2016年北京自主招生数学模拟题：几何概型

育龙单招网，单招也能上大学份高职单招试题，全部免费提供！2016年北京自主招生数学模拟题:几何概型【试题内容来自于相关网站和学校提供】题目1：在一球内有一边长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为（）A.√6πB.√32πC.√3πD.2√33π题目2：从1到815这815个整数中选出100个整数（一个整数可以重复被选），现在利用电脑模拟随机数抽样，程序框图如图所示，则在A、B两框中应填入（）A.x≤815，i＞100B.x≤815，i≥100C.x≤0.815，i≥100D.x≤0.815，i＞100题目3：已知O（0，0），A（30，0），B（30，30），C（0，30），E（12，0），F（30，18），P（18，30），Q（0，12），在正方形OABC内任意取一点，该点在六边形OEFBPQ内的概率为（）育龙单招网，单招也能上大学份高职单招试题，全部免费提供！A.425B.2125C.725D.1625题目4：节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（）A.14B.12C.34D.78题目5：（2013•陕西）如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（）A.1-π4B.π2-1C.2-π2D.π4题目6：设A是满足不等式组{0≤x≤40≤y≤4的区域，B是满足不等式组{x≤4y≤4x+y≥4的区域；区域A内的点P的坐标为（x，y），当x，y∈R时，则P∈B的概率为12．育龙单招网，单招也能上大学份高职单招试题，全部免费提供！题目7：在区间[0，1]上任意取两个实数a，b，则函数f（x）=12x3+ax-b在区间[-1，1]上有且仅有一个零点的概率为78．题目8：如图，在一个边长为3cm的正方形内部画一个边长为2cm的正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是49．题目9：有一个底面圆的半径为1，高为3的圆柱，点O1，O2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为59．题目10：设集合A={（x，y）|x2+y2≤9}，B={(x，y)|1≤x≤e0≤y≤x-1}，在A中任取一点P，则点P属于B的概率为19π．题目11：要考察某种品牌的850颗种子的发芽率，抽取60粒进行实验．利用随机数表抽取种子时，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第8行第11列的数1开始向右读，请你依次写出最先检测的4颗种子的编号_____，_____，_____，_____．育龙单招网，单招也能上大学份高职单招试题，全部免费提供！（下面摘取了随机数表第7行至第9行的一部分）844217533157245506887704744767217633502563016378591695556719981050717512867358074439523879332112342978645607825242074438．题目12：某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费每满100元可以转动如图所示的圆盘一次，其中O为圆心，且标有20元、10元、0元的三部分区域面积相等．假定指针停在任一位置都是等可能的．当指针停在某区域时，返相应金额的优惠券．（例如：某顾客消费了218元，第一次转动获得了20元，第二次获得了10元，则其共获得了30元优惠券．）顾客甲和乙都到商场进行了消费，并按照规则参与了活动．（I）若顾客甲消费了128元，求他获得优惠券面额大于0元的概率？（II）若顾客乙消费了280元，求他总共获得优惠券金额不低于20元的概率？题目13：已知关于x的一元二次方程x2-2（a-2）x-b2+16=0，若a∈[2，6]，b∈[0，4]，求方程没有实根的概率．题目14：小明家的晚报在下午5：30～6：30之间的任何一个时间随机地被送到，小明一家人在下午6：00～7：00之间的任何一个时间随机地开始晚餐．试计算：事件“晚报在晚餐之前被送到”的概率．题目15：取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？答案部分1、D解析：解：由题意可知边长为1的内接正方体的体积为：∴V1=1，又球的直径是正方体的对角线，故球的半径R=√3育龙单招网，单招也能上大学份高职单招试题，全部免费提供！2球的体积V2=43πR3=√3π2，这是一个几何概型，则此点落在正方体内部的概率为V1V2=1√3π2=2√33π故选D。2、C解析：解：根据判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质：A是要判断x是否不大于0.815；B是要判断循环次。对于A，所以当x≤0.815满足判断框的条件，当x＞0.815不满足判断框的条件；对于B，所以当i≥100满足判断框的条件，当i＜100不满足判断框的条件；则在A、B两框中应填入：x≤0.815，i≥100故选C。育龙单招网，单招也能上大学份高职单招试题，全部免费提供！