与圆有关的最值问题

一、到圆心距离的最值问题;二、到圆上一点距离的最值问题;三、与圆上一点的坐标有关的最值问题;四、与圆半径有关的最值问题.一、到圆心距离的最值问题：2213480,2210,PxyPAPBxyxyABCPACB例：已知是直线上的动点，是圆的两条切线,是切点，是圆心，求四边形面积的最小值。221111,1,1xyCr解：已知圆可化为：圆心半径22221PACBPACSSPAACPCrrPCPACBSPCPC求的最小值就是求的最小值，而的最小值就是圆心到直线的距离.223483349122dS所求面积的最小值为点评：求切线长时总是转化为到圆心的距离和半径来求解。二、到圆上一点距离的最值问题：2221:250PxyQlxyPQ例：已知是圆上一点，是直线上一点，求的最小值。0,01,CrCHlH解：圆心,半径作与.PQCQCQCQCH求圆上一点到的距离可以转化为圆心到的距离，而的最小值就是圆心到直线的距离点评：到圆上一点距离的最值问题总是转化为到圆心距离的最值问题。221100515112PQCQCHPQ的最小值为5-1222231,0,1,0344ABxyPPAPBP例：已知定点和圆上的动点，求使最值时点的坐标。22222222,1121PxyPAPBxyxyxy解：设三、与圆上一点的坐标有关的最值问题：2222344xyxyPO上式中相当于在上的点到原点的距离的平方。220,0,,,3,4OPxyxy作图不难知道，当共线时,有最值。2222912,552128,55PxyPxy易求得时,最小为20求得时,最大为1002222,(1)1,2134231xyxyyxyxyx练习1：求实数满足求下列各式的最值：（）（）（）cos1,1sin343cos44sin5sin()43491xyxyxy解：（）法一：令则的最大值为，最小值为34,30411,45,9153491xyttttxy法二：设直线与圆相切时取最值于是或的最大值为，最小值为22222221:cos(1sin)22sin40xyxy解：（）法一：由（）知的最大值为，最小值为2222,(1)1,2134231xyxyyxyxyx练习1：求实数满足求下列各式的最值：（）（）（）2222222()(1)1xyxyxy法二：可看作圆上的点到坐标原点距离的平方的最值，亦可求解yxo1231:3sin,sincos31cos1sin()3kkkkk解：（）法一：由（）知得即2222,(1)1,2134231xyxyyxyxyx练习1：求实数满足求下列各式的最值：（）（）（）22334sin(),1,3112413kkkkkyx则有最小值为，无最大值222(2)1(1)(1)1(1,2)yyxxxyP法二：可看作圆上的点与两点的连线的斜率最值，结合图形可求解yxo),(P211四、与圆半径有关的最值问题：2204134312xxyyxxyxy例：设，满足求的最小值。222131,3.xyrCr解：设则圆心,半径为243120xyrr由图观察知，当圆与直线相切是，半径最小，即最小。OXYY=X4x+3y=1222249121543125drr由圆心到直线的距离等于半径，得：2213xy1的最小值2522222xaybxaybr点评：在线性规划中，求形如的最值问题，总是转化为求圆半径平方的最值问题。2224301.2.,CxyxyCxyCPxyPMMOPMPOPMP练习2：已知圆：若圆的切线在轴和轴上截距相等，求切线的方程；从圆外一点向圆引切线，为切点，为坐标原点，且，求使最小的点的坐标。222226126kkkyx由点到直线的距离公式得：切线方程为221221,2,2CxyCr解：1.圆可化为：圆心半径Cxyab设圆的切线在轴和轴上的截距分别为、00abykxkxy当时，切线方程可设为即2212211131030aaaxyxy由点到直线的距离公式得：或切线方程为或010xyababxya当时，切线方程可设为即26,1030yxxyxy总之，所求切线方程为或222223229564PMPOxyyyyy222222,MCPMPCMCPMPOPCMCPO2.连结则2222122322kxyxyxy即63105333332,5210105yPMxP当时，最小，222210,,2,2.1.2222..CxyxylxyABOOAaOBbabClabABAOB例5：已知与曲线：相切的直线交轴,轴于两点，为原点,求证曲线与直线相切的条件是；求线段中点的轨迹方程；3求的面积的最小值。221,11222abababab圆心到直线的距离等于1的充要条件是221.10111xylabbxayabCxy证明：直线的方程为即曲线的方程为2.,ABMxy设中点为则由中点坐标公式得2222axaxbbyy222221112xyxyM代入1的结论:这便是中点的轨迹方程。113.2222AOBSabab1223abab3222322322AOBabS的最小值为0,0,4,0,0,3,,ABCABCPPAPBPC练习3：已知三个顶点坐标，点是它的内切圆上一点，求以为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值。YXCPABABCABCARt解：的三边长分别为3,4,5是以为直角顶点的22221,111112210rxyxyxy内切圆的圆心，半径内切圆的方程为即,Pxy设点坐标为2222222224434112SPAPBPCxyxyxyxmaxmin021190222xxSxS当时，；当时，4(1)2(2)3:1(1)(2):20yxlxy练习：设圆满足：截轴所得弦长为；被轴分成两圆弧，其弧长比为。在满足条件的所有圆中，求圆心到直线的距离最小的圆的方程。(,),||,||.CabrCxyba解法一：设圆心,半径则到轴,轴距离分别为2Cx由已知应有圆截轴所得劣弧的圆心角为2y截轴所得弦长为|2|:205abClxyd圆心到直线的距离222||22brbr故即221ar得2212ab得2222112(1)(1)2xyxy所求圆方程：或22222222225|2|4442()21dabaabbababbamin55abd“＝”当且仅当时成立，此时2212abab1111aabb或2r4(1)2(2)3:1(1)(2):20yxlxy练习：设圆满足：截轴所得弦长为；被轴分成两圆弧，其弧长比为。在满足条件的所有圆中，求圆心到直线的距离最小的圆的方程。2222112(1)(1)2xyxy所求圆方程：或由解法二同样可得sin2cos0k令3||44PQk或时,与单位圆相切，取到最小1111aabb此时或2r而5sin25cosd221(cos,sin)(0,2)kxyPQ可看成单位圆上动点与定点连线的斜率min55d,