36.第三十六讲：离散型随机变量的分布列、期望与方差

第三十六讲离散型随机变量的分布列、期望与方差“离散型随机变量的分步列，均值和方差”是数学中“排列与组合”知识的延伸，在本讲的学习中，同学们将通过具体实例理解随机变量及其分布列、均值和方差的的概念，认识随机变量及其分布对于刻画随机现象的重要性.引言要求同学们会用随机变量表达简单的随机事件，会用分布列来计算这类事件的概率，计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.在高考中，这部分知识通常有一道解答题，占12~14分左右，主要考查学生的逻辑推理能力和运算能力，凸显数学的应用价值.考点梳理知识结构x1,x2,…,xi,…,则表可能取的值为设离散型随机变量,,x的概率取每一个值)()2,,1(iiipxPix===xx…称为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列.1.离散型随机变量的分布：ξx1x2…xi…xnPp1p2……pnnxip2.随机变量的期望与方差：（1）为随机变量的均值或数学期望.（2）DX=(x1-EX)2p1+(x2-EX)2p2+…+(xn-EX)2pn为随机变量X的方差.nnpxpxpxEX=2211典型例题选讲例1某公司有5万元资金用于投资开发项目.如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将失去全部资金的50%.下边是过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功：192次投资失败：8次则该公司一年后估计可获收益的期望是（万元）.分析：获得收益ξ的概率分布为：ξP53252001922008所以476.020082520019253==xE（万元）归纳小结：收益ξ的取值及相应概率的确定是解决问题的基础.本题考查求数学期望的方法，按照确定随机变量的取值——求出相应的概率——再求数学期望的步骤来求.例2（2009年，安徽卷）某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区.B肯定是受A感染的.对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是.同样也假定D受A、B和C感染的概率都是.在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量.写出X的分布列(不要求写出计算过程),并求X的均值（即数学期望）.2131方法一：X的所有可能取值为1，2，3313221)1(===XP2121313221)2(===XP613121)3(===XP16方法二：共有6种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是.在情形①和②之下，A直接感染了一个人；在情形③、④、⑤之下，A直接感染了两个人；在情形⑥之下，A直接感染了三个人.①②③A—B—C—DA—B—C└DA—B—C└D④⑤⑥A—B—D└CA—C—D└BA—B└C└D如下表：312161解：随机变量X的分布列是X123PX的均值为:611613212311==EX归纳小结：本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识,体现数学的应用价值.例3某运动员射击一次所得环数X的分布如下：现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为ξ.(I)求该运动员两次都命中7环的概率(II)求ξ的分布列.X78910P0.20.30.30.2解：(Ⅰ)求该运动员两次都命中7环的概率为04.02.02.0)7(==P04.0)7(==xP21.03.03.02.02)8(2===xP39.03.03.03.023.02.02)9(2===xP36.02.02.03.022.03.022.02.02)10(2===xP(Ⅱ)ξ的可能取值为7、8、9、10ξ的分布列为ξ78910P0.040.210.390.36(Ⅲ)ξ的数学期望为07.936.01039.0921.0804.07==xE归纳小结：在求最高环数为8环时，有一种可能是7环、8环，学生容易认为其概率值为0.2×0.3，没有考虑到两次射击依次为7环、8环和8环、7环，其概率值应为2×0.2×0.3.本题考察学生对于离散型随机变量的概率及期望的求法的掌握，另一方面也考察学生分类讨论的数学思想和运算求解的能力.例4(2009年，山东卷)在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次;在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为ξ02345P0.03P1P2P3P4(1)求的值；(2)求随机变量ξ的数学期望Eξ;(3)试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小.解:（1）设该同学在A处投中为事件A,在B处投中为事件B,则事件A,B相互独立,且P(A)=0.25,P(B)=q2,21)(,75.0)(qBPAP==2q根据分布列知:ξ=0时，03.0)1(75.0)()()()(22===qBPBPAPBBAP所以1-q2=0.2，q2=0.8.（2）24.0)1(75.02)()()()()()()()2(22=====qqBPBPAPBPBPAPBBABBAPPx01.0)1(25.0)()()()()3(22=====qBPBPAPBBAPPx48.075.0)()()()()4(22=====qBPBPAPBBAPPx24.025.0)1(25.0)()()()()()()5(222=====qqqBPAPBPBPAPABBBAPPx所以随机变量ξ的分布列为ξ02345P0.030.240.010.480.24随机变量ξ的数学期望Eξ=0×0.03+2×0.24+3×0.01+4×0.48+5×0.24=3.63(3)该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为896.0)1(2)()()()(22222===qqqBBPBBBPBBBPBBBBBBBBP该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大.归纳小结：本题主要考查了互斥事件的概率,相互独立事件的概率和数学期望,以及运用概率知识解决问题的能力.例5某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，椐统计，随机变量ξ的概率分布如下：(Ⅰ)求a的值和ξ的数学期望；(Ⅱ）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率.ξ0123p0.10.32aa解:(Ⅰ)由概率分布的性质知,0.1+0.3+2a+a=1，∴a=0.2则ξ的分布列为ξ0123p0.10.30.40.2Eξ=0×0.1+1×0.3+2×0.4+3×0.2=1.7（Ⅱ）设事件A表示“2个月内共被投诉2次”事件A1表示“2个月内有一个月被投诉2次,另一个月被投诉0次”,事件A2表示“2个月内每个月均被投诉1次”,则由事件的独立性可得:08.01.04.02)0()2()(121=====xxPPCAP09.03.0)]1([)(222====xPAP17.009.008.0)()()(21===APAPAP故该企业在这两个月共被投诉2次的概率为0.17.归纳小结：本题考查概率分布的性质，互斥事件的概率加法公式，相互独立事件的概率乘法公式，对学生的逻辑推理能力和运算能力有要求。例6（2008年，广东卷）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为ξ．（1）求ξ的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即ξ的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1％，一等品率提高为70％．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？126(6)0.63200Px===50(2)0.25200Px===20(1)0.1200Px===4(2)0.02200Px===解：（1）ξ的所有可能取值有6，2，1，-2；故ξ的分布列为：ξ621-2P0.630.250.10.02（2）60.6320.2510.1(2)0.024.34Ex==（3）设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为依题意，E(x)≥4.73，即4.76-x≥4.73，解得x≤0.03所以三等品率最多为3％.E(x)=6×0.7+2×(1-0.7-0.01-x)+x+(-2)×0.01=4.76–x(0≤x≤0.29)例7（2008年，湖北卷）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1,2,3,4）.现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号.（Ⅰ）求ξ的分布列，期望和方差；（Ⅱ）若η=aξ-b,Eη=1,Dη=11,试求a,b的值.解:（Ⅰ）ξ的分布列为：ξ01234P1212011032015（Ⅱ）由，得a2×2.75＝11，11131012341.5.22010205Ex==2222211(01.5)(11.5)(21.5)220131(31.5)(41.5)2.75.10205x==DaD=x2∴2.a=,EaEb=x即又因为D2,2ab==2,4ab==∴或即为所求.当a=2时，由1＝2×1.5+b,得b=-2;当a=-2时，由1＝-2×1.5+b，得b=4.专题总结本讲知识趣味性和应用性较强，而且在高考中还占据举足轻重的地位，因此，同学们应引起足够的重视，立志学好它，在复习过程中，不用做很多“偏题、难题”，抓住课本中要求的知识点，重视基础知识和基本技能，不断提高自己的逻辑推理能力和运算能力，一定能取得好成绩！