【志鸿优化设计】2015届高考数学(人教版,理科)一轮总复习精品课件：12.3 合情推理与演绎推理

12.3合情推理与演绎推理第十二章12.3合情推理与演绎推理-2-1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.第十二章12.3合情推理与演绎推理-3-1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理.合情推理的过程:从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想(1)归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.(2)类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比),简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.第十二章12.3合情推理与演绎推理-4-2.演绎推理:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理.(1)三段论是演绎推理的一般模式,包括:①大前提——已知的一般原理;②小前提——所研究的特殊情况;③结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断.(2)“三段论”可以表示为①大前提:M是P.②小前提:S是M.③结论:S是P.用集合说明:即若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.第十二章12.3合情推理与演绎推理-5-想一想合情推理与演绎推理有什么联系与差异?答案:总体来说,从推理形式和推理所得结论的正确性上讲,二者有差异;从二者在认识事物的过程中所发挥的角度考虑,它们又是紧密联系、相辅相成的.合情推理得到的结论需要演绎推理的验证,而演绎推理的思路一般是通过合情推理获得的.第十二章12.3合情推理与演绎推理-6-基础自测1.数列2,5,11,20,32,x,…中的x等于()A.28B.32C.33D.47答案解析解析关闭由5-2=3,11-5=6,20-11=9,32-20=12,则x-32=15,∴x=47.答案解析关闭D第十二章12.3合情推理与演绎推理-7-答案解析解析关闭由已知的三个求导式可归纳推理得到偶函数的导函数是奇函数,又f(x)是偶函数,所以g(x)是奇函数,故g(-x)=-g(x).答案解析关闭D2.观察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cosx)'=-sinx,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)=()A.f(x)B.-f(x)C.g(x)D.-g(x)第十二章12.3合情推理与演绎推理-8-答案解析解析关闭只有③正确.答案解析关闭B3.给出下列三个类比结论.①(ab)n=anbn与(a+b)n类比,则有(a+b)n=an+bn;②loga(xy)=logax+logay与sin(α+β)类比,则有sin(α+β)=sinαsinβ;③(a+b)2=a2+2ab+b2与(a+b)2类比,则有(a+b)2=a2+2a·b+b2.其中结论正确的个数是()A.0B.1C.2D.3第十二章12.3合情推理与演绎推理-9-答案答案关闭1∶84.在平面上,若两个正三角形的边长比为1∶2,则它们的面积比为1∶4.类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为1∶2,则它们的体积比为.第十二章12.3合情推理与演绎推理-10-考点一归纳推理【例1】(2013湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,…,第n个三角形数为𝑛(𝑛+1)2=12n2+12n.记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:三角形数N(n,3)=12n2+12n,正方形数N(n,4)=n2,五边形数N(n,5)=32n2-12n,六边形数N(n,6)=2n2-n,…………可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)=.答案解析解析关闭由题中数据可猜想:含n2项的系数为首项是12,公差是12的等差数列,含n项的系数为首项是12,公差是-12的等差数列,因此N(n,k)=12+(k-3)12n2+12+(k-3)-12n=𝑘-22n2+4-𝑘2n.故N(10,24)=11n2-10n=11×102-10×10=1000.答案解析关闭1000考点一考点二考点三第十二章12.3合情推理与演绎推理-11-方法提炼1.归纳是依据特殊现象推断出一般现象,因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围.2.归纳的前提是特殊的情况,所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的.特别提醒:归纳推理所得结论未必正确,有待进一步证明,但对数学结论和科学的发现很有用.考点一考点二考点三第十二章12.3合情推理与演绎推理-12-考点一考点二考点三举一反三1平面内有n条直线,最多可将平面分成f(n)个区域,则f(n)的表达式为()A.n+1B.2nC.𝑛2+n+22D.n2+n+1答案解析解析关闭1条直线将平面分成1+1个区域;2条直线最多可将平面分成1+(1+2)=4个区域;3条直线最多可将平面分成1+(1+2+3)=7个区域……n条直线最多可将平面分成1+(1+2+3+…+n)=1+𝑛(𝑛+1)2=𝑛2+n+22个区域,选C.