2017届高考数学大一轮总复习 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.2 平面向量基本定理及坐标表

第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第二节平面向量基本定理及坐标表示基础知识自主学习热点命题深度剖析思想方法感悟提升最新考纲1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件。J基础知识自主学习知识梳理1．平面向量基本定理(1)基底：平面内的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底。(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使_________________。不共线a＝λ1e1＋λ2e22．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，a为坐标平面内的任意向量，以坐标原点O为起点作OP→＝a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得OP→＝xi＋yj，因此a＝xi＋yj，我们把实数对_________叫作向量a的坐标，记作a＝________。(x，y)(x，y)3．平面向量的坐标运算向量的加法、减法设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝___________________，a－b＝________________向量的数乘设a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝______________向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝____________________(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx，λy)(x2－x1，y2－y1)向量平行的坐标表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔__________________定理1：若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标__________定理2：若两个向量相对应的坐标，则它们平行x1y2－x2y1＝0成比例成比例基础自测[判一判](1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底。()解析错误。当两个向量不共线时才可作为一组基底。(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的。()解析错误。同一向量在不同基底下的表示是不同的。(4)设a，b是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2。()解析正确。由平面向量基本定理可知。(2)在△ABC中，向量AB→，BC→的夹角为∠ABC。()解析错误。AB→，BC→的夹角应为∠ABC的补角×××√解析错误。如a＝(0,1)，b＝(0,2)。(6)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变。()解析正确。由向量的坐标表示可知向量不论怎样平移，其坐标均为终点坐标减去起点坐标，故平移后坐标不变。(5)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成x1x2＝y1y2。()×√[练一练]1．已知A(x,1)，B(2，y)，AB→＝(3,4)，则x＋y＝()A．3B．－3C．4D．－4解析∵AB→＝(2－x，y－1)＝(3,4)，∴2－x＝3，y－1＝4，即x＝－1，y＝5。∴x＋y＝4。答案C2．(2016·西宁模拟)若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c＝()A．3a＋bB．3a－bC．－a＋3bD．a＋3b解析设c＝xa＋yb，则(4,2)＝x(1,1)＋y(－1,1)，即4＝x－y，2＝x＋y，解得x＝3，y＝－1。即c＝3a－b。答案B3．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________。解析∵a＋b＝(1，m－1)，c＝(－1,2)，且(a＋b)∥c。∴1×2＝－(m－1)，即2＝－m＋1，∴m＝－1。－14．在▱ABCD中，AC为一条对角线，AB→＝(2,4)，AC→＝(1,3)，则向量BD→的坐标为_____________。解析∵AB→＋BC→＝AC→，∴BC→＝AC→－AB→＝(－1，－1)。∴BD→＝AD→－AB→＝BC→－AB→＝(－3，－5)。(－3，－5)R热点命题深度剖析考点一平面向量基本定理的应用【例1】(1)(2015·课标全国卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，BC→＝3CD→，则()A.AD→＝－13AB→＋43AC→B.AD→＝13AB→－43AC→C.AD→＝43AB→＋13AC→D.AD→＝43AB→－13AC→【解析】如图：∵AD→＝AB→＋BD→，BC→＝3CD→，∴AD→＝AB→＋43BC→＝AB→＋43(AC→－AB→)＝－13AB→＋43AC→。【答案】A(2)在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M、N分别为CD、BC的中点。若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________。45【解析】解法一：由AB→＝λAM→＋μAN→，得AB→＝λ·12(AD→＋AC→)＋μ·12(AC→＋AB→)，则μ2－1AB→＋λ2AD→＋λ2＋μ2AC→＝0，得μ2－1AB→＋λ2AD→＋λ2＋μ2AD→＋12AB→＝0，得14λ＋34μ－1AB→＋λ＋μ2AD→＝0。又因为AB→，AD→不共线，所以由平面向量基本定理得14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得λ＝－45，μ＝85。所以λ＋μ＝45。解法二：(回路法)连接MN并延长交AB的延长线于点T，由已知易得AB＝45AT，∴45AT→＝AB→＝λAM→＋μAN→，即AT→＝54λAM→＋54μAN→，∵T，M，N三点共线。∴54λ＋54μ＝1。∴λ＋μ＝45。【规律方法】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算。