同济大学的高等数学讲义(0)

第一单元映射与函数一、本单元的基本要点1.集合的一般概念：集合的表示法；集合的基本运算；常见的几类实数集合；区间、邻域、去心邻域、平面上矩形区域的乘积表示法．2.映射的概念及满射、单射、一一映射、逆映射和复合映射．3.函数的概念；函数的几种特性、反函数和复合函数、反函数存在的一个充分条件．4.函数的四则运算；初等函数；双曲函数．二、本单元的教学要求1.理解函数概念及函数的几种特性：有界性、单调性、奇偶性、周期性．2.理解复合函数的概念，了解反函数的概念．3.掌握基本初等函数的性质及图形，理解初等函数的概念．4.会建立简单实际问题中的函数关系式．三、本单元教学的重点与难点1.重点：函数的几种特性、复合函数、初等函数；2.难点：几类映射的概念；3.课时安排：2~4课时(若讲微积分简介作为本课程的引言，则需4课时)．引言何谓微积分微积分：以变量为研究对象，以极限方法为基本研究对象的教学学科．初等数学向微积分的发展：自然界中有很多量仅靠有限次的基本算术运算是无法计算出来(或确定下来)的，而必须分析一个变化过程的变化趋势才能求出来(或确定下来)．典型问题一曲边图形的面积计算极限概念的起源可追溯到2500年前的古希腊．那时的希腊人为计算由曲线围成的平面图形而引用了极限的思想．而阿基米德是杰出代表．我们以阿基米德曾经计算过的一个问题来说明这种方法．y=x2yx1o如图，曲线y=x2,与x轴、直线x=1围成平面图形，求此曲边三角形的面积．121nnnn−在区间[0,1]中插入n-1个分点小区间的高度为，从而小矩形的面积之和为121,,,,nnnn−2in⎛⎞⎜⎟⎝⎠()()()2222223311211111211211611112,6nnSnnnnnnnnnnnnnn−⎛⎞⎛⎞⎛⎞=+++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎡⎤=++−⎣⎦−−=⎛⎞⎛⎞=−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠y=x2yx1o121nnnn−当n→∞时，从几何上看，矩形将填满(“穷竭”)曲边三角形，从代数上看，，因此认为曲边三角形的面积16nS→1lim.6nnSS→∞==“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：——刘徽我国魏晋时代的数学家刘徽用圆的内接正多边形来逼近圆的方法——割圆术，来计算圆周率π的值．若以Sn表示正圆内正6×n边形的面积，则有12nSSS≤≤≤≤且，当n→∞时，正多边形的面积与圆的面积“充分”接近，即有lim.nnSS→∞=注用极限方法于曲边图形面积的计算(微小量的无穷累计问题)产生了积分学．典型问题二自由落体瞬时速度的计算速度用于刻画运动质点在各时刻运动“快慢”的程度．设质点沿直线OS运动，位移函数s=s(t)．情形Ⅰ匀速直线运动:路程时间=常数匀速运动即，若在时刻t1及t2时，质点的位置分别为s(t1),s(t2),则质点的运动速度为()()2121.ststvCtt−==−情形Ⅱ变速直线运动：在时刻区间[t1,t2]中，质点从s(t1)运动到s(t2)，平均速度为ss(t1)s(t2)()()2121.ststvtt−=−则，在时刻t1的瞬时速度为()()21212121limlim.ttttststvvtt→→−==−例如，对自由落体运动，位移函数为，求时刻t=2时的速度．在[2，t]内的平均速度为()212stgt=()()()22222,2222stsgtgvttt−−===+−−v当t→2时，→．()2222gg+=注用极限方法用于计算瞬时速度等变化率问题产生了数学上的一个重要分支——微分学．微分学与积分学的内在联系17世纪，牛顿，莱布尼茨分别建立了微分与积分之间的联系——微积分基本公式．从而微分学与积分学形成了一个整体——微积分学．它是解决科学技术问题的重要数学工具，也是工科学生最重要的数学基础课；大学生素质培养(思维素质)的重要载体．集合1.