2009年广东省高考数学试卷(文科)答案与解析

12009年广东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2009•广东）已知全集U=R，则正确表示集合M={﹣1，0，1}和N={x|x2+x=0}关系的韦恩（Venn）图是（）A．B．C．D．【考点】Venn图表达集合的关系及运算．菁优网版权所有【专题】集合．【分析】先化简集合N，得N={﹣1，0}，再看集合M，可发现集合N是M的真子集，对照韦恩（Venn）图即可选出答案．【解答】解：．由N={x|x2+x=0}，得N={﹣1，0}．∵M={﹣1，0，1}，∴N⊂M，故选B．【点评】本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、一元二次方程的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．2．（5分）（2009•广东）下列n的取值中，使in=1（i是虚数单位）的是（）A．n=2B．n=3C．n=4D．n=5【考点】虚数单位i及其性质．菁优网版权所有【专题】数系的扩充和复数．【分析】要使的虚数单位的n次方等于1，则n只能是4的整数倍，在本题所给的选项中，只有数字4符合题意，得到结果．【解答】解：∵要使in；=1，则n必须是4的整数倍，在下列的选项中只有C符合题意，故选C【点评】本题考查虚数单位及性质，是一个基础题，题目若出现一定是一个必得分题目，不要忽视对这种简单问题的解答．3．（5分）（2009•广东）已知平面向量=（x，1），=（﹣x，x2），则向量+（）2A．平行于x轴B．平行于第一、三象限的角平分线C．平行于y轴D．平行于第二、四象限的角平分线【考点】平面向量的坐标运算．菁优网版权所有【专题】平面向量及应用．【分析】先做出两个向量的和，横标和纵标都用含x的代数式表示，结果和的横标为零，得到和向量与纵轴平行，要熟悉几种特殊的向量坐标特点，比如：与横轴平行的向量、与纵轴平行的向量．【解答】解：+=（0，1+x2），1+x2≠0，故+平行于y轴．故选C【点评】本题要求从坐标判断向量的特点，即用到向量的方向又用到向量的大小，大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化．4．（5分）（2009•广东）若函数y=f（x）是函数y=ax﹣a（a＞0，且a≠1）的反函数，且f（）=1，则函数y=（）A．log2xB．C．D．2x﹣2【考点】反函数．菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用．【分析】由f（）=1可得f﹣1（1）=，即a1﹣a=，解出a的值，即得函数y的解析式．【解答】解：∵f（）=1，∴f﹣1（1）=，由题意知a1﹣a=，∴a=2，y=ax﹣a（a＞0，且a≠1）y=2x﹣2，故选D．【点评】本题考查反函数的定义和反函数的求法，函数与反函数的关系．5．（5分）（2009•广东）已知等比数列{an}的公比为正数，且a3•a9=2a52，a2=1，则a1=（）A．B．C．D．2【考点】等比数列的性质．菁优网版权所有【专题】等差数列与等比数列．3【分析】设等比数列的公比为q，根据等比数列的通项公式把a3•a9=2a25化简得到关于q的方程，由此数列的公比为正数求出q的值，然后根据等比数列的性质，由等比q的值和a2=1即可求出a1的值．【解答】解：设公比为q，由已知得a1q2•a1q8=2（a1q4）2，即q2=2，又因为等比数列{an}的公比为正数，所以q=，故a1=．故选B．【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的性质及等比数列的通项公式化简求值，是一道中档题．6．（5分）（2009•广东）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④【考点】平面与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定．菁优网版权所有【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】从直线与平面平行与垂直，平面与平面平行与垂直的判定与性质，考虑选项中的情况，找出其它可能情形加以判断，推出正确结果．【解答】解：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；如果这两条直线平行，可能得到两个平面相交，所以不正确．②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；这是判定定理，正确．③垂直于同一直线的两条直线相互平行；可能是异面直线．不正确．④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．正确．故选：D．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，平面与平面平行的判定，是基础题．7．（5分）（2009•广东）已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．若a=c=+，且∠A=75°，则b=（）A．2B．4+2C．4﹣2D．﹣【考点】正弦定理．菁优网版权所有【专题】解三角形．【分析】先根据三角形内角和求得B的值，进而利用正弦定理和a的值以及sin75°的值，求得b．【解答】解：如图所示．在△ABC中，由正弦定理得：=4，∴b=2．故选A4【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．正弦定理常用与已知三角形的两角与一边，解三角形；已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形；运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系．8．（5分）（2009•广东）函数f（x）=（x﹣3）ex的单调递增区间是（）A．（﹣∞，2）B．（0，3）C．（1，4）D．（2，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用．【分析】若求解函数f（x）的单调递增区间，利用导数研究函数的单调性的性质，对f（x）求导，令f′（x）＞0，解出x的取值区间，要考虑f（x）的定义域．【解答】解：f′（x）=（x﹣3）′ex+（x﹣3）（ex）′=（x﹣2）ex，求f（x）的单调递增区间，令f′（x）＞0，解得x＞2，故选D．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性的这一性质，值得注意的是，要在定义域内求解单调区间．