应用概率统计课程思考与问题

应用概率统计课程思考与问题第1章随机事件与概率问题与思考1．事件的和或者差的运算的等式两端一般是不能“移项”的，例如由CBA推不出BCA由DBA推不出BDA但是，增加一些条件便可以“移项”了，有下述结果：（1）若AB，且CBA，则BCA；（2）若BA，且DBA，则BDA。利用事件的图示表示法可以证明上述结果。2．计算古典概率时，有些初学者常常会问：如果需要用排列或组合计算时，在什么情况下用排列，在什么情况下用组合？分析：对于这个问题，要在搞清题意的基础上，根据解题的简洁与方便或者解题者的习惯，选择适合解决该问题的试验及样本，由此决定采用排列或组合来计算。对于这个问题，要在搞清题意的基础上，根据解题的简洁与方便或者解题者的习惯，选择适合解决问题的试验及样本空间，由此决定采用排列或组合来计算。例如：10个产品中有6个正品4个次品，现从中任取2个，求下列事件的概率：（1）A：这2个产品都是次品；（2）B：这2个产品1个是次品，1个是正品；（3）C：第一次取到的产品是正品，第二次取到的产品是正品。解：对于这个例子，有以下说明：（1）在没有特别指明的情况下，一般认为产品都是不编号的，在此例中可以认为编号1至6的产品为正品，7至10产品为次品。（2）在概率中，“任意抽取2个”与“随机地不放回抽取2个”含义相同，对于“任意抽取2个”有两种解释，一是每次随机地抽取1个记录其编号后不放回，再取下一个，这样取了2次共取了2个产品，在这种情况下任取2个产品是有先后次序的；二是随机地不放回取2个产品，在这种情况下任取2个产品是没有先后次序的。答：（1）解法一按照第一种情况，任取2个产品是有顺序的，基本事件总数902101An，A的基本事件为12241Ak，于是A的概率为152)(11nkAP。解法二按照第二种情况，任取2个产品是不计顺序的，基本事件总数452102Cn，A的基本事件6242Ck，于是A的概率为152)(22nkAP。（2）解法一按照第一种情况，任取2个产品是有顺序的，基本事件总数902103An，B的基本事件为48161414163AAAAk，于是B的概率为158)(33nkBP。解法二按照第二种情况，任取2个产品是不计顺序的，基本事件总数452104Cn，B的基本事件为2414164CCk，于是B的概率为158)(44nkBP。（3）有题意知，这是需要考虑顺序，基本事件总数902105An，C的基本事件为2416145AAk，于是C的概率为154)(55nkCP。由上述解法可见，对于（1）、（2）用排列或组合都行，对于（3）就只能用排列了。3．一些初学者有这样的想法：既然在概率的公理化定义中规定了概率具有完全可加性，那么概率的有限可加性就自然成立了，何必证明呢？这种想法对吗？答：这种想法不对。有这种想法的初学者，他在推理过程中是利用了认为显然成立的一个命题：“一个结论对可列无穷多个的情形成立，对有限多个的情形也成立。”实际上，这个命题是不对的。我们看个例子来说明。自然数,3,2,1是可列无穷多个数组成的集，它存在一个真子集（如正偶数集,6,4,2）与自然数本身一一对应。实际上，我们还可以得到更一般的结论：“可列无穷多个数组成的集，至少存在它的一个真子集与其一一对应。”而有限多个数组成的集，它的任何一个真子集都不能与其一一对应。所以，有限多个数组成的集不具有可列无穷多个数组成的集的上述性质。这个例子说明：有些结论对可列无穷多个的情形成立，对有限多个的情形未必成立。因此，虽然根据概率的公理化定义知道概率具有完全可加性，但是概率具有有限可加性这条性质还是需要证明的。4．有些初学者容易混淆条件概率BAP（或者ABP）与的区别，认为ABPBAP？答：这种认为不对，我们通过古典概率和几何概率的两个例子来说明BAP、ABP和BAP的区别。例1一个班级有35个学生，他们组成的情况如下表：籍贯性别北京籍非北京籍总计男81523女21012总计102535从这个班中随机地任选一名学生，设A:男学生，B:北京籍。有古典概率知：随机地任选一名学生既是男学生又是北京籍的概率为358)(ABP。随机地任选一名学生，在已知他是北京籍的条件下他又是男学生的概率为108BAP。随机地任选一名学生，在已知他是男学生的条件下他又是北京籍的概率为238ABP。例2设S为平面上的一个圆形区域，A、B为S中两个相交的正方形，如图示。在以S为样本空间的几何概率中，正方形A、正方形B及这两个正方形相交的部分是S中的三个事件，分别用A、B及AB表示。由几何概率和条件概率的定义知：的面积的面积SBBP，的面积的面积SAAP，的面积的面积SABABP，的面积的面积BABBPABPBAP，的面积的面积AABAPABPABP，这表明)(ABP是AB的面积与S的面积的比，)(BAP是AB的面积与B的面积的比，)(ABP是AB的面积与A的面积的比。第2章随机变量及其分布问题与思考1．以样本点为自变量的任意单值实函数都是随机变量吗？答：否。定义中要求对xXRx)(:,，即xXP存在。由于一般情况下这些单值实函数均能满足上述条件，故不再引入数学上更深的概念。2．非离散型随机变量就一定是连续随机变量吗？答：否。连续型随机变量是非离散型随机变量中最常见的一种。我们可以举出既非离散型又非连续型的随机变量。设随机变量2,0~UX，令.21,1;10,)(xxxxg则随机变量)(XgY既非离散型又非连续型。