3、D解析：解：根据已知中O（0，0），A（30，0），B（30，30），C（0，30），E（12，0），F（30，18），P（18，30），Q（0，12），我们易画出满足条件的图形如图所示：正方形OABC的面积S正方形=30×30=900其中六边形OEFBPQ的面积S阴影=900-18×18=576故在正方形OABC内任意取一点，该点在六边形OEFBPQ内的概率P=S阴影S正方形=576900=1625故选D4、C解析：解：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒，则|x-y|≤2，由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比，育龙单招网，单招也能上大学份高职单招试题，全部免费提供！由图可知所求的概率为：16-2×12×2×216=34故选C5、A解析：解：∵扇形ADE的半径为1，圆心角等于90°∴扇形ADE的面积为S1=14×π×12=π4同理可得，扇形CBF的在，面积S2=π4育龙单招网，单招也能上大学份高职单招试题，全部免费提供！又∵长方形ABCD的面积S=2×1=2∴在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是P=S-(S1+S2)S=2-(π4+π4)2=1-π4故答案为：1-π46、见解析解析：解：记“区域A内的点P的坐标为（x，y）P∈B”为事件M不等式组{0≤x≤40≤y≤4的区域，是以4为边长的正方形，面积为4×4=16区域A内的点P的坐标为（x，y），满足不等式组{x≤4y≤4x+y≥4的区域即为图中的Rt△AOB，面积为12×4×4=8代入几何概率的计算公式可得，P（M）=育龙单招网，单招也能上大学份高职单招试题，全部免费提供！12故答案为：127、见解析解析：解：由题意知本题是一个几何概型，∵a∈[0，1]，∴f'（x）=1.5x2+a≥0，∴f（x）是增函数若在[-1，1]有且仅有一个零点，则f（-1）•f（1）≤0∴（-0.5-a-b）（0.5+a-b）≤0，即（0.5+a+b）（0.5+a-b）≥0a看作自变量x，b看作函数y，由线性规划内容知全部事件的面积为1×1=1，满足条件的面积为78∴概率为781=78，故答案为：育龙单招网，单招也能上大学份高职单招试题，全部免费提供！788、见解析解析：解：由题意可得：此事件的概率符合几何概率模型。因为边长为3cm的正方形面积为9cm2，边长为2cm的正方形面积为4cm2，所以由几何概型公式可得：所投的点落入小正方形内的概率P=49。故答案为：49。9、见解析解析：解：∵到点O1的距离等于1的点构成一个半个球面，到点O2的距离等于1的点构成一个半个球面，两个半球构成一个整球，如图，点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为：P=球外的体积圆柱的体积=圆柱的体积-球的体积圆柱的体积=3π-4π3育龙单招网，单招也能上大学份高职单招试题，全部免费提供！π×3=59，故答案为：59。10、见解析解析：解：根据题意可得集合A={（x，y）|x2+y2≤9}所表示的区域即为如图所表示的圆及内部的平面区域，面积为9π，集合B={(x，y)|1≤x≤e0≤y≤x-1表示的平面区域即为图中的阴影部分，其面积为：∫1ex-1dx=lnx|1e=1，根据几何概率的计算公式可得P=19π，故答案为：19π。11、见解析解析：育龙单招网，单招也能上大学份高职单招试题，全部免费提供！解：由于随机数表中第8行的数字为：6301637859169555671998105071751286735807其第11列数字为1，故产生的第一个数字为：169，第二个数字为：555，第三个数字为：671，第四个数字为：998（超出编号范围舍）第五个数字为：105故答案为：169，555，671，10512、见解析解析：解：（I）设“甲获得优惠券”为事件A（1分）因为假定指针停在任一位置都是等可能的，而题中所给的三部分的面积相等，所以指针停在20元，10元，0元区域内的概率都是13。（3分）顾客甲获得优惠券，是指指针停在20元或10元区域，根据互斥事件的概率，有P(A)=13+13=23，（6分）所以，顾客甲获得优惠券面额大于0元的概率是23。（II）设“乙获得优惠券金额不低于20元”为事件B（7分）因为顾客乙转动了转盘两次，设乙第一次转动转盘获得优惠券金额为x元，第二次获得优惠券金额为y元，则基本事件空间可以表示为：Ω={（20，20），（20，10），（20，0），（10，20），（10，10），（10，0），（0，20），（0，10），（0，0）}，（9分）即Ω中含有9个基本事件，每个基本事件发生的概率为19。（10分）而乙获得优惠券金额不低于20元，是指x+y≥20，育龙单招网，单招也能上大学份高职单招试题，全部免费提供！所以事件B中包含的基本事件有6个，（11分）所以乙获得优惠券额不低于20元的概率为P(B)=69=23（13分）答：甲获得优惠券面额大于0元的概率为23，乙获得优惠券金额不低于20元的概率为23。13、见解析解析：解：由题意知本题是一个几何概型，试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4}，其面积为S（Ω）=16满足条件的事件为：B={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4，（a-2）2+b2＜16}其面积为S(B)=14×π×42=4π∴所求的概率P（B）=4π16=π4。14、见解析育龙单招网，单招也能上大学份高职单招试题，全部免费提供！解析：解：显然：事件“晚报在晚餐之前被送到”的概率是属于“几何概型”。设晚报被送到的时间为下午x时，小明家晚餐开始的时间为下午y时，则：{5.5≤x≤6.56≤y≤7，又事件“晚报在晚餐之前被送到”即为：x＜y设事件A表示：“晚报在晚餐之前被送到”，如图。则：P（A）=1-181=78。答：事件“晚报在晚餐之前被送到”的概率为78。15、见解析解析：育龙单招网，单招也能上大学份高职单招试题，全部