集合的概念、记号、表示法集合所谓集合是指具有某种特定性质的事物的全体，组成该集合的事物的全体称为集合的元素．通常用大写的拉丁字母A,B,C,…,表示集合，用小写的拉丁字母a,b,c,…,表示集合中的元素．如果a是集合A中的元素，则记为a∈A,否则记为a∉A．含有有限个元素的集合称为有限集，否则称为无限集．集合的表示法⑴列举法将集合中的元素按一定的次序罗列出来．{}12,,,nAaaa=有限集{}12,,,,nAaaa=无限集⑵性质法用集合中的元素所满足的某种性质来表示．A={x|x具有性质P}例1{}12,4,6,8,10A=有限集{}20,Axxx=为实数无限集常用数集{}0,1,2,3,N={}0,1,2,Z=±±自然数集整数集,,0,,pQpqZqpqq⎧⎫=∈≠⎨⎬⎩⎭互质有理数集R实数集C复数集对数集A，以A*表示由该集合中的正数所构成的集合．{}*1,2,3,N=2.集合的运算设A，B是两个集合，按如下法则定义下列集合：{}ABxxAxB=∈∧∈∩交集{}ABxxAxB=∈∨∈∪并集{}\ABxxAxB=∈∧∉集合的差集合的运算满足如下运算率：交换率：,ABBAABBA==∩∩∪∪结合率：()(),ABCABC=∩∩∩∩()()ABCABC=∪∪∪∪分配率：()()(),ABCACBC=∩∪∪∩∪()()().ABCACBC=∪∩∩∩∩集合的直积设A,B是两个集合，在A中任取元a，在B中任取元b，由a,b构成有序对(x,y)，由所有的这种有序对构成的集合，称为集合A与B的直积，记为A×B．即(){},,.ABxyxAyB×=∈∧∈例2A={1,2,3},B={4,5,6}，则{(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5)(2,6),(3,4),(3,5),(3,6)}.AB×=例3若A是x轴，B是y轴，则A×B为xoy平面．3.区间和邻域设a,b是实数，且ab,(){},;abxaxb=开区间：[]{},;abxaxb=≤≤闭区间：[){},;abxaxb=≤半开半闭区间：{}(,];abxaxb=≤{}(,).xx−∞+∞=−∞+∞无穷区间：区间的数轴表示：abx开区间：abx闭区间：邻域：设a,d是实数，且d0，则定义点a的d邻域，记作U(a,d)为集合：{}(,),Uaxxaδδ=−aδ−aδ+ax如果把邻域的中心去掉，所得到的集合称为点a的空心邻域，记作：{}(,)0.oUaxxaδδ=−设A=[a,b],B=[c,d],则A×B={(x,y)|a≤x≤b,c≤y≤d}，xyoabcdA×B映射1.映射概念定义设X,Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中每个元素x，按此法则f，在Y中有唯一的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作:,fXY→其中y称为元素x(在映射f下)的像，并记作f(x)，即(),yfx=而元素x称为元素y(在映射f)下的一个原像；集合X称为影射f的定义域，记作Df，即Df=X；X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域，记作Rf，或f(X)，即{}()().fRfXfxxX==∈注⑴映射的三要素：定义域X，值域所在的集合Y，对应法则f；⑵对应规则f成为“映射”的要求是：对每个x∈X，像y=f(x)存在而且唯一；⑶Y中的每一个元素y，在X中不一定存在原像．例4设X={1,2,3},Y={2,4,6,8},2XYfxx→⎧=⎨→⎩则f是X到Y的映射．例5X=(-1，1),Y=(-∞，+∞).tan2XYfxxπ→⎧⎪=⎨⎛⎞→⎜⎟⎪⎝⎠⎩则f是X到Y的映射．例6非映射f()af()b非映射f()c映射2.几类重要的映射设f是X到Y的映射，满射：若Y=f(X),即∀x∈X,∃y∈Y,使得y=f(x);单射：若∀x1≠x2∈X,则必有f(x1)≠f(x2)．一一对应：既单又满的映射称为一一对应．例4中的映射是单射，而例5中的映射是一一对应．3.