第四章 测试系统的特性

4.1测试系统概论测试系统是执行测试任务的传感器、仪器和设备的总称。当测试的目的、要求不同时，所用的测试装置差别很大。简单的温度测试装置只需一个液柱式温度计，但较完整的动刚度测试系统，则仪器多且复杂。本章所指的测试装置可以小到传感器，大到整个测试系统。玻璃管温度计轴承故障检测仪在测量工作中，一般把研究对象和测量装置作为一个系统来看待。问题简化为处理输入量x(t)、系统传输特性h(t)和输出y(t)三者之间的关系。系统、输入和输出1)当输入、输出是可以测量时(已知)，可以通过它们推断系统的传输特性。2)当系统特性已知，输出可测量，可以通过它们推断导致该输出的输入量。3)如果输入和系统特性已知，则可以推断和估计系统的输出量。一、对测试系统的基本要求理想的测试系统应该具有单值的、确定的输入－输出关系。对于每一输入量都应该只有单一的输出量与之对应。知道其中一个量就可以确定另一个量。其中以输出和输入成线性关系最佳。许多实际测量装置无法在较大工作范围内满足线性要求，但可以在有效测量范围内近似满足线性测量关系要求。二、线性系统及其主要性质当系统的输入x(t)和输出y(t)之间的关系可以用常系数线性微分方程来描述：any(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(0)(t)=bmx(m)(t)+bm-1x(m-1)(t)+b1x(1)(t)+b0x(0)(t)其中a0，a1，…，an和b0，b1，…，bm均为常数，称该系统为线性定常系统。一般在工程中使用的测试装置、设备都是线性定常系统。线性定常系统有下面的一些重要性质：叠加性系统对各输入之和的输出等于各单个输入所的输出之和，即若x1(t)→y1(t)，x2(t)→y2(t)则x1(t)±x2(t)→y1(t)±y2(t)比例性常数倍输入所得的输出等于原输入所得输出的常数倍，即若x(t)→y(t)则kx(t)→ky(t)微分性系统对原输入信号的微分等于原输出信号的微分，即若x(t)→y(t)则x'(t)→y'(t)积分性当初始条件为零时，系统对原输入信号的积分等于原输出信号的积分，即若x(t)→y(t)则∫x(t)dt→∫y(t)dt频率保持性若系统的输入为某一频率的谐波信号，则系统的稳态输出将为同一频率的谐波信号，即若x(t)=Acos(ωt+φx)则y(t)=Bcos(ωt+φy)线性系统的这些主要特性，特别是符合叠加原理和频率保持性，在测量工作中具有重要作用。例如，在稳态正弦激振试验时，响应信号中只有与激励频率相同的成分才是由该激励引起的振动，而其他频率成分皆为干扰噪声，应予以剔除。为了获得准确的测量结果，需要对测量系统提出多方面的性能要求。这些性能大致包括四个方面的性能：静态特性、动态特性、负载效应和抗干扰特性。对于那些用于静态测量的测试系统，一般只需衡量其静态特性、负载效应和抗干扰特性指标。在动态测量中，则需要利用这四方面的特性指标来衡量测量仪器的质量，因为它们都将会对测量结果产生影响。4.2测试系统的静态响应特性如果测量时，测试装置的输入、输出信号不随时间而变化，则称为〕静态测量。静态测量时，装置表现出的响应特性称为静态响应特性。表示静态响应特性的参数，主要有灵敏度、非线性度和回程误差。为了评定测试装置的静态响应特性，通常采用静态测量的方法求取输入——输出关系曲线；作为该装置的标定曲线。理想线性装置的标定曲线应该是直线，但由于各种原因，实际测试装置的标定曲线并非如此。因此，一般还要按最小二乘法原理求出标定曲线的拟合直线。一、灵敏度当测试装置的输入x有一增量△x，引起输出y发生相应的变化△y时(下图c)，则定义:S=△y/△x为该测试系统的灵敏度。线性装置的灵敏度S为常数，是输入一输出关系直线的斜率，斜率越大，其灵敏度就越高。非线性装置的灵敏度S是一个变量，即X－y关系曲线的斜率，输入量不同，灵敏度就不同，通常用拟合直线的斜率表示装置的平均灵敏度。