

第4章根轨迹法•本章的主要内容4.1根轨迹与根轨迹方程4.2绘制根轨迹的基本规则4.3系统闭环零极点分布与阶跃响应的关系4.4开环零极点对根轨迹的影响4.1根轨迹与根轨迹方程4.1.1根轨迹4.1.2根轨迹方程什么是时域分析?指控制系统在一定的输入下，根据输出量的时域表达式，分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。4.1.1根轨迹[根轨迹定义]：系统开环传递函数增益K（或某一参数）由零到无穷大变化时，闭环系统特征根在S平面上移动的轨迹。例：如图所示二阶系统，)15.0(ssK)(sR)(sC-特征方程为：2220D(s)ssK闭环传递函数：2222C(s)K(s)R(s)ssK系统开环传递函数为：051KG(s)s(.s)Ks2112,1特征根为：2s00K1221211K5.2KKj5.0K[讨论]：①不论开环增K为何值，根轨迹均在S平面左半部，所以系统是稳的。②当K0.5时，闭环特征根具有两不相等的负实数根，阶跃响应为非周期状态，相当于过阻尼状态。③当K=0.5时，闭环特征根具有两相等的负实根，系统处临界阻尼状态④当K0.5时，闭环特征根具有负实部的共轭复根，阶跃响应为衰减振荡过程，相当于欠阻尼状态。⑤因为开环传递函数有一个位坐标圆点的极点，系统为I型系统，在阶跃信号作用下稳态误差为零，在斜坡信号作用下稳态误差为常数。由上述分析过程可知，用直接求闭环特根的方绘制根轨迹，对二阶系统是基本可行的，然而对高阶系统将是很困难和不现实的。根轨迹的根本思路是根据反馈系统开环，闭环传递函数确定关系，通过开环传递函数寻求闭环根轨迹的分析方法。4.1.2根轨迹方程系统的结构图如下：)(sR)(sC-)(sG)(sH闭环传递函数为：)()(1)()(sHsGsGs闭环特征方程为：101D(s)G(s)H(s)G(s)H(s)写成以下标准型，得：1111mjjniiK(s)G(s)H(s)(Ts)分母时间常数。系统的开环放大倍数；式中：iTK-i-分子时间常数。也可写成：11m*jjniiK(sz)G(s)H(s)(sp)1212mnK(sz)(sz)(sz)G(s)H(s)(sp)(sp)(sp)或称为根轨迹增益K上式称为根轨迹开环传递函数的标准形式。所以，绘制根轨迹图时，首先要把开环传递函数改写成这种标准形式。11mj*Jnii(z)KK(p)),,2,1(1);,,2,1(1niTpmjziijj可写出幅值方程与相角方程，即1)()(sHsG1)()(sHsG21G(s)H(s)(K)及相角方程)12()()(11KPszsinijmj1||||11niimjjpszsK还可写成幅值方程式中K=0，1，2，……4.2绘制根轨迹的基本规则规则1：根轨迹的分支数根轨迹在S平面的分支数等于闭环特征方程的阶数n，即分支数与闭环极点的数目相同。规则2：根轨迹的分支数根轨迹对称于实轴如果闭环极点为实数时，必然在实轴上，若为复数，一定为共轭成对出现，所以根轨迹必然对称于实轴。规则3：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点，如果开环零点m小于开环极点n，则有（n-m）条根轨迹终止于无穷远。Kpszsniimjj1)()(11根轨迹方程为根轨迹的起点，即当开环增益K=0时的闭环极点，当K=0，上式右边无穷大，对应上式的左边，只有当S→Pi时为无穷大，所以K=0时，根轨迹分别从开环极点开始，即起始于开环极点。根轨迹的终点，即当开环增益K=∞时，上式右边为零，对应上式的左边，只有当S→Zi时为零，所以根轨迹的终点对应于开环零点，或者说根轨迹终止于开环零点。当nm时只有m条根轨迹终止于开环零点，由nm，当S→∞上式可写成01mnS规则4：实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹区段右侧，开环零极点数目之和为奇数。所以，当K→∞时，有条根轨迹终止于无穷远。mnjz2z1p3p1p2sdp4p5若某系统开环零，极点分布如图.现要判断一下P2和Z2之间是否存在根轨迹。可取此线段上的任一点Sd为实验点，在Sd右边实轴上的每个开环零极点引向Sd点的矢量为180°，在Sd点左边实轴上的每个开环零极点引向Sd点的矢量相角为0°，而不在实轴上的一对共轭的开环零极点引向Sd的矢量相角大小相等，方向相反，其和为零，因此，满足根轨迹方程相角条件)12()()(11KPsZsinijmj因此，实轴上根轨迹与复数开环零极点无关（因此它们在相角条件中互相抵消），与实验点左边的开环零极点无关（因为它们提供的相角均为0°），要满相角条件，只有实验点右边的开环零极点数目之和为奇数。例4-1已知单位反馈系统的开环传递函数)1()1()(TsssKsG式中τT，试大致画出其根轨迹。jz1p1=0p2解：首先将G(s)化成标准式1111K(s)K(s)G(s)s(Ts)s(s)T(KK)T由标准式可知：开环传函数有两个极点有一个零点即n=2，m=1。故有两条根轨迹。Tpp1,02111z当K=0时，两条根轨迹从开环极点开始，当K→∞时，其中一条根轨迹终止于开环零点Z1，另一条趋向于无穷远处。