2绘制根轨迹的基本法则

4.2绘制根轨迹的基本法则一、根轨迹作图法则180法则1：根轨迹的起点和终点根轨迹的起点是指根轨迹增益时，闭环极点在s平面上的位置，而根轨迹的终点则是指时闭环极点在s平面上的位置。根轨迹起始于系统的开环极点（包括重极点），而终止于开环零点。0gKgK法则2：根轨迹的连续性和对称性根轨迹具有连续性，且对称于实轴。法则3：根轨迹的分支数根轨迹的分支数取传递函数分子、分母阶数m和n的大者。法则4：根轨迹的渐近线当系统的开环增益Kg→∞时趋向无穷远处的根轨迹共有n-m条，n-m条根轨迹趋向无穷远的方位由渐近线决定。渐近线与实轴正方向的夹角为：(21),0,1,2,,1akknmnm渐近线与实轴的交点为：mnzpnjmiija1118001mn909002mn454518004mn606018003mn法则5：实轴上根轨迹的分布实轴上某区域，若其右边的开环零点和开环极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。mna零点之和极点之和,法则6：根轨迹的分离（会合）点两条或两条以上根轨迹分支在复平面上相遇又分离的点称为分离（会合）点。分离（会合）点既可以在实轴上，也可以在复平面上，如下图所示。若实轴上两相邻开环极点之间有根轨迹，则这两相邻极点之间必有分离（会合）点；如果实轴上相邻开环零点（其中一个可为无穷远零点）之间有根轨迹，则这相邻零点之间必有会合（分离）点。如果实轴上根轨迹在开环零点与开环极点之间，则它们之间可能没有分离点（会合）点，也可能分离（会合）点成对出现。[分离点和会合点的求法]：（1）方法一（重根法）：根轨迹在实轴上的分离点或会合点表示这些点是闭环特征方程的重根点。)()()()()(11sDsNKpszsKsGgnjjmiigk设系统开环传递函数为：即0)()()(sNKsDsFg0)(0)(11sFsF和[分离角]：在分离点或会合点上，根轨迹的切线和实轴的夹角称为分离角。与相分离的根轨迹的支数k有关：。dddk因闭环特征方程为：1)(sGk设时，特征方程有r重重根，则必同时满足1sgdgKK)()()())(()()(1211sPsssssssssssFrnrrr0])()()()([)(11111ssrrssdssdPsssPssrdssdF这可证明如下：这表明，当：0)()()(sNKsDsFg具有重根时，有：0)(dssdF即特征根轨迹的分离（会合）点应该满足方程：0)(dssdF也即：)()(0)()()(sNsDKdssdNKdssdDdssdFgg)()(gsNsDK而因此)()()()(sNsDsNsD0)()()()(0)()()()(sDsNsNsDsNsDsNsD也即：或：0)()(dsd0)()()()()(2gsNsDsNsDsNsNsDdsdK小结：满足以下任何一个方程，且保证Kg为正实数的解，即是根轨迹的分离（会合）点。0])()([00)]()([)(ggsNsDdsddsdKdssNKsDddssdF（2）方法二：设分离（会合）点坐标为dmiinjjzdpd1111若没有零点，则为：0d11njjp[例1]系统开环传递函数为：，试确定根轨迹支数、起点终点、渐近线、实轴上根轨迹和分离（会合）点的位置。)5)(1()(sssKsGgk解：根轨迹有3支。起点为开环极点，无有限值零点，所以三支根轨迹都趋向无穷远。渐近线与实轴的交点：203510mnzpiia渐近线与实轴的倾角：180,60)12(amnk零极点分布和渐近线（红线）如图所示。606018001255,1,0321ppp13.1312845.15275.34725.03722,1ggKKs显然，分离（会合）点为-0.4725，而-3.5275不是分离（会合）点。0)5)(1(1)(1sssKsGgk闭环特征方程为：实轴上根轨迹区间是：(,5][1,0]和实轴上的根轨迹段（蓝线）和分离（会合）点的位置如右图。12501250)5)(1(sssKg05123)5)(1(2ssdssssddsdKg法则7：根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点，实质上就是闭环系统的临界稳定工作点。临界工作点的求法有如下两种方法：方法一：在闭环特征方程中，令，得到，将分为实部和虚部，即，于是有，求解得到值，即为根轨迹与虚轴交点坐标频率。0)(sDBjs0)(jDB)(jDB0)](Im[)](Re[jDjjDBB0)](Im[0)](Re[jDjDBB方法二：由劳斯稳定判据，令劳斯表中出现全零行，但第一列元素符号保持不变，此时系统处于临界稳定状态，并可求得根轨迹与虚轴的交点。[例2]系统开环传递函数为：，试确定根轨迹与虚轴的交点。)5)(1()(sssKsGgk上例已经确定了渐近线、实轴上的根轨迹段和分离（会合）点等，下面确定根轨迹与虚轴的交点。当时，行为全零，劳斯表第一列符号不变，系统特征根为纯虚数，可根据行的辅助方程：，求得，因此根轨迹与虚轴的交点坐标为：。