灵敏度的量纲由输入和输出的量纲决定。应该注意的是，装置的灵敏度越高，就越容易受外界干扰的影响，即装置的稳定性越差。二、非线性度标定曲线与拟合直线的偏离程度就是非线性度。若在标称（全量程）输出范围A内，标定曲线偏离拟合直线的最大偏差为B（下图a所示），则定义非线性度为:非线性度=B/A×100%拟合直线该如何确定，目前国内外还无统一的标准。较常用的是最小二乘法。三、回程误差实际测试装置在输入量由小增大和由大减小的测试过程中，对应于同一个输入量往往有不同的输出量。在同样的测试条件下，若在全量程输出范围内，对于同一个输入量所得到的两个数值不同的输出量之间差值最大者为hmax（下图b所示），则定义回程误差为：回程误差=(hmax/A)×100%回程误差是由迟滞现象产生的，即由于装置内部的弹性元件、磁性元件的滞后特性以及机械部分的摩擦、间隙、灰尘积塞等原因造成的。测试系统误差与灵敏度四、静态响应特性的其他描述描述测试装置的静态响应特性还有其他一些术语，现分述如下：精度：是与评价测试装置产生的测量误差大小有关的指标。灵敏阀：又称为死区，用来衡量测量起始点不灵敏的程度。分辨力：是指能引起输出量发生变化时输入量的最小变化量，表明测试装置分辨输入量微小变化的能力。测量范围：是指测试装置能正常测量最小输入量和最大输入量之间的范围。稳定性：是指在一定工作条件下，当输入量不变时，输出量随时间变化的程度。可靠性：是与测试装置无故障工作时间长短有关的一种描述。4.3测试系统的动态响应特性在对动态物理量（如机械振动的波形）进行测试时，测试装置的输出变化是否能真实地反映输入变化，则取决于测试装置的动态响应特性。系统的动态响应特性一般通过描述系统传递函数、频率响应函数等数学模型来进行研究。一、传递函数对线性测量系统，输入x(t)和输出y(t)之间的关系可以用常系数线性微分方程来描述：any(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(0)(t)=bmx(m)(t)+bm-1x(m-1)(t)+b1x(1)(t)+b0x(0)(t)但直接考察微分方程的特性比较困难。如果对微分方程两边取拉普拉斯变换，建立与其对应的传递函数的概念，就可以更简便、有效地描述测试系统特性与输入、输出的关系。对微分方程两边取拉普拉斯变换，得(ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0)Y(s)=(bmsm+bm-1sm-1+b1s+b0)X(s)我们定义传递函数H(s)=Y(s)/X(s)，则有传递函数与微分方程两者完全等价，可以相互转化。考察传递函数所具有的基本特性，比考察微分方程的基本特性要容易得多。这是因为传递函数是一个代数有理分式函数，其特性容易识别与研究。传递函数有以下几个特点：（1）H(s)和输入x(t)的具体表达式无关。传递函数H(s)用于描述系统本身固有的特性，与x（t）的表达式无关。x(t)不同时，y（t）的表达式也不同，但二者拉普拉斯变换的比值始终保持为H（s）。（2）不同的物理系统可以有相同的传递函数。各种具体的物理系统，只要具有相同的微分方程，其传递函数也就相同，即同一个传递函数可表示不同的物理系统。例如，液柱温度计和简单的RC低通滤波器同是一阶系统，具有相同的传递函数；动图式电表、振动子、弹簧一质量一阻尼系统和LRC振荡电路都是二阶系统，具有相同的传递函数。（3）传递函数与微分方程等价。由于拉普拉斯变换是—一对应变换，不丢失任何信息，故传递函数与微分方程等价。二、频率响应特性考虑到拉普拉斯变换中，s=σ+jω，令σ=0，则有s=jω，将其代入H(s)，得到如将H（jω）的实部和虚部分开，有H（jω）=P（ω）+jQ（ω）其中，P（ω）和Q（ω）都是ω的实函数，以频率ω为横坐标，以P（ω）和Q（ω）为纵坐标所绘的图形分别称为系统的实频特性图与虚频特性图。