答案解析关闭C第十二章12.3合情推理与演绎推理-13-考点二类比推理【例2】给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集,R为实数集,C为复数集):①“若a,b∈R,则a-b=0⇒a=b”类比推出“若a,b∈C,则a-b=0⇒a=b”;②“若a,b,c,d∈R,则复数a+bi=c+di⇒a=c,b=d”类比推出“若a,b,c,d∈Q,则a+b2=c+d2⇒a=c,b=d”;③若“a,b∈R,则a-b0⇒ab”类比推出“若a,b∈C,则a-b0⇒ab”.其中类比结论正确的个数是()A.0B.1C.2D.3答案解析解析关闭①②正确,③错误.因为两个复数如果不全是实数,不能比较大小.答案解析关闭C考点一考点二考点三第十二章12.3合情推理与演绎推理-14-方法提炼1.类比推理是由特殊到特殊的推理,其命题有其特点和求解规律,可以从以下几个方面考虑类比:类比定义、类比性质、类比方法、类比结构.2.类比推理的一般步骤:(1)找出两类事物之间的相似性或一致性.(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想).考点一考点二考点三第十二章12.3合情推理与演绎推理-15-考点一考点二考点三举一反三2在Rt△ABC中,∠BAC=90°,作AD⊥BC,D为垂足,BD为AB在BC上的射影,CD为AC在BC上的射影,则有AB2+AC2=BC2,AC2=CD·BC成立.直角四面体P-ABC(即PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA)中,O为P在△ABC内的射影,△PAB,△PBC,△PCA的面积分别记为S1,S2,S3,△OAB,△OBC,△OCA的面积分别记为S'1,S'2,S'3,△ABC的面积记为S.类比直角三角形中的射影结论,在直角四面体P-ABC中可得到正确结论(写出一个正确结论即可).答案解析解析关闭空间问题与平面问题的类比,通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比:多面体↔多边形,面↔边,体积↔面积,二面角↔平面角,面积↔线段长……由此,可类比得𝑆12=S'1S(或S2=𝑆12+𝑆22+𝑆32).答案解析关闭𝑆12=S'1S(或S2=𝑆12+𝑆22+𝑆32)第十二章12.3合情推理与演绎推理-16-答案答案关闭B考点三演绎推理【例3】已知△ABC中,∠A=30°,∠B=60°,求证:ab.证明:∵∠A=30°,∠B=60°,∴∠A∠B.∴ab.其中,画线部分是演绎推理的()A.大前提B.小前提C.结论D.三段论考点一考点二考点三第十二章12.3合情推理与演绎推理-17-方法提炼演绎推理是从一般到特殊的推理;其一般形式是三段论,应用三段论解决问题时,应当首先明确什么是大前提和小前提,如果大前提是显然的,则可以省略.考点一考点二考点三第十二章12.3合情推理与演绎推理-18-考点一考点二考点三举一反三3“因为指数函数y=ax是增函数(大前提),而y=13𝑥是指数函数(小前提),所以y=13𝑥是增函数(结论)”,上面推理的错误．．是()A.大前提错导致结论错B.小前提错导致结论错C.推理形式错导致结论错D.大前提和小前提错都导致结论错答案答案关闭A第十二章12.3合情推理与演绎推理-19-12341.观察下列各式:72=49,73=343,74=2401,…,则72011的末两位数字为()A.01B.43C.07D.49答案解析解析关闭(法一)由题意得,72011=7502×4+3=(74)502·73,由于74=2401末位为1,倒数第二位为0,因此2401502的末两位定为01.又73=343,∴(74)502·73的末两位定为43.(法二)用归纳法:∵72=49,73=343,74=2401,75=16807,76=117649,77=823543,…,由上知末两位有周期性且T=4.又72011=7502×4+3,∴72011的末两位与73的末两位一样为43.答案解析关闭B第十二章12.3合情推理与演绎推理-20-12342.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1,3,6,10,…记为数列{an},将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}.可以推测:(1)b2012是数列{an}中的第项;(2)b2k-1=.(用k表示)答案解析解析关闭(1)由题意可得,a1=1,a2=3,a3=6,a4=10,…,a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,…,an-an-1=n.以上各式相加得,an-a1=2+3+…+n=(𝑛-1)(𝑛+2)2,故an=𝑛(𝑛+1)2.因此,b1=a4=10,b2=a5=15,b3=a9=45,b4=a10=55,…由此归纳出b2012=a5030.(2)b1=a4=4×52,b3=a9=9×102,b5=a14=14×152,….归纳出b2k-1=5𝑘(5𝑘-1)2.答案解析关闭(1)5030(2)5𝑘(5𝑘-1)2第十二章12.3合情推理与演绎推理-21-12343.在平面直角坐标系中,若点P(x,y)的坐标x,y均为整数,则称点P为格点.若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S,其内部的格点数记为N,边界上的格点数记为L.例如图中△ABC是格点三角形,对应的S=1,N=0,L=4.(1)图中格点四边形DEFG对应的S,N,L分别是;(2)已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c,其中a,b,c为常数.若某格点多边形对应的N=71,L=18,则S=(用数值作答).答案答案关闭(1)3,1,6(2)79第十二章12.3合情推理与演绎推理-22-12344.在Rt△ABC中,若∠C=90°,则cos2A+cos2B=1.试在立体几何中,给出四面体性质的猜想.答案答案关闭如图(1),在Rt△ABC中,cos2A+cos2B=𝑏𝑐2+𝑎𝑐2=𝑎2+𝑏2𝑐2=1.于是把结论类比到如图(2)所示的四面体P-A'B'C'中,我们猜想,三棱锥P-A'B'C'中,若三个侧面PA'B',PB'C',PC'A'两两互相垂直且分别与底面所成的角为α,β,γ,则cos2α+cos2β+cos2γ=1.