2017届高考数学大一轮总复习 第三章 三角函数、三角恒等变形、解三角形 3.6 正弦定理与余弦定理

第三章三角函数、三角恒等变形、解三角形第六节正弦定理与余弦定理基础知识自主学习热点命题深度剖析思想方法感悟提升最新考纲掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。J基础知识自主学习知识梳理1．正弦定理与余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R是△ABC外接圆的半径)在△ABC中，有a2＝_______________；b2＝_______________；c2＝________________。b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC定理正弦定理余弦定理变形公式①a＝___________；b＝______________，c＝____________；②sinA∶sinB∶sinC＝_________；③sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；④asinA＝bsinB＝csinC＝a＋b＋csinA＋sinB＋sinC。cosA＝_____________；cosB＝______________；cosC＝______________。2RsinA2RsinB2RsinCa∶b∶cb2＋c2－a22bca2＋c2－b22aca2＋b2－c22ab定理正弦定理余弦定理解决的问题①已知两角和任一边，求其他边和角②已知两边和其中一边的对角，求其他边和角①已知三边，求各角②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他角2.三角形中常用的面积公式(1)S＝12ah(h表示边a上的高)；(2)S＝12bcsinA＝_____________＝_____________；(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)。12acsinB12absinC基础自测[判一判](1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比。()解析错误。三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比。(2)在△ABC中，若sinAsinB，则AB。()解析正确。(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素。()解析错误。如已知三角形的三个内角，则无法解三角形。(4)正弦定理对钝角三角形不成立。()解析错误。正弦定理适用于所有三角形。(5)在△ABC中，＝。()解析正确。×××√√(6)在△ABC中，若a2＋b2c2，则△ABC为钝角三角形。()(7)在△ABC中，若a2＋b2c2，则△ABC为锐角三角形。()解析错误。由a2＋b2c2，可知cosC0，即C为锐角，但不能判定该三角形的形状。解析正确。由a2＋b2c2，得a2＋b2－c20，即cosC＝a2＋b2－c22ab0，又因为0Cπ，所以π2Cπ。×√[练一练]1．(2015·广东卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。若a＝2，c＝23，cosA＝32且bc，则b＝()A．3B．22C．2D.3解析由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得4＝b2＋12－2·b·23×32，即b2－6b＋8＝0，解得b＝2或4。又因为bc，所以b＝2。答案C2．(2016·江西省宜春中学与新余一中高三联考)在△ABC中，若a＝18，b＝24，∠A＝45°，则符合条件的三角形的个数为()A．0B．2C．1D．不确定答案B解析解法一：由正弦定理知asinA＝bsinB，因此有sinB＝basinA＝2418sin45°＝223。又ab，所以符合条件的B有2个。故选B。解法二：由题中条件可知，bsinAab，作出图形，如图所示，可知满足条件的三角形有2个。3．(2016·江西省宜春中学与新余一中高三联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝π3，则△ABC的面积是()A．3B.932C.332D．33解析在△ABC中，由已知条件及余弦定理可得c2＝(a－b)2＋6＝a2＋b2－2abcosπ3，整理得ab＝6，再由面积公式S＝12absinC，得S△ABC＝12×6×sinπ3＝323。故选C。答案C4．(2015·福建卷)若△ABC中，AC＝3，A＝45°，C＝75°，则BC＝________。2解析由三角形内角和定理知B＝60°，由正弦定理得：3sin60°＝BCsin45°，得BC＝2。5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c。已知b－c＝14a,2sinB＝3sinC，则cosA的值为________。－14解析由2sinB＝3sinC，结合正弦定理得2b＝3c，又b－c＝14a，所以b＝32c，a＝2c。由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝32c2＋c2－2c22·32c·c＝－14。R热点命题深度剖析考点一利用正、余弦定理解三角形【例1】(1)在△ABC中，a＝23，c＝22，A＝60°，则C＝()A．30°B．45°C．45°或135°D．60°【解析】由正弦定理，得23sin60°＝22sinC，解得：sinC＝22，又ca，所以C60°，所以C＝45°。【答案】B(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°【解析】∵sinC＝23sinB，由正弦定理得c＝23b，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝－3bc＋c22bc＝－3bc＋23bc2bc＝32。又A为三角形的内角，∴A＝30°。【答案】A(3)(2015·重庆卷)在△ABC中，B＝120°，AB＝，A的角平分线AD＝，则AC＝________。【解析】如图所示，在△ABD中，由正弦定理得ADsinB＝ABsin∠ADB，即3sin120°＝2sin∠ADB，所以sin∠ADB＝22，从而∠ADB＝45°，6则∠BAD＝∠DAC＝15°。所以∠ACB＝30°，∠BAC＝30°。所以△BAC是等腰三角形，BC＝AB＝2。由余弦定理得AC＝AB2＋BC2－2·AB·BC·cos120°＝22＋22－2×2×2·－12＝6。【规律方法】解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到。