方法一：闭环特征方程：，令代入闭环特征方程分解为实部和虚部：于是有：，显然交点为05623gKsssjs0)(5)(6)(23gKjjj0)5()6(32jKg30,05,1050632ggKK305gKgggKKKssss0630651012330gK1s2s06)(2gKssF5js)5,30(jsKg方法二：构造劳斯表ReIm分离点-2-10-5根轨迹草图如右图：法则8：根轨迹的出射角和入射角当开环零点和开环极点处于复平面时，根轨迹离开开环极点处的切线与正实轴的方向夹角，称为根轨迹的出射角。同样，根轨迹进入开环零点处的切线与正实轴的方向夹角，称为根轨迹的入射角。右图为根轨迹示意图，其中为一对开环共轭复数极点，s为根轨迹上的试验点。根据根轨迹相角条件，可以写出1,xxpp当时，，，即为的出射角，于是有根据根轨迹相角条件，可以写出：)12(]S[]S[k的方向角其它各极点指向的方向角各零点指向0xpsxpxpxpkxpxx2]p[]p[的方向角其它各极点指向的方向角由各零点指向]p[]p[)12(的方向角其它各极点指向的方向角由各零点指向xxpkx即：]p[]p[)12(的方向角其它各极点指向的方向角由各零点指向xxpkx考虑到k的取值为，所以上式可以写成为：,2,1,0由与的共轭性，。用公式表示为nxjjjxmiixpppzpkx11)()()12(xp1xpxxpp1同理可得，复数零点的入射角用公式表示为njjxmxiiixzpzzzkx11)()()12(由与的共轭性，。xz1xzxxzz1[例3]设单位反馈系统的开环传递函数：，试绘制系统的根轨迹，并要求计算出射角。)22()(2sssKsGgK解：开环极点为，无开环零点，（1）由于，所以根轨迹有3条分支；（2）根轨迹起始于开环极点，终止于无穷远处。jpjpp1,1,03210,3mn0,3mnjpjpp1,1,0321（3）3条根轨迹的渐近线夹角和交点坐标（4）实轴上的根轨迹为，即整个负实轴；（5）根轨迹无分离（会合）点；（6）根轨迹与虚轴的交点闭环特征方程：令代入特征方程，或（7）根轨迹出射角(21),33ak3231103321jjpppa），（0-02223gKsssjs0)(2)(2)(23gKjjj42020232ggKK200180(1)[(1(1)]45pjjj0345p（8）绘制根轨迹如下法则9：系统闭环极点的和与积系统开环传递函数：n211m21m211m21gn1-n1-n1nm1-m1-m1mgn21m21gkppp)1()ppp(zzz)1()zzz(KasasasbsbsbsK)ps()ps)(ps()zs()zs)((zs(K(s)Gnnnmmmssss开环零点的和与积：121(1)mmimmizzzzb1211mimizzzzb开环极点的和与积：1211njnjppppa121(1)nnjnnjppppa闭环特征方程：-1-11-11-11111211()()(-)0nnmmBnngmmnnnnninniDssasasaKsbsbsbsssCsCsCsC式中为系统的闭环极点。(1,2,,)inis◆系统闭环极点的和11niisc2mn1nsgK1a1111nniiiiscapgK0当时，闭环特征方程第二项系数将与无关，实际为，于是有：，即闭环极点之和等于开环极点之和，且为常数，这个常数也称为闭环极点的重心。这表明：当由变化时，虽然n个闭环极点会随之发生变化，但是闭环极点之和保持不变，且等于n个开环极点之和。这意味着一部分闭环极点增大时，另外一部分闭环极点必然变小。如果一部分闭环根轨迹随着的增加而向右移动时，另外一部分根轨迹必将向左移动，始终保持闭环极点的重心不变。gK◆系统闭环极点的积111(1)(1)()(1)nnmnnnminngmigjiijscaKbpKz若系统存在零值开环极点（即），于是系统闭环极点的积为111(1)[(1)]nmmnmnmigjgjijjsKzKz0na系统闭环极点的积与成正比。gK或，则[例4]，已知方程2个根为，求第三个根。解：有，则06116)(23ssssDB2,121ss3s61321asss3)21(66213sss6)1(33321asss3)2)(1(66213sss二、根轨迹作图法则0与根轨迹相比，所不同的仅仅是相角关系，而幅值关系不变，因此，根轨迹作图法则与根轨迹作图法则所不同的是，要修改与相角条件有关的规则，具体有：1800180（1）根轨迹的渐近线渐近线的交点坐标不变，倾角改为2,0,1,2,,1akknmnm（2）实轴上的根轨迹分布实轴上某区域，若其右边的开环零点和开环极点个数之和为偶数（包括0），则该区域必是根轨迹。系统根轨迹需按0°根轨迹的绘制法则绘制。（3）根轨迹的出射角和入射角出射角：入射角：nxjjjxmiixpppzpx11)()(njjxmxiiixzpzzzx11)()([例5]设单位正反馈系统的开环传递函数为，(1)()(2)(4)gksGsss试绘制系统的概略根轨迹。解：单位正反馈系统的闭环特征方程为(1)()1()10(2)(4)gksDsGsss即系统的根轨迹方程为(1)1(2)(4)gksss系统有两个开环极点p1=－2，P2＝－4，一个开环零点z1＝－1。n＝2，m=1。由