2016年北京自主招生数学模拟题：空间几何体的结构

育龙单招网，单招也能上大学份高职单招试题，全部免费提供！2016年北京自主招生数学模拟题:空间几何体的结构【试题内容来自于相关网站和学校提供】题目1：正方体ABCD-A1B1C1D1的棱上到异面直线AB，CC1的距离相等的点的个数为（）A.2B.3C.4D.5题目2：棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是_____A.B.C.育龙单招网，单招也能上大学份高职单招试题，全部免费提供！D.题目3：当圆锥的侧面积和底面积的比值是√2时，圆锥轴截面的顶角等于（）A.45°B.60°C.90°D.120°题目4：一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱．这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1，h2，h，则h1：h2：h=（）A.√3：1：1B.√3：2：2C.√3：2：√2D.√3：2：√3题目5：圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为_____A.7B.6C.5D.3题目6：在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于由这4个顶点构成的四面体的以下判断中，所有正确的结论是_____（写出所有正确结论的编号）①能构成每个面都是等边三角形的四面体；育龙单招网，单招也能上大学份高职单招试题，全部免费提供！②能构成每个面都是直角三角形的四面体；③能构成三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形的四面体．题目7：若圆锥的表面积为3π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的直径为_____．题目8：（文）已知圆锥的母线长l=5cm，高h=4cm，则该圆锥的体积是_____cm3．题目9：如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中，假命题是_____．①等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等；②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补；③等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆；④等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上．题目10：已知圆台的上下底面半径分别是2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，则该圆台的母线长为297．题目11：有一个底面半径和高都是R的圆锥形密闭容器，容器中装有一些水．如果底朝下（且水平）时水的高度为1/2R，那么当底面朝上（且水平）时容器中水的高度为多少？题目12：设三棱锥V-ABC的三个侧面与底面所成的二面角都是β，它的高是h，求这个所棱锥底面的内切圆半径．题目13：育龙单招网，单招也能上大学份高职单招试题，全部免费提供！若一个正三棱台的两个底面的边长分别为1cm和7cm，侧棱长为5cm，求它的高和斜高．题目14：一个圆锥形的空杯子，上面放着一个半球形的冰淇淋，形成如图所示的几何体．（1）求该几何体的表面积；（精确到0.1cm2）（2）如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用有关数据说明．（杯壁的厚度忽略不计）题目15：如图，设三棱锥S-ABC的三个侧棱与底面ABC所成的角都是60°，又∠BAC=60°，且SA⊥BC．（1）求证：S-ABC为正三棱锥；（2）已知SA=a，求S-ABC的全面积．答案部分1、C解析：解：如图：正方体ABCD-A1B1C1D1，E、F分别是BC和A1D1的中点，连接AF和FC1，育龙单招网，单招也能上大学份高职单招试题，全部免费提供！根据正方体的性质知，BB1⊥AB，C1C⊥B1C1，故B1到异面直线AB，CC1的距离相等，同理可得，D到异面直线AB，CC1的距离相等，又有AB⊥BC，C1C⊥BC，故E到异面直线AB，CC1的距离相等，F为A1D1的中点，易计算FA=FC1，故F到异面直线AB，CC1的距离相等，共有4个点。故选C。2、C解析：棱长为2的正四面体ABCD的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图为△ABF，则图中AB=2，E为AB中点，则EF⊥DC，在△DCE中，DE=EC=，DC=2，∴EF=，∴三角形ABF的面积是，故选C。3、C解析：解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则πrlπr2=√2，∴l育龙单招网，单招也能上大学份高职单招试题，全部免费提供！r=√2，设轴截面顶角的一半为α，则sinα=rl=√22，∴α=45°，2α=90°。故选C。4、B解析：解：如图，设正三棱锥P-ABE的各棱长为a，则四棱锥P-ABCD的各棱长也为a，DO=√2a2，h1=PO，于是h1=√a2-(√22a)2=√22a，育龙单招网，单招也能上大学份高职单招试题，全部免费提供！h2=√a2-(√32a×23)2=√63a=h，∴h1：h2：h=√3：2：2。故选B。