培优试题 二次根式

专题二次根式的概念与性质阅读与思考式子(0)aa叫做二次根式，二次根式的性质是二次根式运算、化简求值的基础，主要有：1．0a．说明了a与a、a2一样都是非负数．2．2a＝a（a≥0）．解二次根式问题的基本途径——通过平方，去掉根号有理化．3．200aaaaaa揭示了与绝对值的内在一致性．4．abab（a≥0，b≥0）．5．aabb（a≥0，b＞0）．给出了二次根式乘除法运算的法则．6．若a＞b＞0，则a＞b＞0，反之亦然，这是比较二次根式大小的基础．运用二次根式性质解题应注意：（1）每一性质成立的条件，即等式中字母的取值范围；（2）要学会性质的“正用”与“逆用”，既能够从等式的左边变形到等式的右边，也能够从等式的右边变形到等式的左边．例题与求解【例1】设x，y都是有理数，且满足方程11402332xy，那么xy的值是____________．解题思路：将等式整理成有理数、无理数两部分，运用有理数和无理数的性质解题．【例2】当1≤x≤2，经化简，2121xxxx＝___________．解题思路：从化简被开方数入手，注意a中a≥0的隐含制约．【例3】若a＞0，b＞0，且35aabbab，求23abababab的值．解题思路：对已知条件变形，求a，b的值或探求a，b的关系．【例4】若实数x，y，m满足关系式：35223199199xymxymxyxy，试确定m的值．解题思路：观察发现（x－199＋y）与（199－x－y）互为相反数，由二次根式的定义、性质探索解题的突破口．【例5】已知121423352ababcc，求a＋b＋c的值．解题思路：题设条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试.【例6】在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为5，10，13，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上：_________．（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫作构图法．若△ABC三边的长分别为5a，22a，17a（a＞0），请利用图2中的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．（3）若△ABC三边的长分别为2216mn，2294mn，222mn（m＞0，n＞0，且m≠n）试运用构图法求出这个三角形的面积．解题思路：本题主要考查三角形的面积、勾股定理等知识，不规则三角形的面积，可通过构造直角三角形、正方形等特殊图形求得．能力训练1．要使代数式23243xxx有意义．则x的取值范围是_____________．2．阅读下面一题的解答过程，请判断是否正确?若不正确，请写出正确的解答．已知a为实数，化简31aaa．解：原式＝11aaaaaaa．3．已知正数a，b，有下列命题：（1）若a＝1，b＝1，则ab1；（2）若a＝12，b＝52，则ab32；（3）若a＝2，b＝3，则ab52；（4）若a＝1，b＝5，则ab3．根据以上命题所提供的信息，请猜想：若a＝6，b＝7，则ab________．4．已知实数a，b，c满足2112024abbccc，则a（b＋c）的值为_______．5．代数式12xxx的最小值是（）．A．0B．1＋2C．1D．不存在6．设等式axaayaxaay在实数范围内成立，其中x，y，a是两两不同的实数．则代数式22223xxyyxxyy的值为（）．A．3B．13C．2D．537．已知2225152xx，则222515xx的值为（）．A．3B．4C．5D．68．设a是一个无理数，且a，b满足ab－a－b＋l＝0，则b是一个（）．A．小于0的有理数B．大于0的有理数C．小于0的无理数D．大于0的无理数9．已知2343aabbab，其中ab≠0，求5abababab的值．10．已知611与611的小数部分分别是a，b，求ab的值．11．设a，b，c为两两不等的有理数．求证：222111abbcca为有理数．12．设a，b，c是实数，若a＋b＋c＝21a＋41b＋62c－14，求abcbcacab的值．图2CBA图1