中北大学工程力学杆件内力分析

第二章杆件内力分析本次授课的基本情况•课程名称:材料力学（64学时）•授课班号:11040542-3•授课时间：周一第一节周三第四节•授课地点:11210H01102•授课对象:特能专业•授课教师:张建军•授课重点：•授课难点：第二章杆件的内力分析本章主要内容1.轴向拉压变形的内力分析2.扭转变形的内力分析3.弯曲变形的内力分析4.弯矩、剪力与荷载集度之间的微分关系5.组合变形的内力分析6.总结与讨论1.轴向拉压变形的内力分析1.1轴向拉压变形概述（Introductionofdeformationalbehaviorofaxialtensionandcompression)变形特点(Characterofdeformation)沿轴向伸长或缩短受力特点(Characterofexternalforce)外力的合力作用线与杆的轴线重合计算简图(Simplediagramforcalculating)FFFF轴向压缩(axialcompression)轴向拉伸(axialtension)1.2轴力和轴力图（Axialforceanddiagramofaxialforce)如何确定轴向拉伸（压缩）的内力和内力图？截面法FFmmFFqqFNFNFFN截面FN~轴向力，简称轴力FN~拉压杆件截面上分布内力系的合力，作用线与杆件的轴线重合，单位:Ｎ,kNFN~轴向力正负号规定及其他注意点1、同一位置处左右侧截面上的内力分量必须具有相同的正负号2、轴力以拉（效果）为正，压（效果）为负截面FNFN符号为正截面FNFN符号为负3、如果杆件受到外力多于两个，则杆件的不同部分上的横截面有不同的轴力例题1试求直杆在外力作用下I-III-IIIII-III截面的轴力F1F2F3F4IIIIIIIIIIIIkN10kN25kN20kN54321FFFFF1F2F3F4IIIIIIIIIIII[解]取I-I截面左侧为自由体，进行受力分析，轴力预先设为正（拉）：F1FN1列平衡方程求FN10xFx0N11FFkN51N1FFFN1=－5kN表明该轴力方向与预设方向相反，其效果为压kN10kN25kN20kN54321FFFFF1F2F3F4IIIIIIIIIIII同法求II截面上的内力列平衡方程求FN20xF02N21FFFkN1552012N2FFFF1F2FN2x若取截面的右侧则:F4F3FN2x0xF0432NFFFkN15102543N2FFF注意:同一位置处左右侧截面上的内力分量必须具有相同的正负号kN10kN25kN20kN54321FFFFF1F2F3F4IIIIIIIIIIII同法求III截面上的内力,可取右侧计算较为简单。kN10kN25kN20kN54321FFFFF4FN3x0xF04N3FFkN10104N3FF将内力沿杆件轴线方向变化的规律用曲线表示–内力图将轴力沿杆件轴线方向变化的规律用曲线表示–轴力图F1F2F3F4IIIIIIIIIIII10kN15kNkN53N2N1NFFF(kN)xFN－+－10515例题2试画出下列直杆的轴力图2kN4kN6kN24kN6kNxFN(kN)－+－0-2-42kN2.扭转变形的内力分析2.1扭转变形概述（Introductionofdeformationalbehavioroftorsion)杆的两端承受大小相等、方向相反、作用平面垂直于杆件轴线的两个力偶，杆的任意两横截面将绕轴线相对转动，这种受力与变形形式称为扭转（torsion）。以扭转为主要变形的杆件称为轴。工程实际中，有很多承受扭转的构件，例如当两只手用力相等时，拧紧螺母的工具杆将产生扭转。