拓展模块3.1排列与组合

3.1排列与组合3.1.1排列问题在北京、重庆、上海个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的机票？分析：这个问题就是从北京、重庆、上海3个民航站中，每次取出2个站，按照起点站在前，终点站在后的顺序排列，求不同的排列方法的总数。起点终点北京重庆上海重庆上海上海北京重庆上海解：根据分步计数原理，共有3×2=6（种）第一步确定机票的起点,有3种不同方法；第二步确定机票的终点，有2种不同方法；1）将被取的对象（如上面问题的民航站）叫做元素.2）上面的问题就是：从3个不同的元素中，任取2个，按照一定的顺序排成一列，可以得到多少个不同的排列.排列一般的，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，其中m﹤n时叫做选排列；m=n时叫做全排列.两个排列相同：（1）两个排列的元素完全相同（2）排列的顺序相同说明例1写出从4个元素a,b,c,d中任取2个元素的所有排列。分析：首先任取1个元素放在左边，然后在剩余的元素中任取1个元素放在右边。解：所有排列为ab,ac,ad,ba,bc,bd,ca,cb,cd,da,db,dc.排列数从n个不同元素中，取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示.1.从4个元素a,b,c,d中任取1个元素的排列数可以表示为___________.2.从4个元素a,b,c,d中任取2个元素的排列数可以表示为___________.3.从4个元素a,b,c,d中任取2个元素的排列数为____________________.4.mnP14P244312P24P?mnP12练习排列数公式研究mnP假定有n个元素，顺序排列的m个空位第1位第2位第3位……第m位第一步，从n个元素中任选1个元素，填到第1个空位，有n种方法；第二步，从剩余的n-1个元素中任选1个元素，填到第2个空位，有_______种方法；第三步，从剩余的____个元素中任选1个元素，填到第3个空位，有_______种方法；……第m步，从__________个元素中任选1个元素，填到第m个空位，有_________种方法；根据分步计数原理，全部填满空位的方法总数为分步计数原理nn-1n-2n-m+1…….n-(m-1)n-m+1121nnnnm由此可得，从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素的排列数为mnP121mnnnnnmP其中，且，该公式叫做排列数公式*,mnNmnn-1n-2n-2排列数公式121mnnnnnmP当m=n时，由公式得12321nnnnnP由1到n的正整数的连乘积，叫做n的阶乘，记作!n即!12321nnnn!nnnP当mn时，121mnnnnnmP1212121nnnnmnmnm!!nnm即!!mnnnmP例2计算和解：25P44P255420P444!432124P练习：计算（1）（2）（3）（4）（5）（6）56_________P38_________P55_________P152_________P212_________P47_________P课后练习3.1.11.填空(1)已知，那么n=_________;(2)用1,2,3,4,5,6这六个数组成没有重复数字的四位数，共有______________个.256nP8466543360P例3小华准备从7本世界名著中任选3本，分别送给甲、乙、丙3位同学，每人1本，共有多少种选法？解：37765210P课后练习3.1.12.在A,B,C,D四个候选人中，选出正副班长各一个，选法的种数是多少？分析一：因为百位上的数字不能为0，所以分成两步考虑问题.第一步先排百位上的数字，有种方法；第二步从剩余的数字中任取两个排列，有种方法.例4用0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的3位数？解法一：由分步计数原理可得三位数的个数为1255554100PP15P25P例4用0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的3位数？分析二：组成三位数的数字中，可能含0，也可能不含0，所以分成两类考虑问题.第一类为3位数字中含0由于百位上的数字不能为0，所以只能将0放在个位或十位，有种方法；然后在从“1,2,3,4,5”五个数字中，任选2个数字，放到剩余的2个数位上有种方法.由分步计数原理知这类3位数的个数25P1225=254=40PP第二类为3位数字中不含0，从“1,2,3,4,5”五个数中任选三个数字放到3个位数上，这类3位数的个数为解：由分类计数原理可得，所求3位数的个数为12P35P123255+=254+543=40+60=100PPP课后练习3.1.13.用1,2,3,4,5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数有多少个？3.1.2组合问题在北京、重庆、上海个民航站之间的直达航线，有多少种不同的飞机票价（假设两地之间的往返票价是相同的）？分析：这个问题，是从3个不同的元素中任取出2个，不管是怎样的顺序总认为是一组，求一共有多少个不同的组.飞机票价北京——重庆（重庆——北京）解：共有3组.北京——上海（上海——北京）重庆——上海（上海——重庆）组合一般的，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个不同的元素，组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的一个组合.排列与组合的区别排列的定义：一般的，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列从n个不同元素取m(m≤n)个元素的一个组合，与m个元素排列的顺序无关；从n个不同元素取m(m≤n)个元素的一个排列，与m个元素排列的顺序有关.组合数一般的，从n个不同元素中取m(m≤n)个不同的元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数，用符号表示.mnC组合数的计算-研究例如：计算用两种不同的方法来计算方法一：方法二：从4个不同的元素中取3个不同元素的一个排列，可以分两步完成第一步，从4个不同的元素中取3个元素组成一组，有种取法；第二步，对每一组中的3个不同元素进行全排列，根据分步计数原理所以34C34P3443224P33443!PC33443!PC34C组合数的计算公式一般的，从n个不同元素中取m(m≤n)个不同的元素的组合数为121!mmnnmmnnnnmPCPm所以公式还可以写作由于!!mnnPnm!!!mnnCmnm其中，且，该公式叫做组合数公式*,mnNmn例5计算和解：25C44C22552254102!PCP4444441PCP练习：计算(1)(2)(3)(4)46__________;C05__________;C111__________;C1011__________;C说明：（1）（2）1nnC01nC组合数的性质性质1mnmnnCCmn利用这个性质，当时，可以通过计算比较简单的得到的值，如2nmnmnCmnC1820182202020CCC1820C20191902!性质211mmmnnnCCCmn性质2反映出组合数公式中m与n之间存在的联系.1、计算下列各数(1)(2)(3)(4)27__________;C45__________;C38__________;C1012__________;C课后练习3.1.2例6圆周上有10个点，以任意三点为顶点画圆内接三角形，一共可以画多少个？解：可以画出的圆内接三角形个数为分析：因为只要选出三个点，三角形就唯一确定，与三个点的排列顺序无关，所以求得是从10个不同元素中任取3个不同元素的组合数.33101010981203!321PC即可以画出120个圆内接三角形.课后练习3.1.22、6个朋友聚会，每两人握手一次，这次聚会他们一共握手多少次？3、从3、5、7、11这四个质数中任取两个相乘，可以得到多少个不同的积？4、学校开设了6门任意选修课，要求每个学生从中选学3门，共有多少种不同的选法？5、现有3张参观券，要在5人中选出3人去参观，共有多少种不同的选法？