2009年高考数学二轮复习专题课件：专题四 函数解答题的解法

专题四函数解答题的解法你身边的高考专家考题剖析＞＞试题特点＞＞0312函数解答题的解法应试策略＞＞071.近三年高考各试卷函数试题考查情况统计2005年，函数与不等式解答试题是高考的热门话题，也是解答题的必考题型.当中的全国Ⅱ、北京、天津各2道.函数与不等式试题处在压轴位置的有7道，与导数知识交汇的试题有12道.当中，求函数的最值和值域的试题有9道，涉及函数单调性的有7道，求参数取值范围的有5道.2006年高考各地的试题里，出现的函数种类比较多的有三次函数、分式函数、对数和指数复合的函数、绝对值函数、抽象函数等等.试题特点函数解答题的解法2007年高考各地的19套试卷中，都有体现.单纯考查函数的题少,多是综合考查,常见的是与数列、不等式、导数进行综合.2008年重点考查了函数与导数、函数与数列、函数与不等式的综合，以及处理最值、单调性问题、求解析式、求参数范围等为主，对二次函数进行了重点考查.值得注意的是函数的应用问题也是一个重点.据此可知，函数与不等式解答试题是高考命题的重要题型，它的解答需要用到导数的相关知识，其命题热点是伴随导数知识的考查，出现频率较高的题型是最值、范围命题，命题的趋向是函数迭代中的递推数列问题.函数解答题的解法试题特点2.主要特点纵观近年来高考试题，特别是2008年高考试题，函数试题有如下特点：(1)全方位.近几年来的高考题中，函数的所有知识点都考过，虽然近几年不强调知识的覆盖率，但每一年函数知识点的覆盖率依然没有减小.(2)多层次.在每年高考题中，函数题低档、高档难度都有，且选择、填空、解答题型齐全；低档难度题一般仅涉及函数本身的内容，诸如定义域、值域、单调性、周期性、图象、反函数，且对能力的要求不高；中、高档难度题多为综合程度较大的问题，或者函数与其他知识结合，或者是多种方法的渗透.试题特点函数解答题的解法试题特点(3)巧综合.为了突出函数在中学中的主体地位，近几年来高考强化了函数对其他知识的渗透，加大了以函数为载体的多种方法、多种能力(甚至包括阅读能力、理解能力、表述能力、信息处理能力)的综合程度.(4)变角度.出于“立意”和创设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考查，加大了函数应用题、探索题、开放题和信息题的考查力度，从而使函数考题显得新颖、生动、灵活.函数解答题的解法应试策略1.高考函数解答题，主要有以下几种形式：(1)函数内容本身的综合，如函数的概念、图象、性质等方面的综合.(2)函数与其他知识的综合，如方程、不等式、数列、平面向量、解析几何等内容与函数的综合，主要体现函数思想的运用；(3)与实际问题的综合，主要体现在数学模型的构造和函数关系的建立.应试策略函数解答题的解法2.在系统复习阶段，我们分别研究了函数的性质(单调性、奇偶性、最值等)和图象(画图、识图、用图)，本轮复习的重点是函数图象和性质综合问题的解法.在函数的诸多性质中，单调性和最值是复习的重点，也是高考的频考点.函数的图象可以全面反映函数的性质，而熟练掌握函数的性质有助于准确地画出函数的图象，从而自觉地养成用数形结合的思想方法解题的习惯.应试策略函数解答题的解法3.重视函数思想的指导作用.用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想.函数思想是函数概念、性质等知识在更高层次上的提炼和概括，是在知识和方法反复学习运用中抽象出来的带有观念性的指导方法.函数思想的应用：(1)在求变量范围时，考虑能否把该变量表示为另一变量的函数，从而转化为求该函数的值域；(2)构造函数是函数思想的重要体现；(3)运用函数思想要抓住事物在运动过程中保持不变的那些规律和性质，从而更快更好地解决问题.应试策略函数解答题的解法4.重视导数在研究函数性质方面的重要作用.利用导数求闭区间上连续函数的极值、最值，研究函数在某一个闭区间上的单调性，求函数的单调区间，已经成为新的命题热点，在学习中应给予足够重视.