其中——幅频特性——相频特性)()()()(22QPHA)()()(PQarctg又若将H（jω）写成H（jω）=A（ω）ejφ(ω)用频率响应函数来描述系统的最大优点是它可以通过实验来求得。实验求得频率响应函数的原理，比较简单明了：依次用不同频率ωi的简谐信号去激励被测系统，同时测出激励和系统的稳态输出的幅值Xi；、Yi；和相位差φi。这样对于某个ωi，便有一组了Yi/Xi=Ai和φi，全部的Ai-ωi和φi-ωi，i=1,2,3,…，便可表达系统的频率响应函数。也可在初始条件全为零的情况下，同时测得输人x（t）和输出y（t），由其傅里叶变换X（ω）和Y（ω）求得频率响应函数H（ω）=Y（ω）／X（ω）。需要特别指出，频率响应函数是描述系统的简谐输人和相应的隐态输出的关系。因此，在测量系统频率响应函数时，应当在系统响应达到稳态阶段时才进行测量。尽管频率响应函数是对简谐激励而言的，但如前所述，任何信号都可分解成简谐信号的叠加。因而在任何复杂信号输人下，系统频率特性也是适用的。这时，幅频、相频特性分别表证系统对输人信号中各个频率分量幅值的缩放能力和相位角前后移动的能力。例：求一阶系统的传递函数和频率响应函数一阶系统的微分方程为上式两边取拉氏变换得)()(txtydtdy)()()(sXsYssY11)()()(ssXsYsH令s=jω，代入上式，得频率响应函数幅频特性为22)(1)(1111)(jjjH222222222)(11))(1()())(1(1))(1())(11()()(sHA相频特性)()(11)(1)(22arctgarctg三.脉冲响应函数若装置的输人为单位脉冲δ（t），因单位脉冲δ（t）的拉普拉斯变换为1，因此装置的输出y（t）。的拉普拉斯变换必将是H（s），即Y（s）=H（s），或y（t）=L-1[H（S）]，并可以记为H（t），常称它为装置的脉冲响应函数或权函数。脉冲响应函数可视为系统特性的时域描述。二阶系统的脉冲输入和响应四.阶跃响应函数若系统的输入信号为单位阶跃信号，即x(t)=u(t)，则X(s)=1/s，此时Y(s)=H(s)/s，固有y（t）=L-1[H(s)/s]。至此，系统特性在时域、频域和复数域可分别用脉冲响应函数h（t）、频率响应函数H（ω）和传递函数H（s）来描述。三者之间存在着—一对应的关系。h（t）和传递函数H（s）是一对拉普拉斯变换对；h（t）和频率响应函数H(ω)又是一对博里叶变换对。二阶系统的阶跃输入和响应五.测试环节的串联和并联如图(a)所示的两传递函数分别为H1(s)和H2(s)的环节串联而成的测试系统，其传递函数为：一般地，对由n个环节串联而成的系统，有如图(b)所示的两传递函数分别为H1(s)和H2(s)的环节并联而成的测试系统，其传递函数为一般地，对由n个环节串联而成的系统，有测试环节的串联和并联4.4实现不失真测量的条件设有一个测试系统，其输出y(t)与输入x(t)满足关系y(t)=A0x(t-t0)其中，A0，t0都是常数，此式表明该测试系统的输出波形与输入信号的波形精确地一致，只是幅值放大了A0倍，在时间上延迟了t0而已（如图所示）。这种情况下，我们认为测试系统具有不失真的特性，椐此来考察测试系统不失真测试的条件。波形不失真复现对上式做傅立叶变换，则有Y(ω)=A0e-jωt0X(ω)（详细推导如下）考虑到测试系统的实际情况，当t0时，x(t)=0，y(t)=0，于是有由此可见，若要测试系统的输出波形不失真，则其幅频特性和相频特性应分别满足A(ω)=A0=常数φ(ω)=--t0ωA（ω）不等于常数时所引起的失真称为幅值失真，φ(ω)与ω之间的非线性关系所引起的失真称为相位失真。应当指出，满足上式所示的波形不失真的条件后，装置的输出仍滞后于输入一定的时间。如果测量的目的只是精确地测出输入波形，那么上述条件完全满足不失真测量的要求。如果测量的结果要用来作为反馈控制信号，那么还应当注意到输出对输入的时间滞后有