自考《线性代数(经管类)》串讲

《线性代数》（经管类）串讲本次串讲主要根据《线性代数》(经管类)课程考试大纲中各章节的考核要点，对所涉及到的基本概念、基本理论和基本方法作以简明的阐述，使自考生用较短的时间，集中对课程的内容有所掌握，也便于在复习时对各知识点可以自行考核。我们相信，经过自考生“自信”、“坚持”、“刻苦”和“科学的学习方法”，大家在最后的考试中一定能取得好成绩！第一章行列式（一）行列式的定义行列式是指一个由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子，它实质上表示把这些数按一定的规则进行运算，其结果为一个确定的数.1．二阶行列式由4个数)2,1,(jiaij得到下列式子：11122122aaaa称为一个二阶行列式，其运算规则为2112221122211211aaaaaaaa2．三阶行列式由9个数)3,2,1,(jiaij得到下列式子：333231232221131211aaaaaaaaa称为一个三阶行列式，它如何进行运算呢？教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法，我们采用递归法，为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念.3．余子式及代数余子式设有三阶行列式3332312322211312113aaaaaaaaaD对任何一个元素ija，我们划去它所在的第i行及第j列，剩下的元素按原先次序组成一个二阶行列式，称它为元素ija的余子式，记成ijM例如3332232211aaaaM，3332131221aaaaM，2322131231aaaaM再记ijjiijMA)1(，称ijA为元素ija的代数余子式.例如1111MA，2121MA，3131MA那么，三阶行列式3D定义为我们把它称为3D按第一列的展开式，经常简写成3111131113)1(iiiiiiiMaAaD3131212111113332312322211312113AaAaAaaaaaaaaaaD4．n阶行列式一阶行列式11111aaDn阶行列式1121211111212222111211nnnnnnnnnAaAaAaaaaaaaaaaD其中(,1,2,,)ijAijn为元素ija的代数余子式.5．特殊行列式上三角行列式111212221122000nnnnnnaaaaaaaaa下三角行列式1122112212000nnnnnnaaaaaaaaa21对角行列式11221122000000nnnnaaaaaa（二）行列式的性质性质1行列式和它的转置行列式相等，即TDD性质2用数k乘行列式D中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD，也就是说，行列式可以按行和列提出公因数.性质3互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号.推论1如果行列式中有某两行（列）相同，则此行列式的值等于零.推论2如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零.性质4行列式可以按行（列）拆开.性质5把行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元素上去，所得的行列式仍为D.定理1（行列式展开定理）n阶行列式nijaD等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积的和，即),,2,1(2211niAaAaAaDininiiii或),,2,1(2211njAaAaAaDnjnjjjjj前一式称为D按第i行的展开式，后一式称为D按第j列的展开式.本定理说明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它的值.定理2n阶行列式nijaD的任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.即)(02211kiAaAaAakninkiki或)(02211sjAaAaAansnjsjsj（三）行列式的计算行列式的计算主要采用以下两种基本方法：（1）利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值，此时要注意的是，在互换两行或两列时，必须在新的行列式的前面乘上（－1），在按行或按列提取公因子k时，必须在新的行列式前面乘上k.（2）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值，通常是利用性质在某一行或某一列中产生很多个“0”元素，再按这一行或这一列展开：例1计算行列式52072325121314124D解：观察到第二列第四行的元素为0，而且第二列第一行的元素是112a，利用这个元素可以把这一列其它两个非零元素化为0，然后按第二列展开.42141214156231212115062150523210503(2)172502570255312312251100813757375D行行按第二列展开行行7　　列列按第二行展开例2计算行列式abbbbabbbbabbbbaD4解：方法1这个行列式的元素含有文字，在计算它的值时，切忌用文字作字母，因为文字可能取0值.