有时需结合图形分析求解，有时需根据三角函数值的有界性、三角形中大边对大角等确定解的个数。变式训练1(2015·安徽卷)在△ABC中，∠A＝3π4，AB＝6，AC＝32，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长。解设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c。由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos∠A＝(32)2＋62－2×32×6×cos3π4＝18＋36－(－36)＝90，所以a＝310。又由正弦定理得sinB＝bsin∠Aa＝3310＝1010，由题设知0Bπ4，所以cosB＝1－sin2B＝1－110＝31010。在△ABD中，由正弦定理得AD＝AB·sinBsinπ－2B＝6sinB2sinBcosB＝3cosB＝10。【例2】在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，试判断△ABC的形状。考点二利用正、余弦定理判断三角形的形状【解】∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]。∴2sinAcosB·b2＝2cosAsinB·a2，即a2cosAsinB＝b2sinAcosB。解法一：由正弦定理知a＝2RsinA，b＝2RsinB，∴sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB，又sinA·sinB≠0，∴sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B。在△ABC中，02A2π，02B2π，∴2A＝2B或2A＝π－2B。∴A＝B或A＋B＝π2。∴△ABC为等腰三角形或直角三角形。解法二：由正弦定理、余弦定理得：a2bb2＋c2－a22bc＝b2aa2＋c2－b22ac，∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)。∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0。∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0。即a＝b或a2＋b2＝c2。∴△ABC为等腰三角形或直角三角形。【规律方法】判定三角形形状的两种常用途径(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断。(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断。变式训练2(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析∵bcosC＋ccosB＝asinA，由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sinA＝sin2A。又sinA0，∴sinA＝1。又∵A∈(0，π)，∴A＝π2，故△ABC为直角三角形。答案B(2)在△ABC中，已知a、b、c分别是角A、B、C的对边，若ab＝cosBcosA，试确定△ABC的形状。解解法一：由ab＝cosBcosA，得acosA＝bcosB，∴a·b2＋c2－a22bc＝b·a2＋c2－b22ac。∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)。∴c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)。∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0。∴a＝b或a2＋b2＝c2。∴△ABC是等腰三角形或直角三角形。解法二：由ab＝cosBcosA，得sinAsinB＝cosBcosA，∴sinAcosA＝cosBsinB，∴sin2A＝sin2B。∵A、B为△ABC的内角，∴2A＝2B或2A＝π－2B。∴A＝B或A＋B＝π2。∴△ABC为等腰三角形或直角三角形。正、余弦定理与三角形面积的综合问题是每年高考的重点内容，既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中档题。角度一：求三角形的面积考点三与三角形面积有关的问题1．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的面积等于________。解析设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，由题意及余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝c2＋16－122×4×c＝12，解得c＝2。所以S＝12bcsinA＝12×4×2×sin60°＝23。232．(2015·陕西卷)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(a，3b)与n＝(cosA，sinB)平行。(1)求A；解因为m∥n，所以asinB－3bcosA＝0。由正弦定理，得sinAsinB－3sinBcosA＝0。又sinB≠0，从而tanA＝3。由于0Aπ，所以A＝π3。(2)若a＝7，b＝2，求△ABC的面积。解解法一：由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，而a＝7，b＝2，A＝π3，得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0。因为c0，所以c＝3。故△ABC的面积为12bcsinA＝332。解法二：由正弦定理，得7sinπ3＝2sinB，从而sinB＝217。又由ab，知AB，所以cosB＝277。故sinC＝sin(A＋B)＝sinB＋π3＝sinBcosπ3＋cosBsinπ3＝32114。所以△ABC的面积为12absinC＝332。角度二：已知三角形的面积解三角形3．(2015·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c。已知△ABC的面积为315，b－c＝2，cosA＝－14，则a的值为________。解析∵S△ABC＝12bcsinA＝12bc1－cos2A＝12bc×154＝315，∴bc＝24。又b－c＝2，∴a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b－c)2＋2bc－2bc×－