应试策略函数解答题的解法考题剖析考题剖析函数解答题的解法考题剖析函数解答题的解法考题剖析函数解答题的解法考题剖析函数解答题的解法考题剖析函数解答题的解法考题剖析函数解答题的解法考题剖析函数解答题的解法考题剖析函数解答题的解法4.（2007·上海模拟题）已知函数f(x)=ax＋,a1.（1）证明：函数f(x)在(－1,＋∞)上为增函数；（2）用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.考题剖析［证明］（1）设－1x1x2,∴0x1＋1x2＋1,①又∵a1,∴y=ax在(－1,＋∞)上是增函数.∴②由①②得即f(x1)f(x2),∴f(x)在(－1,＋∞)上是增函数.12xx111121xx131321xx21xxaa1311312122xaxaxx函数解答题的解法考题剖析(2)（反证法）设f(x)=0存在负数根x0(x00)，则又x00矛盾，所以假设不成立.则f(x)=0没有负数根.［点评］通过（1）的证明让学生在处理函数单调性的证明时，能充分利用几种基本函数的性质直接处理，同时增强应变能力训练，通过（2）的证明使学生增强对反证法这种重要数学思想方法的认识.)1,0(10120002000xxaxxxxa)2,21(2112111201200000000xxxxxxxx或函数解答题的解法5.已知函数f(x)=［x［x］］，其中［x］表示不超过x的最大整数，如：［－2.1］=－3，［－3］=－3，［2.2］=2.（1）求的值；（2）判断函数f(x)的奇偶性；（3）若x∈［－2,2］，求f(x)的值域.考题剖析［解析］（1）)23()23(、ff1]23[]123[]]23[23[)23(f3]3[)]2(23[]]23[23[)23(f（2）由（1）知：且故f(x)为非奇非偶函数.),23()23(ff),23()23(ff函数解答题的解法考题剖析［点评］本题主要考查函数的性质、函数值及值域的求法，阅读并理解函数意义是关键.（3）当－2≤x－1时，［x］=－2，则2x［x］≤4，所以f(x)可取2，3，4.当－1≤x0时，［x］=－1，则0x［x］≤1，所以f(x)可取1.当0≤x1时，［x］=0，则x［x］=0，所以f(x)=0.当1≤x2时，［x］=1，则1≤x［x］2，所以f(x)＝1.当x=2时，［x］=2，则x［x］=4，所以f(x)=4.所以f(x)的值域为{0,1,2,3,4}.函数解答题的解法考题剖析［解析］（Ⅰ）f(x1)＋f(x2)－2f()∵a0,∴∴当a0时,f(x)为R上的下凸函数.6.（2007·山西太原模拟题）如果f(x)在某个区间I内满足：对任意的x1,x2∈I,都有，则称f(x)在I上为下凸函数；已知函数f(x)=ax2＋x.（Ⅰ）证明：当a0时，f(x)在R上为下凸函数；（Ⅱ）若x∈(0,1)时，|f(x)|≤1,求实数a的取值范围.)2()]()([212121xxfxfxf221xx]2)2([221221222121xxxxaxaxxax,2)(221xxa),2()]()([212121xxfxfxf函数解答题的解法（Ⅱ）∵|f(x)|≤1,∴－1≤ax2＋x≤1,∴－2≤a≤0.考题剖析［点评］本题给出了凸函数这个新概念，主要考查学生阅读理解、自学的能力，在本题中要证明,主要是通过作差法解决的，作差是比较大小的一种常用方法.),1,0(.111122xxxaxx)2()]()([212121xxfxfxf函数解答题的解法7.定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log23且对任意x，y∈R都有f(x＋y)=f(x)＋f(y).(1)求证f(x)为奇函数；(2)若f(k·3x)＋f(3x－9x－2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围.考题剖析［分析］欲证f(x)为奇函数即要证对任意x都有f(－x)=－f(x)成立.在式子f(x＋y)=f(x)＋f(y)中，令y=－x可得f(0)=f(x)＋f(－x)于是又提出新的问题，求f(0)的值.