2009年辽宁省高考数学试卷(文科)答案与解析

12009年辽宁省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2009•辽宁）已知集合M={x|﹣2＜x≤5}，N={x|x＜﹣5或x＞5}，则M∪N=（）A．{x|x＜﹣5或x＞﹣2}B．{x|﹣5＜x＜5}C．{x|﹣2＜x＜5}D．{x|x＜﹣3或x＞5}【考点】并集及其运算．菁优网版权所有【分析】利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集．【解答】解：在数轴上画出集合M={x|﹣2＜x≤5}，N={x|x＜﹣5或x＞5}，如图：则M∪N={x|x＜﹣5或x＞﹣2}．故选A．【点评】本题属于以数轴为工具，求集合的并集的基础题，也是高考常考的题型．2．（5分）（2009•辽宁）已知复数z=1﹣2i，那么=（）A．B．C．D．【考点】复数代数形式的混合运算．菁优网版权所有【分析】复数的分母实数化，然后化简即可．【解答】解：=故选D．【点评】复数代数形式的运算，是基础题．3．（5分）（2009•辽宁）已知{an}为等差数列，且a7﹣2a4=﹣1，a3=0，则公差d=（）A．﹣2B．﹣C．D．2【考点】等差数列．菁优网版权所有【专题】计算题；方程思想．【分析】利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，求解即可．【解答】解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由等差数列的通项公式以及已知条件得，即，解得d=﹣，2故选B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，熟记公式是解题的关键，同时注意方程思想的应用．4．（5分）（2009•辽宁）平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（）A．B．C．4D．12【考点】向量加减混合运算及其几何意义．菁优网版权所有【分析】根据向量的坐标求出向量的模，最后结论要求模，一般要把模平方，知道夹角就可以解决平方过程中的数量积问题，题目最后不要忘记开方．【解答】解：由已知|a|=2，|a+2b|2=a2+4a•b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12，∴|a+2b|=．故选：B．【点评】本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模之间的关系，根据和的模两边平方，注意要求的结果非负，舍去不合题意的即可．两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定．5．（5分）（2009•辽宁）如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬60°纬线长和赤道长的比值为（）A．0.8B．0.75C．0.5D．0.25【考点】球面距离及相关计算．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】先求北纬60°纬圆半径，求出纬线长，再求赤道长，即可．【解答】解：设地球半径为R，则北纬60°纬线圆的半径为Rcos60°=R而圆周长之比等于半径之比，故北纬60°纬线长和赤道长的比值为0.5．故选C．【点评】本题考查球面距离及其他计算，考查空间想象能力，是基础题．6．（5分）（2009•辽宁）已知函数f（x）满足：x≥4，则f（x）=；当x＜4时f（x）=f（x+1），则f（2+log23）=（）A．B．C．D．【考点】对数的运算性质．菁优网版权所有【分析】根据3＜2+log23＜4知，符合x＜4时的解析式，故f（2+log23）=f（3+log23），又有3+log23＞4知，符合x＞4的解析式，代入即得答案．【解答】解：∵3＜2+log23＜4，所以f（2+log23）=f（3+log23）且3+log23＞4∴f（2+log23）=f（3+log23）3=故选A．【点评】本题主要考查已知分段函数的解析式求函数值的问题．7．（5分）（2009•辽宁）已知圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣1）2=2B．（x﹣1）2+（y+1）2=2C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2D．（x+1）2+（y+1）2=2【考点】圆的标准方程．菁优网版权所有【分析】圆心在直线x+y=0上，排除C、D，再验证圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，就是圆心到直线等距离，即可．【解答】解：圆心在x+y=0上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C、D；验证：A中圆心（﹣1，1）到两直线x﹣y=0的距离是；圆心（﹣1，1）到直线x﹣y﹣4=0的距离是．故A错误．故选B．【点评】一般情况下：求圆C的方程，就是求圆心、求半径．本题是选择题，所以方法灵活多变，值得探究．8．（5分）（2009•辽宁）已知tanθ=2，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】三角函数中的恒等变换应用；同角三角函数基本关系的运用．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】利用sin2θ+cos2θ=1，令原式除以sin2θ+cos2θ，从而把原式转化成关于tanθ的式子，把tanθ=2代入即可．【解答】解：sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ====．故选D．【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换应用．本题利用了sin2θ+cos2θ=1巧妙的完成弦切互化．9．（5分）（2009•辽宁）ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为（）4A．B．C．D．【考点】几何概型．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出点到O的距离大于1的点对应的图形的面积，并将其和长方形面积一齐代入几何概型计算公式进行求解．【解答】解：已知如图所示：长方形面积为2，以O为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分（半圆）面积为因此取到的点到O的距离大于1的概率P==1﹣故选B．