泊松过程及维纳过程

一、独立增量过程二、泊松过程的数学模型三、维纳过程的数学模型泊松过程及维纳过程.],(0,)()(,}0),((上的增量为随机过程在区间称随机变量　　给定二阶矩过程tstssXtXttX.}0),({,)()(,),()(),()(,011201210为　　　　　　　则称相互独立个增量和任意选定的正整数　　如果对任意选定的ttXtXtXtXtXtXtXnttttnnnn独立增量过程特征:在互不重叠的区间上,状态的增量是相互独立的.一、独立增量过程.)0()()(,0)0(布确定的分分布函数族可以由增量独立增量过程的有限维的条件下　　在tssXtXX当增量具有平稳性时,称相应的独立增量过程是齐次的或时齐的.则称增量具有平稳性.,)()()()(,0具有相同的分布和和　　如果对任意的实数sXtXhsXhtXhthsh.,)()(,本身和而不依赖于布函数只依赖于时间差的分那么增量如果增量具有平稳性ststsXtX独立增量过程的协方差函数CX(s,t)..)(,0)0(已知方差函数设tDXX.)()()(ttXtYX记;)(,)(也具有独立增量具有独立增量时当tYtX).()]([)(,0)]([,0)0(2tDtYEtDtYEYXY有时当因此,0,ts)]()([),(tYsYEtsCX)]}())()()][(0()({[sYsYtYYsYE)]}())()()][(0()({[sYsYtYYsYE)]([)]()([)]0()([2sYEsYtYEYsYE).(sDX表示为数协方差函数可用方差函对任意　　因此,0,,ts)).,(min(),(tsDtsCXX1.问题的提出下列事件随时间的推移迟早会重复出现.(1)自电子管阴极发射的电子到达阳极;(2)意外事故或意外差错的发生;(3)要求服务的顾客到达服务站.二、泊松过程的数学模型2.问题的分析与求解将电子、顾客等看作时间轴上的质点,电子到达阳极、顾客到达服务站等事件的发生相当于质点出现.因此研究的对象可以认为是随时间推移,陆续地出现在时间轴上的许多质点所构成的随机的质点流..,],0(0,)(出现的质点数时间轴上内表示在时间间隔　　用tttN.,}0),({称为　　　　　续的随机过程、时间连是一个状态取非负整数　　　ttN计数过程计数过程的一个典型样本函数.],(,0,)()(),(0000内出现的质点数间隔表示在时间　　记tttttNtNttN的概率为随机事件}),({0kttN.,2,1,0},),({),(00kkttNPttPk的假设对)(tN(1)在不相重叠的区间上的增量具有独立性.,)2(t对于充分小的),(}1),({),(1tottttNPtttP.)(0的强度称为过程常数tN,)3(t对于充分小的)(}),({),(22tojtttNPtttPjjj.0)0()4(N.}0),({4)(1)(2)(3)(　　　　　　作　　　　　称的计数过程　　满足条件ttN的泊松过程强度为.,,21　　　　　　称作　　点出现的随机时刻　　相应的质点流或质tt的泊松流强度为210),(),(1),(kktttPtttPtttP增量的分布律所以根据假设有由于,1),(00kkttP.)(1tot概率的计算.),(,000ttPt先计算时当}0),({),(000tttNPtttP}0),(),({0tttNttNP},0),(,0),({0tttNttNP}0),(,0),({),(000tttNttNPtttP}0),({}0),({0tttNPttNP)],(1)[,(00totttP),(),(),(),(000000totttPttPtttP,)(),(),(),(000000ttottPtttPtttP取极限得微分方程令,0t).,(d),(d0000ttPtttP,0),(00ttN因为利用初值条件求解微分方程可得.,e),(0)(000ttttPtt.1),,(0kttPk再计算}),(),({}),({00ktttNttNPktttNPkjjkttNPjtttNP00}),({}),({.1),(000ttP所以kjjkjttPtttP00),(),(),(),(),(),(220totttPttPtttPjjkjjkj,2时因为当kkjjkjkttPtttPtttP000),(),(),(所以).1(),(),()]([),()](1[010ktottPtotttPtotkk将此式进行整理后可得),(]1),(),([),(),(),(),(01001000tottPttPtttPtttPttPtttPkkkkkk差分方程取极限得微分令两边除以,0,tt.),,(),(d),(d00100ttttPttPtttPkkk.1,0),(,0),(0000kttPttNk所以因为的表达式可得利用初值条件和令),(,100ttPk.,e)(),(0)(0010ttttttPtt可得利用初始条件和令),(),,(,20100ttPttPk.,e2)]([),(0)(20020ttttttPtt如此重复,一般地可得到.,1,0,,e!)]