令x=y=0可得f(0)=f(0)＋f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明.函数解答题的解法［解析］(1)证明：f(x＋y)=f(x)＋f(y)(x，y∈R)，①令x=y=0，代入①式，得f(0＋0)=f(0)＋f(0)，即f(0)=0.令y=－x，代入①式，得f(x－x)=f(x)＋f(－x)，又f(0)=0，则有0=f(x)＋f(－x).即f(－x)=－f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数.考题剖析(2)解法1：f(3)=log23＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数.f(k·3x)－f(3x－9x－2)=f(－3x＋9x＋2),k·3x－3x＋9x＋2,32x－(1＋k)·3x＋2＞0对任意x∈R成立.函数解答题的解法考题剖析令t=3x＞0，问题等价于t2－(1＋k)t＋2＞0对任意t＞0恒成立.令f(t)=t2－(1＋k)t＋2，其对称轴x=当0即k－1时，f(0)=20,符合题意；当≥0时，对任意t0,f(t)0恒成立解得－1≤k－1＋2综上所述当k－1＋2时，f(k·3x）＋f(k·3x－9x－2）0对任意x∈R恒成立.21k21k024)1(0212kk21k22函数解答题的解法解法2：分离系数由k·3x－3x＋9x＋2得k3x＋－1,即u的最小值为2－1,要使x∈R不等式k3x＋－1恒成立，只要使k2－1考题剖析［点评］抽象函数的问题常用赋值的方式进行研究，其奇偶性与单调性的证明往往依据定义.已知函数的单调性及函数值的大小可以转化研究两个值对应的自变量的大小.问题(2)求参数的范围的解法1是根据函数的性质利用f(x)是奇函数且在x∈R上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t2－(1＋k)t＋2对于任意t＞0恒成立.对二次函数f(t)进行研究求解.解法2是利用分离参数转化求函数的最值.x322x322函数解答题的解法1221323xxu8.（2007·金陵中学二模题）已知函数f(x)＝x4＋ax3＋bx2＋c，在y轴上的截距为－5，在区间［0，1］上单调递增，在［1，2］上单调递减，又当x＝0，x＝2时取得极小值.（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；（Ⅱ）能否找到函数f(x)垂直于x轴的对称轴,并证明你的结论;（Ⅲ）设使关于x的方程f(x)＝λ2x2－5恰有三个不同实根的实数λ的取值范围为集合A,且两个非零实根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使得不等式m2＋tm＋2≤|x1－x2|对任意t∈［－3，3］,λ∈A恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.考题剖析函数解答题的解法［解析]（Ⅰ）∵函数f(x)＝x4＋ax3＋bx2＋c，在y轴上的截距为－5,∴c＝－5.∵函数f(x)在区间［0，1］上单调递增，在［1，2］上单调递减,∴x＝1时取得极大值，又当x＝0，x＝2时函数f(x)取得极小值.∴x＝0，x＝1，x＝2为函数f(x)的三个极值点，即f′(x)＝0的三个根为0，1，2，∴f′(x)＝4x3＋3ax2＋2bx＝4x(x－1)(x－2)＝4x3－12x2＋8x.∴a＝－4，b＝4,∴函数f(x)的解析式：f(x)＝x4－4x3＋4x2－5.考题剖析函数解答题的解法（Ⅱ）若函数f(x)存在垂直于x轴的对称轴,设对称轴方程为x＝t,则f(t＋x)＝f(t－x)对x∈R恒成立.即:(t＋x)4－4(t＋x)3＋4(t＋x)2－5＝(t－x)4－4(t－x)3＋4(t－x)2－5.化简得(t－1)x3＋(t2－3t＋2)x＝0对x∈R恒成立.∴∴t＝1即函数f(x)存在垂直于x轴的对称轴x＝1.考题