9．（5分）（2009•广东）函数y=2cos2（x﹣）﹣1是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数【考点】三角函数的周期性及其求法；函数奇偶性的判断．菁优网版权所有【专题】三角函数的图像与性质．【分析】利用二倍角公式化简为一个角的一个三角函数的形式，求出周期，判定奇偶性．【解答】解：由y=2cos2（x﹣）﹣1=cos（2x﹣）=sin2x，∴T=π，且y=sin2x奇函数，即函数y=2cos2（x﹣）﹣1是奇函数．故选A．【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法，函数奇偶性的判断，是基础题．10．（5分）（2009•广东）广州2010年亚运会火炬传递在A，B，C，D，E五个城市之间进行，各城市之间的距离（单位：百公里）见表．若以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是（）ABCDEA05456B50762C47098.6D569055E628.650A．20.6B．21C．22D．23【考点】频率分布表；统筹问题的思想及其应用的广泛性．菁优网版权所有【专题】概率与统计．【分析】以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的路线是中间三个位置的排列共有A33种结果，列举出六种结果的路途长度选出最短的路途，列出路径的长度，得到结果．【解答】解：∵以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的路线是中间三个位置的排列共有A33=6种结果，列举出六种结果的路途长度选出最短的路途，A→B→C→D→E，总长是26，A→C→D→B→E，总长是21，A→B→D→C→E，总长是28.6，A→D→B→C→E，总长是26.6，A→C→B→D→E，总长是22，A→D→C→B→E，总长是23，总上可知最短的路径是21．故选B【点评】本题考查频率分布表，考查统筹问题的思想及其应用的广泛性，考查利用统计问题解决实际问题，本题采用列举法来解题．二、填空题（共5小题，每小题5分，第14-15题，属选做题，满分25分）11．（5分）（2009•广东）某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示：队员i123456三分球个数a1a2a3a4a5a6如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填i≤6，输出的s=a1+a2+a3+a4+a5+a6．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”）【考点】循环结构．菁优网版权所有【专题】算法和程序框图．6【分析】根据程序框图设计意图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数，可知循环体要执行6次，从而得到判断框应填，以及输出的S．【解答】解：∵统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图∴要求a1+a2+a3+a4+a5+a6的和由题意可知循环体要执行6次所以图中判断框应填i≤6故答案为：i≤6，a1+a2+a3+a4+a5+a6【点评】本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．12．（5分）（2009•广东）某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本、用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组（1～5号，6～10号，…，196～200号）．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是37．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取20人．【考点】系统抽样方法；分层抽样方法．菁优网版权所有【专题】概率与统计．【分析】由分组可知，抽号的间隔为5，第5组抽出的号码为22，第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37．可以一次加上5得到下一组的编号，根据图中40岁以下的所占的比例，得到结果．【解答】解：∵将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组，由分组可知，抽号的间隔为5，∵第5组抽出的号码为22，∴第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37．40岁以下的年龄段的职工数为200×0.5=100，则应抽取的人数为×100=20（人）．故答案为：37；20【点评】本题考查系统抽样，在系统抽样过程中得到的样本号码是最规则的一组编号，注意要能从一系列样本中选择出来．本题还考查分层抽样，是一个抽样的综合题目．13．（5分）（2009•广东）以点（2，﹣1）为圆心且与直线x+y=6相切的圆的方程是（x﹣2）2+（y+1）2=．【考点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系．菁优网版权所有【专题】直线与圆．【分析】由点到直线的距离求出半径，从而得到圆的方程．【解答】解：将直线x+y=6化为x+y﹣6=0，圆的半径r==，7所以圆的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=．答案：（x﹣2）2+（y+1）2=【点评】本题考查圆的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．14．（5分）（2009•广东）选做题：若直线y=2+3t．x=1﹣2t，（t为参数）与直线4x+ky=1垂直，则常数k=﹣6．【考点】直线的参数方程；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．菁优网版权所有【专题】坐标系和参数方程．【分析】先利用消参法将t消去，求出直线的直角坐标方程，然后根据两直线垂直则两斜率之积为﹣1，建立等量关系解之即可．【解答】解：直线y=2+3t．x=1﹣2t，（t为参数）消去参数t得：3x+2y﹣7=0∵直线3x+2y﹣7=0与直线4x+ky=1垂直∴（﹣）×=﹣1解得：k=﹣6故答案为﹣6．【点评】本题主要考查了直线的参数方程，以及两直线垂直的位置关系的判定，属于基础题．15．（5分）（2009•广东）选做题：如图，点A、B、C是圆O上的点，且AB=4，∠AC