要注意观察其特点，这个行列式的特点是它的每一行元素之和均为ba3（我们把它称为行和相同行列式），我们可以先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因子ba3，再将后三行都减去第一行：3131(3)31311000(3)000000abbbabbbbbbbbabbababbabbabbbababbabbabbbbaabbbabbabbbabababab　　　　　3))(3(baba方法2观察到这个行列式每一行元素中有多个b，我们采用“加边法”来计算，即是构造一个与4D有相同值的五阶行列式：11234541101000010000100001000bbbbbbbbabbbabbbabbabbDbabbabbbabbbababbbbabbbaab行（），，，行这样得到一个“箭形”行列式，如果ba，则原行列式的值为零，故不妨假设ba，即0ba，把后四列的ba1倍加到第一列上，可以把第一列的（－1）化为零.4410000400001()(3)()00000000bbbbbababbababababababab例3三阶范德蒙德行列式))()((1112313122322213213xxxxxxxxxxxxV（四）克拉默法则定理1（克拉默法则）设含有n个方程的n元线性方程组为11112211211222221122,,nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb如果其系数行列式0nijaD，则方程组必有唯一解：njDDxjj,,2,1,其中jD是把D中第j列换成常数项nbbb,,,21后得到的行列式.把这个法则应用于齐次线性方程组，则有定理2设有含n个方程的n元齐次线性方程组1111221211222211220,0,0nnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxax如果其系数行列式0D，则该方程组只有零解：021nxxx换句话说，若齐次线性方程组有非零解，则必有0D，在教材第二章中，将要证明，n个方程的n元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零.例4当取何值时，齐次线性方程组0)1(0)3(2042)1(321321321xxxxxxxxx只有零解？解：方程组的系数行列式124134231212111111013413(1)1121D列列　　按第三行展开3256)3)(2(由于,3,2,00D故当0且2且3时，方程组只有零解.第二章矩阵（一）矩阵的定义1．矩阵的概念由nm个数),,2,1;,,2,1(njmiaij排成的一个m行n列的数表mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211称为一个m行n列矩阵或nm矩阵当nm时，称nnijaA为n阶矩阵或n阶方阵元素全为零的矩阵称为零矩阵，用nmO或O表示2．3个常用的特殊方阵：①n阶对角矩阵是指形如nnaaaA0000002211的矩阵②n阶单位方阵是指形如100010001nE的矩阵③n阶三角矩阵是指形如nnnnnnnnaaaaaaaaaaaa2122211122211211000,000的矩阵3．矩阵与行列式的差异矩阵仅是一个数表，而n阶行列式的最后结果为一个数，因而矩阵与行列式是两个完全不同的概念，只有一阶方阵是一个数，而且行列式记号“*”与矩阵记号“*”也不同，不能用错.（二）矩阵的运算1．矩阵的同型与相等设有矩阵nmijaA)(，kijbB)(，若km，n，则说A与B是同型矩阵.若A与B同型,且对应元素相等，即ijijba，则称矩阵A与B相等，记为BA因而只有当两个矩阵从型号到元素全一样的矩阵，才能说相等.2．矩阵的加、减法设nmijaA)(，nmijbB)(是两个同型矩阵则规定nmijijbaBA)(nmijijbaBA)(注意：只有A与B为同型矩阵，它们才可以相加或相减.由于矩阵的相加体现为元素的相加，因而与普通数的加法运算有相同的运算律.3．数乘运算设nmijaA)(，k为任一个数，则规定nmijkakA)(故数k与矩阵A的乘积就是A中所有元素都乘以k，要注意数k与行列式D的乘积，只是用k乘行列式中某一行或某一列，这两种数乘截然不同.矩阵的数乘运算具有普通数的乘法所具有的运算律.4．乘法运算设kmijaA)(，nkijbB)(，则规定nmijcAB)(其中kjikjijiijbababac2211),,2,1;,,2,1(njmi由此定义可知，只有当左矩阵A的列数与右矩阵B的行数相等时，AB才有意义，而且矩阵AB的行数为A的行数，AB的列数为B的列数，而矩阵AB中的元素是由左矩阵A中某一行元素与右矩阵B中某一列元素对应相乘再相加而得到.故矩阵乘法与普通数的乘法有所不同，一般地：①不满足交换律，即BAAB②在0AB时，不能推出0A或0B，因而也不满足消去律.特别，若矩阵A与B满足BAAB，则称A与B可交换，此时A与B必为同阶方阵.矩阵乘法满足结合律，分配律及与数乘的结合律.5．方阵的乘幂与多项式方阵设A为n阶方阵，则规定mAAAAm个特别EA0又若1110()mmmmfxaxaxaxa，则规定1110()mmmmfAaAaAaAaE称)(Af为A的方阵多项式，它也是一个n阶方阵6．矩阵的转置设A为一个nm矩阵，把A中行与列互换，得到一个mn矩阵，称为A的转置矩阵，记为TA，转置运算满足以下运算律：AAT)(，TTTBABA)(，TTkAkA)(，TTTABAB)(由转置运算给出对称矩阵，反对称矩阵的定义设A为一个n阶方阵，若A满足AAT，则称A为对称矩阵，若A满足AAT，则称A为反对称矩阵.7．方阵的行列式矩阵与行列式是两个完全不同的概念，但对于n阶方阵，有方阵的行列式的概念.设)(ijaA为一个n阶方阵，则由A中元素构成一个n阶行列式nija，称为方阵A的行列式，记为A方阵的行列式具有下列性质：设A，B为n阶方阵，k为数，则①AAT；②AkkAn③BAAB（三）方阵的逆矩阵1．可逆矩阵的概念与性质设A为一个n阶方阵，若存在另一个n阶方阵B，使满足EBAAB，则把B称为A的逆矩阵，且说A为一个可逆矩阵，意指A是一个可以存在逆矩阵的矩阵，把A的逆矩阵B记为1A，从而A与1A首先必可交换，且乘积为单位方阵