应用概率统计

返回定义若事件A与B满足P(AB)=P(A)P(B),则称A与B相互独立，简称A与B独立。推论1A.B为两个事件,若P(A)0,则A与B独立等价于P(B|A)=P(B).若P(B)0,则A与B独立等价于P(A|B)=P(A).第1.5节独立性及其应用推论2在A与B,与B,A与，与这四对事件中,若有一对独立,则另外三对也相互独立。AABB返回性质若n个事件相互独立，则))(1())(1))(1(1)()()1))()())2121212121nnnnnAPAPAPAPAPAPAAAPAPAPAPAAAP（（（（（.)1(1)))()()212121nnnnnpAAAPpAAAPpAPAPAP（，（时，（当返回巴斯卡概率公式在n重贝努里试验中,如果第r次“成功”出现在第n次试验中,则),,2,1()1(111nrpppCPrnrrn几何概率公式在n重贝努里试验中,如果第1次“成功”出现在第n次试验中,则ppPn1)1(二项概率公式在n重贝努里试验中,如果“成功”在每次试验中出现的概率为p,令Bk=“在n次试验中“成功”出现k次”,则),,2,1,0()1()(nkppCBPknkknk返回第2章随机变量及分布•第2.1节随机变量的概念•第2.3节随即变量的分布•第2.4节连续型随机变量•第2.5节随机变量函数的分布•第2.2节离散型随机变量返回①品质数据的分类整理：②数量数据分组：组距分组：单变量分组：条形图、饼图直方图、折线图I.组数：II.组距：2lgnlg1K组数－＝minmax排序计数频率与直方图分组的原则：穷尽原则，互斥原则返回例：某商店连续40天的商品销售额（单位：万元）如下：根据上面的数据进行适当分组，编制频数分布表，并画出直方图。41252947383430384340463645373736454333444228463430374426384442363737493942323635返回按销售额分组（万元）频数频率%25-3030-3535-4040-4545-5046159610.015.037.522.515.0合计40100.0返回返回数据分布特征的测度1、分布的集中趋势：(1)众数：出现频率最高的值，用记之。算法(1)例1,2,4,4,5,6则1,2,3,3,4,5,6,6,7则0M40M6300MorM返回(2)中位数：中间位置的数，用记之。算法(1)例1,2,3,4,5,6,7则1,2,3,4,5,6则eM4eM5.3243eM返回(4)均值：1)简单平均2)加权平均3)调和平均4)加权调和平均5)几何平均NXXNii1,1NiiiXfX11NiifNiXMiNH11NiXmNiiMiimH11NNMXXXG21其中返回众数、中位数、均值的比较对称分布左偏分布右偏分布XMMe00MMXeXMMe0返回2、分布的离散程度：(1)(2)平均离差NXXMNiiD1样本方差22111NiinXXN(3)样本标准差2111NiinXXN（4）极差iiXXminmax返回例：求1,2,3,4,5的样本均值，样本方差。222222123453,5(13)(23)(33)(43)(53)512.5X解：返回试验考察可能的结果抛掷一枚硬币100次一家餐馆营业一天抽查一批电子元件新建一座住宅楼销售一辆汽车正面出现的次数顾客数使用寿命(小时)半年完成百分比顾客性别0,1,2,…,1000,1,2,…[0,)[0,100]男性为0,女性为1一、随机变量(randomvariables)概念记为是一个随机事件。}{k第2.1节离散型随机变量及其分布返回例如(1)随机地掷一颗骰子，ω表示所有的样本点,ω:出现1点出现2点出现3点出现4点出现5点出现6点X(ω):123456(2)某人接连不断地对同一目标进行射击,直至射中为止，ω表示射击次数，则ω射击1次射击2次......射击n次......X(ω)12......n......(3)某车站每隔10分钟开出一辆公共汽车,旅客在任意时间到达车站,ω表示该旅客的候车时间,ω候车时间X(ω)[0,10]1.随机变量(4)掷一枚硬币，ω表示正反面，则X(ω):10返回特别离散型连续型定义设E为随机试验,它的样本空间记为Ω={ω},如果对于每一个ω都有实数X(ω)与之对应,则称这个定义在Ω上的实单值函数X(ω)为随机变量.随机变量一般用X,Y,Z,或ξ,η,ζ等表示.取值为有限个和至多可列个的随机变量.可以取区间内一切值的随机变量.例如S=πR2中,其中R为测量中的随机变量,S为随机变量R的函数.此外,若X是一个随机变量,则以X为自变量的函数Y=f(X)称为随机变量X的函数.随机变量函数也是随机变量.返回2.离散型随机变量的概率分布定义设随机变量X的一切可能取值为x1,x2,...,xn,...,且pn=P(X=xn),n=1,2,...,称此公式为X的概率分布或分布列.或者Xx1x2...xn...Pp1p2...pn...性质(1)pn≥0,n=1,2,...；(2)p1+p2+...+pn+…=1；计算对ab有P(aX≤b)=bxaiip例如在掷一颗骰子的试验中,X表示出现的点数,则X的概率分布为X123456P1/61/61/61/61/61/6设A表示出现奇数点,则P(A)=P(x=1)+P(x=3)+P(x=5)=1/2返回注意离散型随机变量的概率分布分以下几步来求:(1)确定随机变量的所有可能取值;(2)设法（如利用古典概率）计算取每个值的概率.(3)列出随机变量的概率分布表（或写出概率函数）.返回例1某试验出现“成功”的概率为p(0p1),出现“失败”的概率为1-p，现进行一次试验,求成功次数的概率分布.解设随机变量X表示成功次数,则X=0表示试验出现“失败”,X=1表示试验出现“成功”P(X=1)=p,P(X=0)=1-p,所以,X的概率分布为:X01P1-pp两点分布注两点分布用于描述只有两种对立结果的随机试验.