量子力学周世勋第二版课后习题解答第4章

4.1.求在动量表象中角动量xL的矩阵元和2xL的矩阵元。解：depzpyeLrpiyzrpippx)ˆˆ()21()(3dezpyperpiyzrpi)()21(3deppppierpizyyzrpi))(()21(3deppppirppizyyz）（3)21)()(()()(ppppppiyzzydLxLpxpppx2*2)()(depzpyerpiyzrpi23)ˆˆ()21(depzpypzpyerpiyzyzrpi)ˆˆ)(ˆˆ()21(3deppppipzpyerpiyzzyyzrpi))()(ˆˆ()21(3depzpyeppppirpiyzrpiyzzy)ˆˆ()21)()((3depppprppiyzzy）（322)21()()()(22ppppppyzzy4.2求能量表象中，一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元。解：基矢：xanaxunsin2)(能量：22222anEn对角元：2sin202axdxamxaxammcnunununnuduusincos1cos2当时，nmamndxanxxamax0)(sin)(sin21)1()(4)(1)(11)1(])(sin)()(cos)([])(sin)()(cos)([1)(cos)(cos12222222022202220nmnmaaanmmnanmnmaxanmnmaxxanmnmaxanmnmaxxanmnmaadxxanmxanmxaanmmninmnmaanixanmnmaxanmnmaanidxxanmxanmanixdxanxamanixdxandxdxamaidxxupxupnmnmaaaanmmn)(21)1(]1)1()(1)(1)(cos)()(cos)()(sin)(sincossin2sinsin2)(ˆ)(2220202020*Cnmunmnmunmnudumu)(2)cos()(2)cos(cossin4.3求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。解：定态薛定谔方程为),(),(2),(2122222tpECtpCptpCdpd即0),()2(),(2122222tpCpEtpCdpd两边乘以2，得0),()2(),(11222tpCpEtpCdpd令1,1ppE20),()(),(222tpCtpCdd跟课本P.39(2.7-4)式比较可知，线性谐振子的能量本征值和本征函数为tEinpnnnepHeNtpCnE)(),()(222121式中nN为归一化因子，即2/12/1)!2(nNnn4.4.求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。解：2222222221221ˆ21ˆxxxpHdxxHxHpppp)(ˆ)(*dxexxexpipxi)212(2122222dxexdxepixppixppi)(22)(22212121)(2dxepipppxppi)(22222)(2121)(2dxepipppxppi)(222221)(21)(2)(21)(222222pppppp4.5设已知在ZLLˆˆ2和的共同表象中，算符yxLLˆˆ和的矩阵分别为0101010102xL0000022iiiiLy求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵yxLL和对角化。解：xL的久期方程为00202202233210，，∴xLˆ的本征值为，，0xLˆ的本征方程3213210101010102aaaaaa其中321aaa设为xLˆ的本征函数ZLLˆˆ2和共同表象中的矩阵当01时，有0000101010102321aaa000022132312aaaaaaa，∴1100aa由归一化条件2111*1*10020),0,(1aaaaa取211a210210对应于xLˆ的本征值0。当2时，有3213210101010102aaaaaa13321232123122221)(2121aaaaaaaaaaaaa∴1112aaa由归一化条件21111*1*1*142),2,(1aaaaaaa取211a∴归一化的212121对应于xLˆ的本征值当2时，有3213210101010102aaaaaa13321232123112221)(2121aaaaaaaaaaaaa∴1112aaa由归一化条件21111*1*1*142),2,(1aaaaaaa取211a∴归一化的212121对应于xLˆ的本征值由以上结果可知，从ZLLˆˆ2和的共同表象变到xLˆ表象的变换矩阵为21212121210212121S∴对角化的矩阵为SLSLxx21212121210212121010101010212121212121210212xL212121212102121212112121121000200000002000200002按照与上同样的方法可得yLˆ的本征值为，，0yLˆ的归一化的本征函数为21021021221i21221i从ZLLˆˆ2和的共同表象变到yLˆ表象的变换矩阵为212212122121021212121220212121iiSiiS利用S可使yLˆ对角化0000000SLSLyy4.6.求连续性方程的矩阵表示解：连续性方程为Jt∴)**(2iJ而)**(2iJ)**(222i)ˆ**ˆ(1TTi∴*)ˆˆ*(TTti*)ˆˆ*()(*TTti写成矩阵形式为0)ˆ(ˆ)(ˆˆ)(**TTTTtiTTti