MUSIC方法-清华大学《现代信号处理》讲义--张贤达

现代信号处理讲义清华大学自动化系张贤达3.5MUSIC方法1.阵列信号处理问题2.最优波束形成器3.子空间方法5.改进的MUSIC方法4.MUSIC方法3.5MUSIC方法MUSIC:MultipleSignalClassification1.阵列信号处理问题(arraysignalprocessing)阵列：多个天线的组合每个天线——阵元：天线、传感器假设：⑴窄带信号：点信源()isn⑵远场(farfield)：波前——平面波波达方向(DOA:directionofarrival)：入射线与法线之间的夹角，可以有正有负i——波长2siniid2d(半波长条件)：若不满足该条件，会出现DOA估计的模糊信号的方向向量，(阵列响应)向量：(1)()1,,,iiTjjmieea()isn12121(1)(1)(1)()(),,()111pppjjjjmjmjmeeeeeeAaa方向矩阵Vandermonde矩阵满列秩12p()isn()ijisne(1)()ijmisnep个信号信号模型1()()()(),1,,pkkiikixnasnenkm1()(),,()Tmnxnxnx阵元k上的观测数据1()(),,()Tmnenene1()(),,()Tpnsnsns1()()(),,()pmpAaa阵列信号处理的数学模型：()()()()nnnxAse阵列信号处理的问题：已知数据向量，求空间参数(1),,()Nxx1,,p波达方向N个快拍2.最优波束形成器*1()()miiiznwxnDOA估计：波束形成器1,,mww设计一个滤波器抽头(权系数)，加权求和输出信号只包含——期望信号拒绝其他信号——干扰信号()zn()dxn211()NnznN最小输出能量(MOE:minimumoutputenergy)准则：*1()(),()()mHiiiznnnwxnwxwxmin22111111()()()()NNNHHHnnnznnnnNNNwxwxxw则211ˆmin()minNHxxnznNwRw其中11ˆ()()NHxxnnnNRxx期望信号211limmin()minNHxxNnznNwRw(波束形成条件)()1()0,HkHiikwawa1,()()()()()()()()()PkkiiiiknnnsnsnnxAseaae干扰信号加性噪声2212222221,1()lim()()()()()()()NHHNnpHHkkiiiikEznznEnnNEsnEsnwxxwwawaw(干扰拒绝条件，零点形成条件)则2222()()kEznEsnw在约束条件下，使min()1Hkwa2()EznLargange乘子法：2()()1()HkJEznwwa其中2()HxxEznwRw*()Jw0w1()optxxkwRa又，代入上式()1()HHoptkkoptwaaw11()()HkxxkaRa由Capon提出，称为最小方差无畸变(MVDR)波束形成器最佳滤波器11()()()xxkoptHkxxkRawaRaMVDR:minimumvariancedistortionlessresponse空间谱：11()()()kHkxxkPaRa最大幅值对应的即为所求。k关键：求()kka假设1：对于不同的值，向量线性独立()()HEnnPss3.子空间方法i()ia假设2：各阵元上复加性噪声具有零均值、相同方差，且不相关()0Ene2()()HEnneeI假设3：满秩矩阵（非奇异）222{()()}()()(){()()}0,{()}{()}{()}2{()()}0(TiiiijiiiiiEnnenxnjynEenenijEenExnEynjExnyneeO令复白噪声分量，则实部和虚部不相关,具有相同方差）HxxURUΣ2()()()()()()()()()()()()()()HxxHHHHHEnnEnnnnEnnEnnRxxAseAseAssAeeAPAI特征值分解：mppppm2HHUAPAUIΣ2112200ppI222,1,,,1,,iiiipipm的特征值：111span,,close,,,pppjjjjCaaaaaxxR若，区分大和小的特征值22ii11[,,|,,]ppmSGUSGuuuu信号噪声子空间：向量组的线性组合的集合，称为张成的空间。1,,paa1,,paa信号子空间：11span,,span,,ppssuu噪声子空间：11span,,span,,ppmgguu观测空间：1span(1),,()span,,mNxxuu观测空间=信号子空间+噪声子空间特征值分解后，与大特征值对应与小特征值对应子空间的几何意义：,USG,HpSSI,HHHHHHHSSSSGUUSGIGSGGG,HmpGGIHGS0HSG0投影矩阵11,(,(HHHHHHSGPSSSSSSSSPGGGGGGGG称为信号子空间)称为噪声子空间)几何意义：信号子空间和噪声子空间正交,HHHHHSUUSGSSGGIG1,HHHSGGISSISSSSP噪声子空间是信号子空间的正交补，正交投影矩阵SSPIP即4.MUSIC方法HxxRUΣUUSG12122,,HHxxHΣSRGUΣUGSGGIGΣ0SGGII2xxRGG2HxxRAPAI22HxxRGAPAGGGHAPAG0HHGAPAG0(0iff)HHAGOtRtt0()(HTiaG0行向量)()()0()HHiiaGGa标量11()()()HxxdoptHdxxdRawaRa波束形成器：MUSIC空间谱：11()()()()()HHHHPaGGaaISSa取峰值的个就给出()Pp1,,p(需一维搜索)噪声子空间方法信号子空间方法改进方法1：2221ˆpHikkiiUssˆ()()()()()HHHPaUaaGGa5.改进的MUSIC方法改进方法1:(求根MUSIC方法)()HaG0基本思想：Pisarenko谐波分解(不需一维搜索)或()HGa0(1)()1,,,Tjjmeea1()1,,,Tmzzzpjze()HGa0()(HzGp0列向量形式)标量形式：1()1,,,Tmzzzp()()0HHzzpGGp**(1)()1,,,Hmzzzpjze*1jzez1(1)1()1,,,()HmTzzzzpp1()()0HHzzzzpGGp故是和的多项式，不方便求根1mz两边同乘后，()()HHzzpGGp011()()mTHzzzpGGp0其根DOAijiize给出估计求根MUSIC方法11111.1(1),(2),,()1()()2.EVD[,,]3.()()0arg()1,,iNTxxixxpmjmTHimmmNiiNzzzzepzmpkdxxxRxxRGuupGGp由观测数据向量估计样本相关函数矩阵由的，得到求多项式的根，具有最大幅值的个根给出DOA估计，即1=arccos,结论：⑴基本MUSIC方法和求根MUSIC具有相同的统计特性(大样本)⑵在小样本情况下，求根MUSIC的估计精度明显优于基本MUSIC方法习题题3.13(Prony方法),题3.15(最优波束形成器)MUSIC和求根MUSIC习题:1111003025002222R=0300100300102031100111002222MUSIC.T已知一含噪声的观测数据序列的自相关矩阵的特征值分解为试用方法和求根MUSIC方法确定空间参数计算机仿真实验：题3.19