【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．10．（5分）（2009•辽宁）某店一个月的收入和支出总共记录了N个数据a1，a2，…aN，其中收入记为正数，支出记为负数．该店用下边的程序框图计算月总收入S和月净盈利V，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（）5A．A＞0，V=S﹣TB．A＜0，V=S﹣TC．A＞0，V=S+TD．A＜0，V=S+T【考点】设计程序框图解决实际问题．菁优网版权所有【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知S表示月收入，T表示月支出，V表示月盈利，根据收入记为正数，支出记为负数，故条件语句的判断框中的条件为判断累加量A的符号，由分支结构的“是”与“否”分支不难给出答案，累加完毕退出循环后，要输出月收入S，和月盈利V，故在输出前要计算月盈利V，根据收入、支出与盈利的关系，不难得到答案．【解答】解析：月总收入为S，支出T为负数，因此A＞0时应累加到月收入S，故判断框内填：A＞0又∵月盈利V=月收入S﹣月支出T，但月支出用负数表示因此月盈利V=S+T故处理框中应填：V=S+T故选A＞0，V=S+T【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．11．（5分）（2009•辽宁）下列4个命题p2：∃x∈（0，1），㏒1/2x＞㏒1/3x㏒1/2x㏒1/3x6其中的真命题是（）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4【考点】命题的真假判断与应用；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】本题的考查意图是指数函数和对数函数的单调性，但作为选择题来讲，此类题采用特殊值法更好．【解答】解：取x=，则㏒1/2x=1，㏒1/3x=log32＜1，p2正确．当x∈（0，）时，（）x＜1，而㏒1/3x＞1．p4正确故选D．【点评】特殊值法是解决选择题的常用解法之一，特点是快捷、实用，不易出错相当于实践验证．12．（5分）（2009•辽宁）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调增加，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x取值范围是（）A．（，）B．[，）C．（，）D．[，）【考点】奇偶性与单调性的综合．菁优网版权所有【专题】分析法；函数的性质及应用．【分析】由题设条件偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调增加可得出此函数先减后增，以y轴为对称轴，由此位置关系转化不等式求解即可【解答】解析：∵f（x）是偶函数，故f（x）=f（|x|）∴f（2x﹣1）=f（|2x﹣1|），即f（|2x﹣1|）＜f（||）又∵f（x）在区间[0，+∞）单调增加得|2x﹣1|＜，解得＜x＜．故选A．【点评】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，在这里要注意本题与下面这道题的区别：已知函数f（x）在区间[0，+∞）单调增加，则满足f（2x﹣1）＜的x取值范围是（）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2009•辽宁）在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC．已知点A（﹣2，0），B（6，8），C（8，6），则D点的坐标为（0，﹣2）．【考点】相等向量与相反向量．菁优网版权所有【分析】由四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC，和三个点的坐标，可以先设出点的坐标，根据两条对角线交于一点，用中点坐标公式得到结果．【解答】解：设D（x，y），∵AC与BD中点相同7∴﹣2+8=6+x，∴x=0又0+6=8+y，y=﹣2∴D=（0，﹣2），故答案为：（0，﹣2）．【点评】向量首尾相连，构成封闭图形，则四个向量的和是零向量，用题目给出的三个点的坐标，再设出要求的坐标，写出首尾相连的四个向量的坐标，让四个向量相加结果是零向量，解出设的坐标．14．（5分）（2009•辽宁）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象如图所示，则ω=．【考点】三角函数的周期性及其求法；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．菁优网版权所有【专题】数形结合．【分析】根据所给的图形，看出四分之一个周期的值，得到最小正周期，根据周期的计算公式，得到要求的值，本题主要考查读图问题，从图形中看出需要的结果．【解答】解：∵由图象可得最小正周期4（﹣）=T=∴ω==．故答案为：．【点评】根据所给的图形，看出四分之一个周期的值，得到最小正周期，根据周期的计算公式，得到要求的值，本题主要考查读图问题，从图形中看出需要的结果．15．（5分）（2009•辽宁）若函数f（x）=在x=1处取极值，则a=3．【考点】利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题．【分析】先求出f′（x），因为x=1处取极值，所以1是f′（x）=0的根，代入求出a即可．【解答】解：f′（x）==．因为f（x）在1处取极值，所以1是f′（x）=0的根，将x=1代入得a=3．故答案为38【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力．16．（5分）（2009•辽宁）设某几何体的三视图如图（尺寸的长度单位为m）则该几何体的体积为4m3．【考点】由三视图求面积、体积．菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题．【分析】由三视图可知几何体是三棱锥，明确其数据关系直接解答即可．【解答】解：这是一个三棱锥，高为2，底面三角形一边为4，这边上的高为3，体积等于×2×4×3=4故答案为：4【点评】本题考查三视图求体积，三视图的复原，考查学生空间想象能力，是基础题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2009•辽宁）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列，（1）求{an}的公比q；（2）求a1﹣a3=3，求Sn．【考点】等差数列的性质；等比数列的前n项和．菁优网版权所有【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）