([}),({),(0)(0000kttkttkttNPttPttkk结论.;,)()()(),(0000立增量过程的泊松过程是齐次的独度为强有关且只与时间差的泊松分布为的概率分布是参数　　增量tttttNtNttN泊松过程的数字特征.0)),((π)()(000tttttNtN～).()]()([Var)]()([000tttNtNtNtNE可得根据假设令0)0(,00Nt,)]([ttNE,)]([Var)(ttNtDN均值函数方差函数].)([ttNE泊松过程的强度等于单位长时间间隔内出现的质点数目的期望值..0,),,min(),(tststsCN协方差函数.0,),,min()]()([),(2tstssttNsNEtsRN相关函数.,0,)(程是非齐次的则称泊松过的函数是时间　　若ttt对非齐次泊松过程,用类似的方法可以求出增量的概率分布和非齐次泊松过程的一些数字特征.3.与泊松过程有关的随机变量(1)等待时间设质点(或事件)依次重复出现的时刻,,,,21nttt.}0),({,为相应泊松过程的泊松流是强度为ttN,2,1,,00ntWWnn记　.)(,现的　　　　　出次或事件第个质点表示第是随机变量则nnWn等待时间1T2TkTO1W1kWkW2W}{)(tWPtFWnWnn的分布函数},)({}{ntNtWn因为}{1}{)(tWPtWPtFnnWn所以})({})({1ntNPntNP,0,!)(etktnkkt.0,0)(ttFnW的概率密度函数为可得求导对时间nWt,.,0,0,e)!1()(d)(d)(1其他tntttFtftnWWnn.)(分布服从的等待时间泊松过程泊松流nW:)(,11服从指数分布首次出现的等待时间或事件得质点　　取Wn.,0,0,e)(1其他ttftW(2)点间间距,2,1,1iWWTiii记　.1,个质点的　　　　　和第个质点称为相继出现的第也是随机变量则iiTi点间间距1T2TkTO1W1kWkW2W服从指数分布所以因为111,TWT.,0,0,e)()(11其他ttftftWT的条件分布函数件下的条个质点出现在时刻第时　　当iiTtii,1,21}{)(1111iiiitTtttTPttFii}1)(1)()({111itNtNttNPiii}1)()({11iitNttNP}0)()({111iitNttNP,0,e1}0)({1ttNPt.0,0)(11tttFitTii求导可得条件概率密度函数为.0,0,0,e)(11ttttftitTii的联合概率密度函数为随机变量1,iitT.,0,0,0),(e),(1111其他　　　　　　　　iittitttfttfi的概率密度为得积分对上式关于),3,2(,1iTtii011011d)(ed)(e)(11iittiittTttfttftfiii,0,ett.0,0)(ttfiT.,3,20.,0,0,e)(itttftTi结论定理一.,)(且服从同一个指数分布互独立的随机变量的点间间距是相泊松过程的泊松流　　强度为.,3,20.,0,0,e)(itttftTi.}{服从相同的指数分布点间间距序列iT.,,,,,21是相互独立的随机变量理论上iTTT定理二.的泊松过程为则质点流构成了一强度且服从同一个指数分布相互独立的是的两个质点的点间间距　　如果任意相继出现,,3,20.,0,0,e)(itttftTi定理的意义定理刻画出了泊松过程的特征.要确定一个计数过程是否是泊松过程,只需要用统计方法检验点间间距是否独立,并且服从同一个指数分布.1.布朗运动简介英国植物学家布朗(Brown)在显微镜下,观察漂浮在平静的液面上的微小粒子,发现它们不断地进行着杂乱无章的运动,这种现象称为布朗运动.爱因斯坦(Enisten)1905年提出一种理论,认为微粒的这种运动是由于受到大量随机的、相互独立的分子碰撞的结果.三、维纳过程的数学模型布朗运动计算机模拟结果n=100n=500n=1000n=5000n=10000n=50000.0)0(,00)(WtttW且的位移的横坐标到时刻刻表示运动中一微粒从时　　以.],(小位移的代数和多微上的位移可以看成是许　　粒子在时段ts假设根据中心极限定理,.)()(服从正态分布位移sWtW由于粒子的运动完全是由液体分子的不规则碰撞而引起的,因此,在不相重叠的时间间隔内,碰撞的次数、大小和方向可假定是相互独立的.具有独立的增量位移)(tW液面处于平衡状态,这时粒子在一时段上位移的概率分布可以认为只依赖于这时段的长度,而与观察的起始时刻无关.具有平稳的增量位移)(tW2.维纳过程的数学模型如果它满足给定二阶矩过程,}0),({ttW;)1(具有独立增量;0)),(,0()()(,0)2(2且～增量对任意的stNsWtWst.0)0()3(W则称此过程为维纳过程.3.维纳过程的特征维纳过程增量的分布只与时间差有关,所以维纳过程是齐次的独立增量过程,也是正态过程.其分布完全由均值函数和自协方差函数(或者自相关函数)所确定.,0)]([tWE,)(2ttDW.0,),,min(),(),(2tststsRtsCWW