常见的离散型随机变量的概率分布(1)两点分布(0-1分布)返回注二项分布的试验背景是n重Bernoulli试验模型;其中n是试验独立重复的次数,p是每一次基本试验“成功”的概率.随机变量X指n次试验中“成功”出现的次数.),...,2,1,0()1()(nkppCkXPknkkn例2一批产品的合格率为0.8,有放回地抽取4次,每次一件,取得不合格品件数为X,则(2)二项分布若随机变量X的概率分布为X~B(4,0.2)记为的二项分布服从参数为则称其中,,,10pnXp).,(~pnBX返回一般地：设射击次数为n，每次射击击中目标的概率为p，则：当（n+1）p为整数时，概率最大的击中目标次数为(n+1)p和(n+1)p-1;当（n+1）p不为整数时，概率最大的击中目标次数为(n+1)p的整数部分.返回巴斯卡分布在n重贝努里试验中,如果第r次“成功”出现在第n次试验中,则),,2,1()1(111nrpppCPrnrrn几何分布在n重贝努里试验中,如果第1次“成功”出现在第n次试验中,则ppPn1)1(返回(3)泊松分布定义若随机变量X的概率分布为),,,,2,1,0(!)(nkekkXPk则称X服从参数为λ(0)的Possion分布,记为X~P(λ).可以证明当n很大,p很小,λ=np是一个不太大的常数时,可以用泊松分布作为二项分布的近似.即),...,2,1,0(!)1(nkekppCkknkkn返回即Poisson分布可作为二项分布的近似。实际应用中，当p0.25，n20，np5时，近似效果良好。返回例3在一部篇幅很大的书籍中，发现只有13.5%的页数没有印刷错误，如果我们假定每页的错字数是服从Poisson分布的，求正好有一个错字的页数的百分比.解设为每页的错字个数，由已知得又已知ln0.1352.0025()(0,1,2,...,)!kPkekk即~()P(0)0.135P0.135e即(1)27.03%Pe返回解1月1日公司收入(元)设一年中死亡人数为（人），则例4在保险公司里有2500个同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险。在一年里每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日付12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元，问下列事件的概率各为多少？(1)保险公司亏本(2)保险公司获利不少于10000元(3)保险公司获利不少于20000元25001230000~(2500,0.002)B返回(1){保险公司亏本}=(2){保险公司获利不少于10000元}=(3){保险公司获利不少于20000元}=~(2500,0.002)B5np(200030000)(15)250015160515152500250000(15)()1()510.0020.99810.0001!kkkkkkkkPPkPkeCk(10)51005(10)0.9863!kkePk(5)5505(5)0.616!kkePk返回例5设一试验成功的概率为p(0p1),接连重复进行试验,直到首次成功出现为止,求试验次数的概率分布.解设X表示试验次数,X取值为1,2,...,n,...,P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,...,P(X=n)=(1-p)n-1p,...,记q=1-p,则X的概率分布为:几何分布P(X=n)=qn-1p,(n=1,2,...)返回例6一批产品共100只，其中有10只次品.求任意取出的5只产品中次品数的概率分布。解设任意取出的5只产品中次品数为可能取值为：0,1,2,3,4,5.超几何分布一般地，若一集合成员分A、B两类，总成员有N个，其中A类有M个，现从中任取n个,则其中所含的A类个数的分布为：()knkMNMnNCCPkC510905100(),0,1,2,3,4,5kkCCPkkC返回例7袋内有5个黑球3个白球,每次抽取一个不放回,直到取得黑球为至。记X为取到白球的数目,Y为抽取次数，求X、Y的概率分布及至少抽取3次的概率。解(1)X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=5/8,P(X=1)=(3×5)/(8×7)=15/56,类似有P(X=2)=(3×2×5)/(8×7×6)=5/56,P(X=3)=1/56,所以,X的概率分布为X0123P5/815/565/561/56(2)Y的可能取值为1,2,3,4,P(Y=1)=5/8,P(Y=2)=P(X=1)=15/56,类似有P(Y=3)=P(X=2)=5/56,P(Y=4)=P(X=3)=1/56,所以Y的概率分布为Y1234P5/815/565/561/56(3)P(Y≥3)=P(Y=3)+P(Y=4)=6/56返回例8某车间有5台同类型的机床,每台机床配备的电动机功率为10千瓦.每台机床工作时平均每小时实际开动20分钟,且每台开动与否相互独立.因电力供应紧张,电力部门仅提供30千瓦的电力给这5台机床.问5台机床正常工作的概率有多大?解设A为“机床实际在开动”,X为“同时开动的机床数”,则P(A)=1/3,X~B(n,p),其中n=5,p=1/3,所求概率为P(X≤3)=1-P(X=4)-P(X=5)5555545445)311()31()311()31(1CC≈0.95或P(X≤3)995.0!5)35(!4)35(1355354ee返回随机变量的分布函数定义设X是任意一个随机变量,称函数F(x)