传动轴传动轴将产生扭转工程中作用于轴上的外力矩往往不是直接给出的，而是给出轴所传递的功率(kW)和轴的转速(rpm),通过理论力学的知识可以求出外力矩:60π2ddddnTTtTtWP)mN(9549)mkN(549.9)rpm(π2)kW(60nPnPnPT2.1扭矩和扭矩图（Torsionmomentanditsdiagram)受扭构件的内力矩如何？截面法TTT是外力矩T根据平衡，截面上有内力矩Mx—扭矩Mx根据右手定则确定力矩矢的方向力矩旋转方向力矩矢方向由此确定扭矩及外力矩的力矩矢方向TxM扭矩的正负号规定按照右手螺旋法则，扭矩矢量的指向与截面外法线方向一致为正，反之为负。TTT截面n截面外法线Mx扭矩矢量力矩旋转方向力矩矢方向扭矩的计算及扭矩图的绘制1、计算各外力矩的大小（已知功率和转速）；2、将各外力矩采用右手螺旋定则绘出外力矩矢；3、取各控制截面，预设扭矩矢（内力矩矢）为正方向，列平衡方程，计算扭矩矢的大小；4、以轴线方向为横坐标，扭矩大小为纵坐标绘出扭矩图。例题3某转动轴，转速n=200rpm,主动轮输入功率为PA=200kW,三个从动轮输出功率分别为PB=90kW,PC=50kW,PD=60kW1、计算1-12-23-3截面的扭矩；2、画出扭矩图BCAD112233TBTCTATD解首先计算各个外力矩的大小BCAD112233TBTCTATDmN954920020095499549nPTAmN43002009095499549nPTBmN23902005095499549nPTCmN28592006095499549nPTD将外力矩转换为力矩矢量BCAD112233TBTCTATD取1-1截面左侧分析TB将截面上的扭矩设为正Mx1x列方程0xMmN4300011BxxBTMMT取2-2截面左侧分析BCAD112233TBTCTATD列方程0xMmN6690022CBxxCBTTMMTTTBMx2xBCTC取3-3截面右侧分析BCAD112233TBTCTATD列方程0xMmN2859033DxDxTMTMMx3D33TDx由上述计算得到扭矩值BCAD112233TBTCTATDmN2859mN6690mN4300321xxxMMM画扭矩图Mx（kN·m）x0+4.3+6.7－-2.859例题4试画出下面轴的扭矩图ACBD2kN·m5kN·m3kN·m－-2ACBD2kN·m5kN·m3kN·m0Mx（kN·m）x+3－-2ACBD2kN·m5kN·m3kN·m0Mx（kN·m）x+33.弯曲变形的内力分析杆件承受垂直于其轴线的外力或位于其轴线所在平面内的力偶作用时，其轴线将弯曲成曲线，这种受力与变形形式称为弯曲（bending）。主要承受弯曲的杆件称为梁（beam）。3.1弯曲变形概述（Introductionofbendingdeformation)平面弯曲梁轴线FAFBFq(x)M纵向对称面工程中的弯曲构件桥式吊车的大梁可以简化为两端饺支的简支梁。在起吊重量(集中力FP)及大梁自身重量(均布载荷q)的作用下,大梁将发生弯曲。支座和载荷的简化支座—约束固定铰支座:滚动铰支座:xFyFFN3.2梁的简化及其类型（Simplicationofbeamanditsclassification)支座和载荷的简化固定端约束：AxFAyFAM支座和载荷的简化载荷的类型q0均布载q(x)三角载qmax任意载q(x)abdx1.分布载荷q(x)――连续作用在一段长度的载荷。例如：自重、惯性力、液压等，单位：kg/cm，N/m。因为每个小微段（dx）可以看成一个小的集中力[q(x)dx]，根据理力平行力系求合力：（载荷图面积）合力badxxq)(合力着力点：――在载荷图的面积形心上q(x)abdx当分布载荷分布区段很小，在一个dx段上时，往往简化成集中力。（真正的集中力在工程中是不存在的）dx3．集中力矩M――往往是梁上安装附属构件所引起的。