事实上，由)(XgY的定义可知Y只在1,0上取值，于是当0y时，0)(yFY；1y时，1)(yFY；当10y时，2))(()(yyXPyXgPyFY于是.1,1;10,2;0,0)(yyyyyFY首先Y取单点{1}的概率021)01()1()1(YYFFYP，故Y不是连续型随机变量。其次其分布函数不是阶梯形函数，故Y也不是离散型随机变量。3．设X为连续型随机变量，而)(xg为连续函数，)(XgY还是连续型随机变量吗？答：未必是连续型随机变量。反例可以参考上述例子。4．不同的随机变量其分布函数可能相同吗？答：完全可能。我们已经知道分布函数很好地刻画了随机变量取值的概率，从而对随机变量的研究可转化为对其分布函数的研究。但是不同的随机变量也可能有相同的分布函数。设一几何概型的样本空间为1,0S，随机变量定义如下：.121,1;210,1)()(21XX则)()(21XX，但其分布函数相同，均为.1,1;11,21;1,0)(xxxxF由此可知即使是同分布的随机变量也不能视为同一随机变量。5．连续型随机变量的密度函数连续吗？答：否。虽然正态分布的密度函数连续，但均匀分布、指数分布的密度函数都不连续。第3章多维随机变量及其分布问题与思考1．若X与Y独立同分布，可否认为YX？答：否。举个简单例子。设X与Y独立且都服从0-1分布，21p，则YX,的联合分布如下：于是214141)1,1()1,1()(YXPYXPYXP2．联合密度函数连续是否能推出边缘密度函数也连续？答：否。表面来看，联合密度函数经积分后得到边缘密度函数，似乎边缘密度函数的性质更优于联合密度函数，其实未必。例如YX-11-141411414.0,0;0,21),(212xxeyxfxyxy不难证明，),(yxf在整个平面上连续，而边缘密度函数.0,00,)(xxexfxX在0x处不连续。3．对二维离散型随机变量，可定义为其分量均为一维离散型随机变量，那么对二维连续型随机变量可否也类似定义其分量均为一维连续型随机变量？答：否。无论是一维还是多维，在定义连续型随机变量时，其本质是它有概率密度函数，即存在非负函数f满足概率密度函数的基本性质且xdttfxXP)()(，对于多维同样成立。在概率论理论上，将连续型随机变量定义为：存在密度函数的随机变量。至于它可以在同一区间或区域内连续取值倒不是本质的，甚至也是不明确的。与多维离散型随机变量的定义不同，多维连续型随机变量不能简单定义为：其分量均为一维连续型随机变量的那种随机变量。我们举反例如下：设]1,0[~1UZ，12ZZ，则随机变量21,ZZ的两个分量21,ZZ均为连续型随机变量，但是21,ZZ却只能在单位正方形的对角线上取值，于是不可能存在),(yxf满足1),(dxdyyxf，即21,ZZ不可能存在概率密度函数，于是21,ZZ不是二维连续型随机变量。4．二元函数其他,0;2,),(2222yxyxyxf是一个密度函数吗？其他，,0;11),(yxyxF是一个分布函数吗？答：),(yxf为密度函数必须具有下述性质：（1）),(yxf0；（2）1),(dxdyyxf。而此处12),(),(222yxdxdyyxfdxdyyxf故),(yxf不是一个密度函数。作为一个二元分布函数，应满足矩形不等式，即对于2121,yyxx有0),(),(),(),(11122122yxFyxFyxFyxF对于此处的),(yxF，取1,21,1,312121yyxx，则01)21,31()21,1()1,31()1,1(FFFF于是此处),(yxF不是一个分布函数。5．若联合密度函数不连续，其边缘密度函数可能连续吗？答：可能。设)(xg为任意一个连续的密度函数，满足)()(,0)0(xgxgg。我们定义.0,0;0),()(2),(xyxyygxgyxf则显然有（1）),(yxf0；（2）1)()(2),(0xydxdyygxgdxdyyxf。所以),(yxf为一个概率密度函数，这里),(yxf在点（0，0）处不连续，而边缘密度函数)(),(ygxg均连续。6．联合分布为均匀分布是否能得到其边缘分布也是均匀分布？答：否。设D为)0(222rryx所表示的区域，随机变量),(YX的联合密度为.,0;),(,11),(2其他的面积DyxrDyxf于是随机变量),(YX服从D上的均匀分布，但.,0;,2)(222rxrxrxrxfX不是均匀分布。7．设YX,为二维随机变量，对任意的实数yx,，),(1),(yYxXPyYxXP吗？答：不对。因为yYxXyYxX,,与不是对立事件。8．两个随机变量的密度函数不同，它们的分布函数可能相同吗？答：可能。如.,0;1,0,1)(其他xxf.,0;1,0,1)(其他xxg显然)()(xgxf，但对应的分布函数却相同，均为.1,1;10,;0,0)(xxxxxF9．正态随机变量的和仍为正态随机变量吗？答：我们知道，独立的正态随机变量之和仍为正态变量，但对不独立的正态随机变量之和就未必是正态随机变量了。如设)1,0(~1NX，Y是参数为21p的0-1分布。又设1X与Y独立。令.10112时，当时；，当YXYXX分别求212,XXZX的分布。)1,()0,()(222YxXPYxXPxXP21)(21)(11xXPxXP21)())(1)((xxx即)1,0~2（X。但21XX不是正态随机变量。事实上，0211(021））（YPXXP于是21XX是非连续型随机变量，更谈不上