5、A解析：设上底面半径为r，因为圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，所以S侧面积=π（r+3r）l=84π，r=7故选A6、①②③解析：解：如下图所示：在正方体ABCD-A1B1C1D1中若我们取ACB1D1四点，则得到一个每个面都是等边三角形的四面体，故①正确如四面体B1ABD，每个面都是直角三角形的四面体，故②正确育龙单招网，单招也能上大学份高职单招试题，全部免费提供！若我们取ABCB1四点，则得到一个有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，故③正确，故答案为：①②③。7、2解析：解：设圆锥的底面的半径为r，圆锥的母线为l，则由πl=2πr得l=2r，而S=πr2+πr•2r=3πr2=3π故r2=1解得r=1，所以直径为：2。故答案为：2。8、12π解析：解：∵圆锥的高是4cm，母线长是5cm，∴圆锥的底面半径为3cm，∴圆锥的体积=13×π×32×4=12πcm3。故答案为：12π。9、②解析：解：①如图，∵SA=SB=SC=SD，∴∠SAO=∠SBO=∠SCO=∠SDO，即等腰四棱锥腰与底面所成的角相等，正确；②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角相等或互补不一定成立，例如圆锥的轴截面与底面垂直，另一面与底面成锐角；③如图，由SA=SB=SC=SD得OA=OB=OC=OD，即等腰四棱锥的底面四边形存在外接圆，正确；④等腰四棱锥各顶点在同一个球面上，正确。故选②。故答案为：②育龙单招网，单招也能上大学份高职单招试题，全部免费提供！10、见解析解析：解：圆台的侧面积为S=π（r+R）l，其中r、R和l分别是上、下底面圆半径和母线长∵r=2，R=5，∴S上底面=π•22=4π，S下底面=π•52=25π∵圆台的侧面面积等于两底面面积之和，∴S侧=S上底面+S下底面=29π，即π（2+5）l=29π，可得l=297故答案为：29711、见解析解析：解：如图，设圆锥的顶点为S，它在底面上的射影是O，底朝下（且水平）时水面的圆心为Q，底面朝上（且水平）时水面的圆心为A。则VSO=育龙单招网，单招也能上大学份高职单招试题，全部免费提供！13πR2×R=13πR3∴VQO=13πR3-13π（R2）3=724πR3又VSA=13πh2×h=13πh3由VSQ=VOA=724育龙单招网，单招也能上大学份高职单招试题，全部免费提供！πR3∴h=3√72R。那么当底面朝上（且水平）时容器中水的高度为3√72R。12、见解析解析：自三棱锥的顶点V向底面作垂线，垂足为O，再过O分别作AB，BC，CA的垂线，垂足分别是E，F，G连接VE，VF，VG根据三垂线定理知：VE⊥AB，VF⊥BC，VG⊥AC因此∠VEO，∠VFO，∠VGO分别为侧面与底面所成二面角的平面角，由已知条件得∠VEO=∠VFO=∠VGO=β，在△VOE和△VOF中，由于VO⊥平面ABC，所以VO⊥OE，VO⊥OF又因VO=VO，∠VEO=∠VFO，于是△VEO≌△VFO由此得到OE=OF同理可证OE=OG，因此OE=OF=OG又因OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥AC，所以点O是△ABC的内切圆的圆心在直角三角形VEO中，VO=h，∠VEO=β，因此OE=hcotβ。即这个三棱锥底面的内切圆半径为hcotβ。13、见解析解析：解：如图，设正三棱台的上下底的中心分别为O、O1，连接上下底面中心OO1，则AE=√33-√33=2育龙单招网，单招也能上大学份高职单招试题，全部免费提供！√3，AA′=5，所以A′E=OO1=52√32=√13，即它的高为√13；作出一个侧面等腰梯形的高，也是棱台的斜高，则由等腰梯形的性质，可得斜高h'=52-(7-122=4。14、见解析解析：解：（1）根据题意，该几何体的表面的上部分是一个半径为3cm的半球，下部分是底面半径为3cm，高为10cm的圆锥由勾股定理，得圆锥的母线长为l=32+102=√109cm∴S圆锥侧=πrl=3√109πcm2[br]又∵上部分半球的面积为：S半球=12育龙单招网，单招也能上大学份高职单招试题，全部免费提供！×4π×32=18πcm2∴该几何体的表面积为：S表=S半球+S圆锥=3√109π+18π----------4分=(18+3√109)π≈154.9cm2-----------------6分（2）若上部分半球的体积不大于下部分圆锥的体积时，冰淇淋不会溢出杯子，否则就会溢出杯子∵V半球=123=18π，V圆锥=132×10=30π-----------------------------10分∴V半球＜V圆锥，可得冰淇淋不会溢出杯子--------------------------------------------1分。15、见解析解析：（1）证明：正棱锥的定义中，底面是正多边形；顶点在底面上的射影是底面的中心，两个条件缺一不可。作三棱锥S-ABC的高SO，O为垂足，连接AO并延长交BC于D。因为SA⊥BC，所以AD⊥BC。又侧棱与底面所成的角都相等，从而O为△ABC的外心，OD为BC的垂直平分线，所以AB=AC。又∠BAC=60°，故△ABC为正三角形，且O为其中心。所以S-ABC为正三棱锥。（2）解：在Rt△SAO中，由于SA=a，∠SAO=60°，所以SO=√32a，AO=12a。因O为重心，所以AD=育龙单招网，单招也能上大学份高职单招试题，全部免费提供！32AO=34a，BC=2BD=2ADcot60°=√32a，OD=13AD=14a。在Rt△SOD中，SD2=SO2+OD2=（√32a）2+（14a）2=1316，则SD=√1314a。于是，（SS-ABC）全=12•（√32a）2sin60°+3•12•育龙单招网，单招也能上大学份高职单招试题，全部免费提供！√134a•√32a=√3+√39)16a2。