(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决。变式训练1(1)在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)解析由平面向量基本定理可知，平面内任意一个向量可用平面内两个不共线向量线性表示，A中e1＝0·e2，B中e1，e2为两个不共线向量，C中e2＝2e1，D中e2＝－e1，故选B。答案B(2)(2015·济南调研)如图，在△ABC中，AN→＝13NC→，P是BN上的一点，若AP→＝mAB→＋211AC→，则实数m的值为________。311解析因为AP→＝AB→＋BP→＝AB→＋kBN→＝AB→＋k(AN→－AB→)＝AB→＋k14AC→－AB→＝(1－k)AB→＋k4AC→，且AP→＝mAB→＋211AC→，所以1－k＝m，k4＝211，解得k＝811，m＝311。考点二平面向量的坐标运算【例2】(1)(2015·课标全国卷Ⅰ)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC→＝(－4，－3)，则向量BC→＝()A．(－7，－4)B．(7,4)C．(－1,4)D．(1,4)【解析】∵AB→＝OB→－OA→＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，AC→＝(－4，－3)，∴BC→＝AC→－AB→＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)。【答案】A(2)已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则2a－b＝()A．(5,7)B．(5,9)C．(3,7)D．(3,9)【解析】因为2a＝(4,8)，b＝(－1,1)，所以2a－b＝(4－(－1)，8－1)＝(5,7)。故选A。(3)由ma＋nb＝(9，－8)，得m(2,1)＋n(1，－2)＝(9，－8)，即(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，所以2m＋n＝9，m－2n＝－8，解得m＝2，n＝5，故m－n＝－3。【答案】A(3)(2015·江苏卷)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________。【解析】由ma＋nb＝(9，－8)，得m(2,1)＋n(1，－2)＝(9，－8)，即(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，所以2m＋n＝9，m－2n＝－8，解得m＝2，n＝5，故m－n＝－3。－3【规律方法】(1)向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算。(2)两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同。此时注意方程(组)思想的应用。解由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)。3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)。变式训练2已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设AB→＝a，BC→＝b，CA→＝c，且CM→＝3c，CN→＝－2b。求：(1)3a＋b－3c；(2)满足a＝mb＋nc的实数m，n；解由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)。∵a＝mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴－6m＋n＝5，－3m＋8n＝－5，解得m＝－1，n＝－1。(3)M，N的坐标及向量MN→的坐标。解由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)。设O为坐标原点，∵CM→＝OM→－OC→＝3c，∴OM→＝3c＋OC→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)。∴M的坐标为(0,20)。又CN→＝ON→－OC→＝－2b，∴ON→＝－2b＋OC→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)。∴N的坐标为(9,2)。故MN→＝(9－0,2－20)＝(9，－18)。以平面向量的共线为载体考查三角函数问题及利用平面向量共线的坐标运算求参数的范围，是高考考查的一个重要考向，常以选择题、填空题的形式出现。考点三平面向量共线的坐标表示角度一：利用两向量共线求参数1．(2015·四川卷)设向量a＝(2,4)与向量b＝(x,6)共线，则实数x＝()A．2B．3C．4D．6解析由a＝(2,4)，b＝(x,6)共线，可得4x＝12，即x＝3。答案B2．设0θπ2，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，若a∥b，则tanθ＝________。解析由a∥b，得sin2θ＝cos2θ，即2sinθcosθ＝cos2θ，因为0θπ2，所以cosθ≠0，整理得2sinθ＝cosθ。所以tanθ＝12。12角度二：利用向量共线求点的坐标3．设向量a，b满足|a|＝25，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为______________。解析∵a与b方向相反，∴可设a＝λb(λ0)。∴a＝λ(2,1)＝(2λ，λ)。由|a|＝5λ2＝25，解得λ＝－2，或λ＝2(舍)，故a＝(－4，－2)。(－4，－2)4．已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________。解析∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥CD，∴DC→＝2AB→。设点D的坐标为(x，y)，则DC→＝(4－x,2－y)，AB→＝(1，－1)，∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)。∴4－x＝2，2－y＝－2，解得x＝2，y＝4，故点D的坐标为(2,4)。(2,4)角度三：解决三点共线问题5．已知向量OA→＝(3，－4)，OB→＝(6，－3)，OC→＝(5－m，－3－m)，若点A、B、C能构成三角形，则实数m满足的条件是________。解析因为OA→＝(3，－4)，OB→＝(6，－3)，OC→＝(5－m，－3－m)，所以AB→＝(3,1)，BC→＝(－m－1，－m)。由于点A、B、C能构成三角形，所以AB→与BC→不共线，而当AB→与BC→共线时，有3