2016年北京自主招生数学模拟题：平面向量的实际背景及基本概念

育龙单招网，单招也能上大学份高职单招试题，全部免费提供！2016年北京自主招生数学模拟题:平面向量的实际背景及基本概念【试题内容来自于相关网站和学校提供】题目1：已知平面向量a=(4，1)，b=(x，2)，且a与b平行，则x=（）A.-8B.-12C.8D.12题目2：已知向量a=（2，3），b=（k，1），若a+2b与a育龙单招网，单招也能上大学份高职单招试题，全部免费提供！-b平行，则k的值是（）A.-6B.-23C.23D.14题目3：在△ABC中，O为外心，P是平面内点，且满足OA+OB+OC=OP，则P是△ABC的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心题目4：设a，b不共线，AB=2a+pb，BC=a+b，CD=a-2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值是（）A.-2B.-1C.1D.2题目5：已知向量a=（1，2），育龙单招网，单招也能上大学份高职单招试题，全部免费提供！b=（x，6），且a∥b，则x的值为（）A.1B.2C.3D.4题目6：已知向量a_____．题目7：已知a_____．题目8：(-在△ABC中，A（1，1），B（4，5），C（-1，1），则与角A的平分线共线且方向相同的单位向量为_____√5题目9：若AB_____．题目10：育龙单招网，单招也能上大学份高职单招试题，全部免费提供！已知e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，a1+ke2，b1-e2，若a-12．题目11：如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的向量中，（1）找出与向量EF题目12：已知向量AB题目13：已知向量育龙单招网，单招也能上大学份高职单招试题，全部免费提供！a题目14：如图所示，对于同一高度（足够高）的两个定滑轮，用一条（足够长）绳子跨过它们，并在两端分别挂有4kg和2kg的物体，另在两个滑轮中间的一段绳子悬挂另一物体，为使系统保持平衡状态，此物体的质量应是多少？（忽略滑轮半径、绳子的重量）题目15：已知圆C：x2+（y-1）2=5，直线L：mx-y+1-m=0（1）求证：对m∈R，直线L与圆C总有两个交点；（2）设直线L与圆C交于点A、B，若|AB|=√17，求直线L的倾斜角；（3）设直线L与圆C交于A、B，若定点P（1，1）满足2AP答案部分1、C解析：解：由a与b平行，得4×2-1×x=0，即8-x=0，解得x=8，故选C。育龙单招网，单招也能上大学份高职单招试题，全部免费提供！2、C解析：解：∵a=（2，3），b=（k，1），∴a+2b=（2+2k，5），a-b=（2-k，2），再由a+2b与a-b平行，可得（2+2k）2-（2-k）5=0，解得k=23，故选C。育龙单招网，单招也能上大学份高职单招试题，全部免费提供！3、D解析：解：在△ABC中，O为外心，P是平面内点，且满足OA+OB+OC=OP，∴OA=OB=OC，∴OA+OB=OP-OC=CP，设AB的中点为D，则OD⊥AB，CP=2OD，∴育龙单招网，单招也能上大学份高职单招试题，全部免费提供！CP⊥AB，∴P在AB边的高线上。同理可证，P在BC边的高线上，故P是三角形ABC两高线的交点，故P是三角形ABC的垂心，故选D。4、B解析：解：∵AB=2a+pb，BC=a+b，CD=a-2b，∴BD=BC+CD=2a-b，∵A，B，D三点共线，∴AB=λBD，即2a+p育龙单招网，单招也能上大学份高职单招试题，全部免费提供！b=λ(2a-b)=2λa-λb，∴{2=2λp=-λ，解得{λ=1p=-1，∴实数p的值是-1，故选：B。5、C解析：解：∵a∥b，∴2x-1×6=0，解得x=3。故选C。