公开课：直线与抛物线的位置关系

解析几何近几年高考的命题趋势：近几年来高考解析几何试题一直稳定在三（或二）个选择题，一个填空题，一个解答题，分值约为30分左右，占总分值的20%左右。12年的高考要求:1）了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。2）掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质。3）了解双曲线定义、几何图形标准方程，知道它的几何性质。4）能解决简单的直线与椭圆及抛物线的位置关系等问题5）理解数形结合思想。6）了解圆锥曲线的简单应用。直线与抛物线的位置关系北安市第三中学王雪【学习目标】•知识与技能目标：掌握直线与抛物线的位置关系的判断方法，能利用所学知识解决相关问题。•过程与方法目标：会类比直线与椭圆、以及直线与双曲线的位置关系的研究方法研究直线与抛物线的位置关系问题，能利用方程的思想解决直线与抛物线的位置关系的综合题。•情感态度价值观：通过本节知识的学习体会辩证统一的哲学思想。直线与圆、椭圆、双曲线的位置关系的判断方法：1、根据几何图形判断的直接判断2、直线与圆锥曲线的公共点的个数Ax+By+c=0f(x,y)=0(二次方程)解的个数形数一、复习引入:Fxy类比“直线与椭圆和双曲线的位置关系”，你能说出“直线与抛物线的位置关系”吗？二、新知讲解：直线与抛物线的位置关系相离无公共点一个公共点相切相交相交两个公共点注意：有一个公共点不一定是相切直线与抛物线的位置关系:设直线与抛物线方程分别为:y=kx+m与y2=2px:(1)若直线与对称轴平行或重合,则相交且只有一个交点.(2)若直线与对称轴相交,得:Ax2+Bx+C=0y=kx+my2=2px由故①△0相交②△=0相切③△0相离FxyoFxyoFxyoFxyo对于“几何图形观察法”，其优点在于可以根据图形的几何直观直接判断，但由于手工作图会有一定的误差，这对于我们判断结果必定会产生影响.本节课我们利用解方程组即“代数方法”解决“直线与抛物线公共点个数”的问题.例1：判断下列直线与抛物线的公共点个数（1）与1y;2xy12xy;2xy1y;2xyxy.2xy（2）与（3）与（4）与三、例题讲解（1）xy（2）xy几何法只有一个公共点得解方程组11122yxxyxy有两个公共点或得解方程组11002yxyxxyxy代数法（3）（4）四、新知探究已知抛物线的方程为，动直线过定点，斜率为.当为何值时，直线与抛物线：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？l)1,2(Pxy42kklxy42代数法方法：)2(1xky因为直线过点P（-2,1），斜率为K利用直线的点斜式方程：xyxky42)2(1联立方程得公共点的个数方程组解的个数消元方法0)12(442kyky整理得如何求方程①的解呢？①我们到底有没有必要求出方程的解呢？方法探究——代数法方程①的解的个数对应的方程组（*）0)12(442kyky①该方程有几个解呢？它一定是二次方程吗？对系数分类讨论k当时，方程①为一次方程，此时只有一个解；0k当时，方程①为二次方程，此时需讨论判别式0k解：由题意，设直线的方程为l)2(1xky由方程组,42,)2(1xyxky（*）可得.0)12(442kyky①（1）当时，由方程①得0k.1y把代入得1yxy42.41x这时，直线与抛物线只有一个公共点l)1,41(（2）当时，方程①的判别式为0k)122(16kk（Ⅰ）由即,0,0122kk解得.21,1kk或于是，当时，方程①只有一个解，从而方程组（*）只有一个解，这时，直线与抛物线只有一个公共点.21,1kk或（Ⅱ）由即,0,0122kk解得.211k于是，当时，方程①有两个解，从而方程组（*）有两个解.这时，直线与抛物线有两个公共点.0211kk且（Ⅲ）由即,0,0122kk解得21,1kk或方程组无解，此时直线与抛物线没有交点综上，我们可得当或或时，直线与抛物线只有一个公共点；,1k,21k0kl211k当，且时，直线与抛物线有两个公共点；0kl当，或时，直线与抛物线没有公共点；1k21kl五、总结提升：第一步：求出直线的方程；第二步：联立直线与抛物线的方程，消元得到关于或的方程；lxy02cbyay第三步：讨论的系数与的关系.若，则得到一元一次方程；若，则讨论判别式的符号.2ya0a0a第四步：下结论0六、变式训练1、已知抛物线的方程为，直线过定点，斜率为.当为何值时，直线与抛物线：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？)1,0(Pxy42kklxy42.10110时，没有公共点当时，有两个公共点；且当时，有一个公共点；或当kkkk2、已知抛物线方程为，直线方程，当为何值时，直线与抛物线：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？xy42lxy42mxy2m七、思考题：1、若直线交抛物线于两点，且，求的值.xy82BA、2kxyl：152ABk2、已知抛物线，过点引弦xy62)1,4(P21PP，使它恰好被点平分，求这条弦所在的直线方程.P1、直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线的位置关系的判断方法：（1）根据几何图形判断的直接判断（2）直线与圆锥曲线的公共点的个数Ax+By+c=0f(x,y)=0(二次方程)解的个数形数八、课堂总结2、判断直线与抛物线位置关系的操作程序把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线的对称轴平行相交（一个点）计算判别式0=00相交相切相离九、课后作业直线与抛物线位置关系的测试卷