整数阶贝塞尔函数算法探讨与研究

整数阶贝塞尔函数算法探讨与研究摘要:贝塞尔函数在数学应用中十分广泛，通过对整数阶贝塞尔函数的性质及不同变量取值范围时的递推算法的计算分析，使计算结果更加准确的接近理论值，并通过仿真拟合验证递推结果的正确性。关键词：整数阶，贝塞尔函数，递推算法，大变量，小变量。TheapproachandresearchtotheBesselfunctionofintegralorderabstract:TheBesselfunctionisusedwidelyinmathematics,throughanalyzingthecharacteroftheBesselfunctionofintegralorderandtherecursionindifferentvariabledereferencingzone,wecangetmoreexactnumericalvalue,whichcanapproachtothetheoreticalvalue.Finally,thecorrectnessofresultisverifiedthroughfittedtotheoreticalvalue.1、引言贝塞尔函数是一种复杂的特殊函数，它最早应用于悬链振荡、长圆柱体冷却以及紧张膜振荡的物理问题中[1,2]。近年来随着轴频电场计算方法的不断完善与改进，在时谐源的建模求解电磁场强度表达式时经常会应用到贝塞尔函数的求解与换算，如时谐电偶极子及时谐电流元。为了进一步改进电场模型及其表达式，对贝塞尔函数的计算是十分必要的。本文从整数阶的贝塞尔函数入手利用收敛较快的递推公式对其进行计算，得出较为准确的近似解。2、整数阶贝塞尔函数整数阶贝塞尔函数的定义式为202()(1)2!()!ininixxJxini(1)式中n为整数。整数贝塞尔函数满足下述微分方程22222()0dydyxxxnydxdx(2)贝塞尔函数具有以下性质[3,4]：表1贝塞尔函数性质()(1)()nnnJxJx()(1)()nnnJxJx1n=0(0)0n0nJ0()1Jx1()(1)2nJxn11()()2()nnnxJxxJxnJx1()()()nnndnJxJxJxdxx211()~cos24nJxxnnxxlim()0nnJx1()~22nnexJxnxnn3、小变量时整数阶贝塞尔函数不论变量x是实数还是复数，式(1)对于任意x都是收敛的[5]，为了说明这个问题，以下取0x进行分析。令2/2,2!()!inixxanxini(3)则0()(1),iniiJxanx(4)不论阶数n的大小[6]，当12x时恒有,1ianx。此时可通过计算级数式(4)的前若干项来逼近()nJx的值：()2nNiniNioxJxbt(5)式中1!()!iibini，22xt，11!1!NNtNnN当给定误差N后，便可确定正整数N的大小。知道N的数值后，利用下面递推公式便可写出式(5)的递推计算式：递推初始值：1Nu递推关系：111!1!iituuini，其中1,2,1,0iNN…，计算结果：01()=!2nnxJxun。以计算2(1.6)J为例，取510N，经计算t=0.64,N=3。递推过程如下：31.0000000u，20.9573334u，10.9231434u，00.8030052u从而得出2(1.6)0.2569616J。实际上，2(1.6)0.256967751J…，递推值的真实误差为-6610。可见，用以上递推公式计算小变量整数阶贝塞尔函数时收敛很快。4、大变量时整数阶贝塞尔函数以下分两种情况讨论12x时整数阶贝塞尔函数的计算方法。4.1xn时的计算式由贝塞尔函数的性质112()()()nnnnJxJxJxx(6)假定nrx是常数，当从n增加的方向递推上式时，其误差n满足以下差分方程1120nnnr(7)其特征方程为2210hrh(8)因1r,所以特征方程的解均是特征方程的单根，符合稳定性条件，这说明，当xn时用式(6)施行正向递推（即沿n增大的方向递推）可以计算()nJx。4.2xn时的计算式由于xn时正向递推公式是不稳定的，所以可通过反向递推来完成，即112()()()nnnnJxJxJxx(9)对于给定的x，当n时()0nJx，所以可以取一大偶数Mn，并令1()0MJx，应用式(9)即可得出计算结果。其M表达式如下22anmnM(10)式中n是整数阶贝塞尔函数的阶数，am是计算精度的有效位数，符号[]a表示取数值a的整数部分。5、数值分析应用本文提出的方法得到的数值结果同由其解析表达式求得的结果相对照[7]，如图1所示，所得到的数值结果与解析值完全吻合。01234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.9101234567891000.10.20.30.40.50.6图1快速数值解和理论值的比较6、结论针对整数阶贝塞尔函数，提出了相对快速的收敛计算方法，由于贝塞尔函数的复杂性，分为不同情况下的递推计算公式，同时利用该方法的退到结果同解析表达式求出的结果进行拟合比较，结果完全相同，为以后的贝塞尔函数的计算研究提供了一定的理论依据。参考文献[1]WatsonG.N.A.TreatiseonthetheoryofBesselfunction,2nded[M].Cambridge,England:CambridgeUniversityPress,1966[2]莫平华.一阶贝塞尔函数广义积分的数值计算[J].数学理论与应用，2007,27(1):65-67.[3]张爽，郭欣，宋立军.利用贝塞尔函数的级数形式进行数值计算的误差分析[J].长春大学学报，2004，14(2):57-59.[4]魏彦玉，宫玉彬，王文祥.任意阶复宗量贝塞尔函数的数值计算[J].电子科技大学学报，1998,27(2):172-175.[5]伍刚.贝塞尔函数的计算机仿真研究[J].攀枝花学院学报，2013,30(6)：105-107.[6]王元明.数学物理方程与特殊函数[M].北京：高等教育出版社，2005.[7]杨华军.数学物理方法与计算机仿真[M].北京：电子工业出版社，2005.