6、[-6，2]解析：解：∵育龙单招网，单招也能上大学份高职单招试题，全部免费提供！a29+(2+k)2≤5∴-6≤k≤2故答案为：[-6，2]7、1解析：根据两个向量共线的性质可得（-2）•（-1）-（x+1）•1=0，解得x=1，故答案为1。8、(-解析：解：作D点（1，5），则①△ADB为直角三角形∴∠DAB=arctan54，②△CAD为直角三角形∴∠CAD=π2，∵∠CAB=∠CAD+∠DAB∴∠CAB=π2+arctan34∴tan∠CAB=-43，设E在角平分线上，则∠CAE=育龙单招网，单招也能上大学份高职单招试题，全部免费提供！12∠CAB，设tan∠CAE=k，-43=2k1-k2，解之得k=2（另一解不合题意，舍去）即，该角平分线的斜率为tan（π-∠CAE）=-tan∠CAE=-2。该向量与之共线且方向相同，则设其为（-a，2a），（其中a＞0）又其为单位向量，则（-a）2+（2a）2=12[br]解之得a=√5=√55，（负值解不合所设，舍去）则该单位向量为（-√55，√55）。故答案为：（-√55，√55）。9、等腰梯形解析：解：∵AB10、见解析育龙单招网，单招也能上大学份高职单招试题，全部免费提供！解析：解：∵a1+ke2=λ(2e1-e2)，化为(1-2λ)e1+(k+λ)e2=1、e2是同一平面内两个不共线的向量，∴{1-2λ=0k+λ=0，解得{λ=12。故答案为-12。11、见解析解析：解：（1）∵E，F分别为BC，AC的中点，∴EF∥BA，且EF=12BA，又D是BA的中点，∴EF12BC，又E是BC的中点，∴育龙单招网，单招也能上大学份高职单招试题，全部免费提供！DF12、见解析解析：解：∵AB13、见解析解析：解：（1）当k=1时，M=|a√(a-b2=√a2-2a2=√4+9-2×2×3×cos60°=√7（2）M=|a√(a-k育龙单招网，单招也能上大学份高职单招试题，全部免费提供！b2=√(a2-2ka2=4+9k2-6k=√9(k-13)2+3∵-1≤k≤2当k=13时，M=√3最小当k=2时，M=2√7最大∴√3＜M＜2√714、见解析解析：设所求物体质量为mkg时，系统保持平衡，再设F1与竖直方向的夹角为θ1，F2与竖直方向的夹角为θ2，则有（其中g为重力加速度）。由①式和②式消去θ2，得育龙单招网，单招也能上大学份高职单招试题，全部免费提供！m2-8mcosθ1+12=0，即m=4cosθ1±2。③∵cosθ2＞0，由②式知，③式中m=4cosθ1-2不合题意，舍去。又∵4cos2θ1-3≥0，解得≤cosθ1≤1。经检验，当cosθ1=1时，cosθ2=0，不合题意，舍去。∴2＜m＜6。所求物体的质量在2kg到6kg之间变动时，系统可保持平衡。15、见解析解析：解：（1）证明：直线L：mx-y+1-m=0即y-1=m（x-1），故直线过定点P（1，1），而12+（1-0）2=2＜5，故点P在圆C：x2+（y-1）2=5的内部，故直线L与圆C总有两个交点。（2）由于半径r=√5，弦心距d=r2-(AB22=√32，再由点到直线的距离公式可得d=√m2+1，∴√32=√m2+1，解得m=±√3。育龙单招网，单招也能上大学份高职单招试题，全部免费提供！故直线的斜率等于±√3，故直线的倾斜角等于π3或2π3。（3）设点A（x1，mx1-m+1），点B（x2，mx2-m+1），由题意2AP1，-mx1+m）=（x2-1，mx2-m），∴2-2x1=x2-1，即2x1+x2=3。①再把直线方程y-1=m（x-1）代入圆C：x2+（y-1）2=5，化简可得（1+m2）x2-2m2x+m2-5=0，由根与系数的关系可得x1+x2=2m21+m21=3+m21+m2，故点A的坐标为（3+m21+m2，1+2m+m2育龙单招网，单招也能上大学份高职单招试题，全部免费提供！1+m2）。把点A的坐标代入圆C的方程可得m2=1，故m=±1，故直线L的方程为x-y=0，或x+y-2=0。