2．集中力P梁的类型及计算简图计算简图简支梁外伸梁悬臂梁工程中的弯曲构件石油、化工设备中各种直立式反应塔，底部与地面固定成一体，因此，可以简化为一端固定的悬臂梁。在风力载荷作用下，反应塔将发生弯曲变形。仍采用截面法确定梁上某截面的内力分量例2B-1确定悬臂梁m-m处的内力ABFll1mm3.3梁的内力——弯矩和剪力ABFll1mm[1]求出A处的约束反力FAyFAxMAFlMFlMMFFFFFFFAAAAyAyyAxx000000取m-m截面右侧分析FBFQMCFFFFFQQy00Cl-l1)(0)(011llFMllFMMCCC剪力弯矩ABFll1mm若取截面的左侧分析FAyFAxMAl1AFAyFAxMACFQ’MC’)(00001111llFFlFlMlFMMlFMMFFFFFAQCCQACQQAyy由此可知，取截面左右两侧的部分构件计算，所得到的内力大小相等，方向相反。FBFQMCC剪力和弯矩的正负号约定凡剪力对所取梁内任一点的力矩顺时针转向的为正，反之为负；凡弯矩使所取梁段产生上凹下凸变形的为正，反之为负。FQFQFQFQFQ为正FQ为负MM为正MM为负MM上面的约定形式上比较繁琐，在实际求解问题中，可按照以下方法预先设置剪力和弯矩为正。BFll1mmFQM剪力和弯矩均按图示设为正。FQM剪力和弯矩均按图示设为正。取截面左右两侧的部分构件计算，所得到的内力大小相等，方向相反，但符号是一样的。例2B-2求梁AB截面I-III-II的剪力和弯矩。q=2kN/mF=40kN6m4mAB5m2mIIIIIIq=2kN/mF=40kN6m4mAB5m2mIIIIII[1]计算梁的约束反力FAFBkN260100kN340210106100ABAyBBAFqFFFFqFFMq=2kN/mF=40kN6m4mAB5m2mIIIIII[2]选择I-I截面左侧为研究对象计算弯矩剪力FAFB5mA26kNq=2kN/m如何预设剪力和弯矩为正方向？FQ1M1mkN1050525520kN1605226011111MMFMFFFQAQQyq=2kN/mF=40kN6m4mAB5m2mIIIIII[3]选择II-II截面右侧为研究对象计算弯矩剪力FAFBq=2kN/m34kNB2m如何预设剪力和弯矩为正方向？FQ2M2cmkN6446802341220kN300223402222MMMFFFCQQy求解梁指定截面的剪力和弯矩的一般步骤：1、求出约束反力（重要）；2、选择被截下部分的梁作为研究对象，并预设剪力弯矩为正方向，画出受力分析图；3、按照静力学平衡方程求出截面上的剪力和弯矩的具体数值。剪力方程和弯矩方程一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置而变化，若以横座标x表示横截面在梁轴线上的位置，则各横截面上的剪力和弯矩都可以表示为x的函数。)(xFFQQ剪力方程)(xMM弯矩方程依照剪力方程和弯矩方程绘制的内力曲线图(x轴-横截面位置，y轴-剪力弯矩)称为剪力图和弯矩图。3.4梁的内力方程——剪力方程和弯矩方程梁的内力图——剪力图和弯矩图例2B-3作以下悬臂梁的剪力和弯矩图ABFlABFl[1]以A为原点建立x轴xAAB段中任取一个横截面m-mmm取截面左侧作为研究对象FxACFQMFFFFFQQy00)0(lxFxxFMxFMMQQA00)0(lx剪力方程:)0(lxFFQ弯矩方程:)0(lxFxM[2]画出剪力弯矩图)0(lxFFQ)0(lxFxMABFlFQx－F0)(maxlxFlM弯矩的极值发生在固定端处，绝对值的大小为:xM－Fl0A右侧至B左侧梁段上并没有外加力（集中力/分布载）的作用，则A右侧至B左侧的剪力图表现为一条平行于x轴的直线，不发