逆映射与复合映射逆映射：设f是X到Y的单射，则对Rf中任一元素y,可以确定X中的唯一元素x，满足f(x)=y，称此对应关系为映射f的逆映射，记为f-1．在例4中，f的逆映射为1.2fRXfyy−→⎧⎪=⎨→⎪⎩这里，Rf={2,4,6}.在例5中，f的逆映射为12arctan.2arctanYXfyyyππ−→⎧⎪==⎨→⎪⎩注映射f存在逆映射的条件是f为单射；而此时逆映射的定义域是原映射的像集Rf，而并不是集合Y．复合映射：设有映射f1:X→Y1,f2:Y2→Z，其中Y1⊂Y2,由此可以确定一个从X到Z的映射f，21,[()]XZfxffx→⎧=⎨→⎩称此映射为由f1、f2构成的复合映射，记为f2Èf1．XY1Y2Zf1f2f例7设g:R→[-1,1],g(x)=sinx,f:[-1,1]→[0,1],，则2()1fuu=−()()()()()2sin1sincos,fgxfgxfxxxxR===−=∈⎡⎤⎣⎦函数1.函数概念定义设数集D⊂R，则称映射f:D→R为定义在D上的函数，记作(),yfxxD=∈其中x为自变量，y为因变量，D称为定义域，记作Df，即D=Df．注在函数的定义中，函数是用记号f来表示，而不是用“函数值f(x)”来表示．构成函数的两个基本要素是函数的定义域Df及对应法则f，因而函数的相等应为定义域的相等和对应法则的相同．xoyy=fDfRf设函数y=f，定义域Df，则集合(){},()fxfxxD∈称为函数f的图象．常见的几类函数xoyCy=C常数函数y=C绝对值函数y=|x|xoyy=|x|符号函数10sgn00,10xyxxx⎧⎪===⎨⎪−⎩xoyy=sgnx取整函数y=[x]：对任意的x∈X,用记号[x]表示不超过x的最大整数，由此得到的函数称为取整函数，记为y=[x]．12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo分段函数所谓分段函数是用多个解析式表示一个函数，其实际含义是在几个区间中有不同的解析式．例8函数21()111,1xxyfxxxx⎧⎪==−≤≤⎨⎪−⎩xoy()yfx=2.函数的几种特性⑴有界性设函数y=f(x)，若存在M0，使得对任意的x∈Df,总有|f(x)|≤M，则称函数y=f在定义域Df上有界．注1函数的有界与函数的定义域相关．例函数()1,2yxx=∈有界函数．例函数()0,yxx=∈+∞无界函数．注2函数y=f(x)有界⇔∃M1,M2,∀x∈Df,有M1≤f(x)≤M2．在上式中，M1称为上界，M2称为下界，由此可知：函数有界⇔函数既有上界，又有下界．对函数()10,1yxx=∈易知函数有下界M1=1，但函数无上界，因而函数无界．由定义，可知如何说明函数在定义域上无界．例9证明函数11()sinfxxx=在点x=0处无界．证：∀M0,令x=1/(2nπ+π/2),其中n是一个比M大的自然数，则()2sin2222fxnnMπππππ⎛⎞=+=+⎜⎟⎝⎠所以f(x)在点x=0处无界．g下图从几何上说明了该函数在x=0处的无界性:当x趋近于0时，曲线在±1/x之间震荡，因而函数无界．0.020.040.060.080.1-150-100-505010015011()sinfxxx=⑵单调性设函数f(x)的定义域为D，区间I⊂D，如果对区间中任意两点x1及x2，当x1x2时，总有12()()fxfx则称函数f(x)在区间I中是单调增加的；如果对区间中任意两点x1及x2，当x1x2时，总有12()()fxfx则称函数f(x)在区间I中是单调减少的．单调增加和单调减少的函数统称为单调函数．单调函数的几何特征xoyf(x1)f(x2)x1x2f(x)单调下降函数xoyf(x1)f(x2)x1x2f(x)单调上升函数需要指出的是，函数的单调性既与函数的解析式有关，又与函数的定义域和讨论的区间有关．例如函数y=x2，x∈(-1,1)，函数在区间(0,1),(-1,0)分别为单调上升函数和单调下降函数，但函数在整个定义域上并非单调．xoyy=x21-1⑶奇偶性设函数f(x)的定义域D关于原点对称，如果对任意的x∈D，都有()()fxfx=−就称f(x)为偶函数；