《结构力学》_龙驭球_第10章_动力学(5)

§10-5两个自由度体系的自由振动一、刚度法（1）两个自由度体系m1m2y1(t)y2(t)m1m211ym22ymK2K1K2K1y1(t)y2(t)121k11k112k22k0111Kym0222Kym2121111ykykK2221212ykykK0)()()(0)()()(2221212221211111tyktyktymtyktyktym两自由度体系自由振动微分方程0)()()(0)()()(2221212221211111tyktyktymtyktyktym设解为)sin()()sin()(2211tYtytYty2121)()(YYtyty=常数0)(0)(2222212121211211YmkYkYkYmk当然Y1=Y2=0为其解，为了求得不全为零的解，令0)()(222221121211mkkkmkD特征方程频率方程0))((211222221211kkmkmk1）在振动过程中，两个质点具有相同的频率和相同的相位角；2）在振动过程中，两个质点的位移在数值上随时间而变化，但其比值始终保持不变。振动过程中，结构位移形状保持不变的振动形式，称为主振型。0))((211222221211kkmkmk2121122211222211122211122121mmkkkkmkmkmkmk（1）主振型112111122111CmkkYY212211122212CmkkYY（2）按主振型振动的条件：初位移或初速度与此振型相对应；m1m2Y21Y11Y12Y220)(0)(2222212121211211YmkYkYkYmk最小圆频率称为第一(基本)圆频率：,12——第二圆频率由此可见：多自由度体系如果按某个主振型自由振动，其振动形式保持不变，此时，多自由度体系实际上是像一个单自由度体系在振动。实际上，多自由度体系在零时刻的y0或vo通常不能完全与某一振型相对应。例7：设图示刚架横梁刚度为无限大，层间侧移刚度分别为k1和k2，试求刚架水平振动时的自振动频率和主振型。m1m2k1k2解：（1）求频率方程中的刚度系数1221kk2111kkk1212kk222kkk11=k1+k2k12=k21=-k2k22=k2（3）一般振动)sin()sin()()sin()sin()(2222211212222122111111tYAtYAtytYAtYAty两自由度体系自由振动是两种频率及其主振型的组合振动多自由度体系自由振动的振型分解mkmk61803.238197.02221mkmk61803.161803.021（3）求主振型618.1138197.02:121111221111kkkmkkYY618.0161803.22:22122kkkYY1.6181.01.00.618第1振型第2振型（2）求频率0))((222221221kmkmkk0))((211222221211kkmkmkk11=k1+k2k12=k21=-k2k22=k2代公式若有kkkmmm212122222114)12(21mknnn（3）求主振型221221211211:mkkYY（2）求频率0))((222221221kmkmkk若有2121knknmm0)]()1[(22222222kmknmkn4121n222221212222:mkkYY4121n若n=90则第一振型和第二振型分别为：11019可见当顶端质点的质量和刚度很小时，顶端水平侧移很大。建筑结构抗震设计中，将这种因顶端质点质量和刚度突变，而导致顶端巨大反应的现象，称为鞭梢效应。如：屋顶消防水池、上人屋面设计的楼电梯间，女儿墙或屋顶建筑物等。二、柔度法m1m2y1(t)y2(t)22ym11ym122211111)()()(tymtymty222221112)()()(tymtymty设解为)sin()()sin()(2211tYtytYty此时惯性力)sin()()sin()(2222212111tYmtymtYmtym幅值222112YmYm12222111121)()(YmYmY22222211122)()(YmYmY在自由振动过程中任意时刻t，质量m1、m2的位移y1(t)、y2(t)应当等于体系在当时惯性力作用下的静力位移。主振型的位移幅值等于主振型惯性力幅值作用下产生的静力位移。m1m2Y1Y2222Ym112Ym0)1(0)1(222221121221212111YmYmYmYm当然解Y1=Y2=0，为了求得不全为零的解，令01122221212122111mmmmD令210)()(2121122122112221112mmmmmm2121122211222211122211121)(4)()(21mmmmmm221111主振型22111212221221111212211111mmYYmmYY12222111121)()(YmYmY22222211122)()(YmYmY0.5a例9.试求图示梁的自振频率和主振型，梁的EI已知。12aaamm解：（1）计算频率1a1M12MEIaEIaEIa6,4,322321123113231203.3967.0maEImaEI（2）振型61.31277.0122122111YYYY10.27713.61第一振型第二振型3、主振型的正交性m1m211121Ym11221YmY11Y2112122Ym22222Ym由功的互等定理：整理得：m1m2Y12Y222122222111222122212121211211)()()()(YYmYYmYYmYYm0))((22212121112221YYmYYm21因，则存在：02221212111YYmYYm两个主振型相互正交，因与质量有关，称为第一正交关系。由功的互等定理：2122222111222122212121211211)()()()(YYmYYmYYmYYm)51.15(02221212111YYmYYm上式分别乘以ω12、ω22，则得：0)()(0)()(2122222111222122212121211211YYmYYmYYmYYm第一主振型惯性力在第二主振型位移上所做的功等于零；第二主振型惯性力在第一主振型位移上所做的功等于零；某一主振型的惯性力在其它主振型位移上不做功，其能量不会转移到其它主振型上，不会引起其它主振型的振动；各个主振型能单独存在，而不相互干扰。若结构对称，质量分布也对称，则该体系的主振型也是对称或反对称的。因此，可以用位移法中处理对称性的方法，取半边结构进行计算。例13-5-3利用对称性简化图示结构柔度系数的求解。5.利用对称性简化计算因为结构和质量分布均对称，其振型也是对称和反对称的，分别取半边结构计算。解：mmmaaaaaaEIEIEI以求对称振型为例说明[δ]中系数的求解。首先求出半边结构在集中质量上分别作用有单位集中力产生的弯矩图。a)M1图b)M2图aaa1320a1740aaaa710a310a1求对称振型求反对称振型m2=m/2m1=maaaaaaEIEIEIEIm1=mm2=m/2为了求柔度系数，可以在另外的静定基本结构上加单位力并作弯矩图。利用该弯矩图与上页的弯矩图图乘，很容易求得各柔度系数。a)c)图乘求，b)d)图乘求，a)d)或b)c)图乘求，进而求自振频率和主振型。11221221c)图1M图2Md)aaa2a1aaa1a例13-5-2求图示结构的自振频率和主振型。m2=2maaam1=mEIEI解：aaaEIEI1a1M图aaaEIEI1a/22M图1)作、如右图示，图乘求系数。1M2M11333112(23122)2312()33aaaEIaaaaaEIaEI322212()22326aaaaEIEI3122111(2)2224aaaaEIEI3331112224263aaammmmmEIEIEI322112212211233222114()4()(1)2616558()()486ammmEIaammEIEI2)求自振频率12330.93152.3518EIEIamam33111212(2)4aammmmEIEI31112233211112120.51410.15260.30521.1526amYmEIaamYmmEIEI3)求主振型33321,2144514(())(0.9718)(0.66670.4859)233623amamamEIEIEI第一主振型10.3052m1m2第二主振型11.6384m1m24)画主振型图31212233221112220.51410.81921.63840.1808amYmEIaamYmmEIEI