实轴上，（P1，Z1），（P2，-∞）为根轨迹区段，根轨迹如图所示规则5：根轨迹的渐近线当系统的开环增益K→∞时，趋向无穷远的根轨迹有条，这条根轨迹的方位可由渐近线决定。mnmnmnkoa180)12(mnzpnimjjia11与实轴正方向夹角与实轴交点式中，K=0，1，2……一直到获得个倾角为止。mn例4-2单位负反馈系统的开环传递函数为求根轨迹的渐近线。)2)(1()(sssKsG解：有三个开环极点，，开环没有零点，n=3，m=0，故有三条根轨迹趋向于无穷远，其渐近线与实轴交点为,2,1,0321ppp110120130nmijijaPZnm21213(K)(K)nm当K=0，3aa当K=1，渐近线如图60601p2p3pj规则6：根轨迹出射角和入射角根轨迹的出射角，是指起于开环极点根轨迹的方向角，即根轨迹出发点切线与水平线的夹角。根轨迹的入射角，是指终止于开环零点根轨迹的方向角，即根轨迹终止点切线与水平线的夹角。)()()12(11iknkiijkmjpkppzpK)()()12(11jkmkjjiknizkzzpzK例4-3设单位反馈系统的开环传递函数试绘制系统根轨迹。)5.15.0)(5.15.0)(5.2()2)(2)(5.1()(jsjsssjsjssKSG解：开环极点：5.15.0;5.2;03,241jpppjzz2;5.13,21开环零点:（1）实轴（0~1.5）和（）有根轨迹。~5.2180（2）渐近线n=4m=3，故只有一条根轨迹趋向无穷远。由实根轨迹可知。（3）根轨迹出射角与入射角。出射角3422211221222321232421212156519591085903721101piiiii(K)(pz)(pp)(K)(pz)(pz)(pz)(pp)(pp)(pp)(K)..(k)各向量如图4-9（a）所示。取K=0，79,7932pp同理可求根轨迹入射角901175.63121199153)12()()()12(24212412KzzpzKiiiiiz取K=0，5.1492Z3Z2Z5.1493z因为与共轭，所以各向量图如图4-9（b）所示。例4―3的根轨迹如图4-10所示。规则7：分离点（会合点）两条根轨迹在复平面会合又分开的点称为根轨迹的分离点或会合点。将系统根轨迹方程1G(s)H(s)形式，1)()(sNsKM0)()()()()(01)()()(sNsKMsNsNsKMsNsKMsD写成则特征方程根轨迹在S平面相遇，说明闭环特征方程有重根出现，根据代数中有重根条件：0)()()()(0)()()()()()()(0)()()(sMsNsMsNsNsMsNsMsDsMsNKsNsMKsD1111nmiiiidpdz另一种方法，可利用公式从上式中解出S，即可求分离点坐标d。例4-4已知系统开环传递函数，系统结构图如图所示。2223Ksss)(sR)(sC-32)2()(2sssKsG试求闭环根轨迹分离坐标，并画出根轨迹图解：由系统开环传递函数可知解法1222222230222230264230410M(s)sN(s)ssM(s)N(s)M(s)N(s)(s)(s)(ss)ssssssS2无意义舍去。分离点坐标为：d=-3.73.0,7.321ss解法2用公式有21211211djdjd解此方程3.0,7.321ddd1在根轨迹上，即为所求的分离点，d2不在根轨迹上舍去。因为21,22,11jpzn=2,m=1在实轴（－2，－∞）区段有根轨迹。出射角1449054)12(1Kp1442p系统有两条根轨迹，一条消失于零点，另一条趋于负无穷远系统根轨迹如图4-11(b)所示。规则8：根轨迹与虚轴交点根轨迹与虚轴交点可用求解，或者用劳斯判据确定。显然，当根轨迹与虚轴相交，说明此特此根实部为零，设，代入特征方程，即可求出与虚轴的交点坐标（）及其参数。js0,js例4-5已知系统开环传递函数求系统根轨迹与虚轴交点)4)(1()(sssKSG解法1：闭环特征方程20204050)4(50)4)(1()(0)4)(1()(2232KKjKKjjjsDjsKssssD代入令即根轨迹与虚轴交点为±j2，这时系统的开环增益K=20解法2：闭环特征方程D（S）=S（S+1）（S+4）=S³+5S²+4S+K=0劳斯阵列表S³14S²5KS10S°K系统临界稳定时K=20将K代入D（S）得S³+5S²+4S+20=0故545K0545K2,53,21jss其中S1不在虚轴上，不是根轨迹与虚轴交点；S2,3在虚轴上，为根轨迹与虚轴交点。例4-6设单位负反馈开环传递函数为试绘制其根轨迹图。)22)(3()(2ssssKSG解1．开环极点m=0无开环零点2．有4条根轨迹。4条根轨迹趋无穷远。3．在实轴（-3，0）有根轨迹4．渐近线4,1,3,04,321njppp与实轴交点：43,14,0)12(25.104)1()1()3(011KKmnKjjmnzpaimiinia与实轴夹角：5．分离点d3.2061615401111311112311ddddjdjdddZdpdimiini标：解方程，得出分离点坐化简：6．为复数开环极点。出射角43,PP3113212113526690mnpzjpijii(K)(K).6.716.71,043ppK由对称性7．与虚轴交点令S=jω代入特程方程068506)(8)(5)(0)22)(3(234234